O plano de Argand-Gauss é formado por dois eixos: um vertical (conhecido como eixo imaginário) e um na horizontal (conhecido como eixo real). Nele é possível representar geometricamente números complexos que estão na forma algébrica. Show Por meio dessa representação geométrica, é possível desenvolver alguns conceitos, como o módulo e o argumento de um número complexo. Os números complexos são representados algebricamente por z = a + bi, então eles são representados por pontos (a, b), representação essa que recebe o nome de afixo. Leia também: Representação geométrica da soma de números complexos Representação geométrica de números complexosO plano complexo, conhecido também como plano de Argand-Gauss, nada mais é do que um plano cartesiano para números complexos. No plano de Argand-Gauss, é possível representar um número complexo como um ponto, conhecido como afixo. Com o desenvolvimento do plano complexo, há o desenvolvimento da geometria analítica para os números complexos, o que torna possível desenvolver conceitos importantes, como módulo e argumento. Um número complexo representado em sua forma algébrica é z = a+bi, em que a é a parte real e b é a parte imaginária. Sendo assim, os números complexos são representados como um ponto (a, b). No plano de Argand-Gauss, o eixo horizontal é o eixo da parte real e o eixo vertical é o eixo da parte imaginária. O ponto no plano que representa um número complexo também recebe o nome de afixo. Há três casos possíveis de representação: afixos imaginários, afixos reais e afixos imaginários puros. Um afixo é conhecido como imaginário quando o número complexo possui tanto a parte real quanto a parte imaginária diferentes de zero. Nesse caso o afixo é um ponto em qualquer um dos quatro quadrantes, dependendo dos valores de a, b e seus respectivos sinais. Exemplo: Veja a representação dos números complexos z1 = 2 +3i, z2 = -3 - 4i, z3 = -2 + 2i e z4= 1 - 4i. Veja também: Propriedades envolvendo números complexos Um número complexo é conhecido como um imaginário puro, quando a sua parte real é igual a zero, ou seja, z = bi. Note que, nesse caso, a primeira coordenada é sempre zero, então vamos trabalhar com pontos do tipo (0, b). Ao marcar no plano de Argand-Gauss, um afixo imaginário puro sempre será um ponto pertencente ao eixo imaginário, ou seja, ao eixo vertical. Exemplo: Veja a representação dos números complexos z1 = 2i e z2= -3i. Um número complexo é classificado como um número real, quando a sua parte imaginária é igual a zero, ou seja, z = a. Nesse caso, a segunda coordenada é sempre zero, então vamos trabalhar com pontos do tipo (a,0), logo a parte imaginaria é zero e os afixos estão contidos no eixo real do plano complexo. Exemplo: Veja a representação dos números complexos z1 = 2 e z2 = -4. Módulo de um número complexoAo representar um número complexo, seja P (a,b) o afixo do número complexo z = a + bi. Conhecemos como módulo do número complexo a distância do ponto P até a origem. O módulo de um número complexo z é representado por |z|. Para encontrar o valor do |z|, utilizamos o teorema de Pitágoras. |z|² =a²+b² Podemos representar também por: Exemplo: Calcule o módulo do número complexo z = 12 -5i. |z|² = 12² + (-5)² |z|² 144 + 25 |z|²= 169 |z|=√169 |z| =13 Acesse também: Quais são os números racionais? Argumento de um número complexoConhecemos como argumento de um número complexo o ângulo θ formado pelo vetor OP e o eixo real. O argumento de um número é representado por arg (z) = θ. Para encontrar o ângulo, utilizamos as razões trigonométricas seno e cosseno. Para encontrar o valor do argumento, conhecendo o seno e o cosseno, basta consultar a tabela dos valores dessas razões trigonométricas. Normalmente, em questões de vestibular sobre esse tema, o argumento é um ângulo notável. Exemplo: Calcule o argumento do número complexo z = 1 + i. Primeiro vamos calcular o módulo de z. |z|² = 1² + 1² |z|² = 1+1 |z|² = 2 |z| = √2 Conhecendo |z|, podemos calcular o seno e o cosseno do ângulo. O ângulo que possui seno e cosseno com os valores encontrados é o de 45º. Exercícios resolvidosQuestão 1 – Qual é o argumento do número complexo z = √3+ i ? A) 30º B) 45º C) 60º D) 90º E) 120º Resolução Alternativa C. Sabemos que a = √3 e b = 1, então: Questão 2 – No plano complexo a seguir, foram representados alguns números. Analisando o plano, podemos afirmar que são representações de números imaginários puros os pontos: A) M, N e I. B) P e I. C) L e G. D) O, I, G. E) K, J e L. Resolução Alternativa B. Para identificar um número imaginário puro no plano complexo, é necessário que ele esteja em cima do eixo vertical, que, no caso, são os pontos P e I. Por Raul Rodrigues de Oliveira
Obtenha o valor de y, de modo que o número complexo z = (6y + 30) + 2i seja um número imaginário puro.
Oi Amanda, tudo bom? Sua dúvida é massa! Vamos à ela? A resolução fica assim: Para um número ser imaginário puro, é pq a parte real tem que ser igual a zero. Logo, 6y + 30 = 0 6y = -30 y = -5 Conseguiu entender? 😊
Obtenha o valor de y, de modo que o número complexo seja um número imaginário puro, sendo Z = ( – 6y – 72 ) – 3 i . * 12 pontos y = – 4 y = –12 y = 12 y = – 13
mariaeduardadeolivei está aguardando sua ajuda.
Obtenha o valor de y, de modo que o número complexo z= (-8y+16)+i seja um número imaginário puro. (não precisa explicar a resposta, pois estou precisando com urgência |