Sabendo que o determinante da matriz a abaixo é igual a 8 o que podemos afirmar sobre o valor de x

Para representar matrizes, utilizamos a disposição de uma tabela. Chamamos de matriz toda a tabela m x n ( lê-se “m por n”) em que números estão dispostos em linhas (m) e colunas (n). Cada elemento da matriz é indicado por aii (i indica a posição do elemento referente à linha, e j, a posição em relação à coluna). Acompanhe a seguir a representação de uma matriz m x n.

Nessa matriz, temos que:

aij → linha (i) e coluna (j)

a1,1 → linha 1 e coluna 1
a1,2 → linha 1 e coluna 2
a1,3 → linha 1 e coluna 3
a1,n → linha 1 e coluna n
 

a2,1 → linha 2 e coluna 1
a2,2 → linha 2 e coluna 2
a2,3 → linha 2 e coluna 3
a2,n → linha 2 e coluna n

am,1 → linha m e coluna 1
am,2 → linha m e coluna 2
am,3 → linha m e coluna 3
am,n → linha m e coluna n

Diagonais da Matriz

Toda matriz possui diagonal principal e diagonal secundária. A diagonal principal é formada pelos elementos em que i = j. A diagonal secundária é composta por elementos em que a soma de i com j sempre resulta em uma mesma solução. Veja como identificamos as diagonais de uma matriz:

Diagonal Principal

a1,1 → linha 1 e coluna 1
a2,2 → linha 2 e coluna 2
a3,3 → linha 3 e coluna 3

Diagonal Secundária

a1,3 → linha 1 + coluna 3 = 4
a2,2 → linha 2 + coluna 2 = 4
a3,1 → linha 3 + coluna 1 = 4

Matrizes Especiais

Existem algumas matrizes que são consideradas especiais pela forma como são organizadas. Entre essas matrizes, podemos destacar:

• Matriz quadrada: é toda a matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas. Exemplos:

Observe que a matriz acima apresenta três linhas e três colunas. Como o número de linhas é igual ao de colunas, a matriz é quadrada.

• Matriz identidade: todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1, e os demais números são iguais a zero.

• Matriz nula: é toda matriz em que seus elementos são iguais a zero.

• Matriz linha: é formada por uma única linha.

• Matriz coluna: é formada por uma única coluna.

Operações com matrizes

As operações com matrizes são: adição, subtração e multiplicação.

• Adição: Sejam A e B duas matrizes em que a sua soma resulta em uma matriz C.

  A + B = C

Cada um dos elementos da matriz C é o resultado da soma de um elemento de A com um elemento de B. Para efetuarmos a adição entre duas matrizes, elas devem possuir o mesmo número de linhas e colunas. Acompanhe o exemplo abaixo:

A + B = C
A 2 x 3 + B2 x 3 = C2 x 3
 

Observe que as matrizes A e B possuem a mesma quantidade de linhas (m = 2) e a mesma quantidade de colunas (n = 3). A matriz C é resultante da soma de A + B e também deve possuir duas linhas e três colunas.

• Subtração: A partir de duas matrizes A e B, definimos a sua diferença como C:

  A – B =C
  A + (- B) = C

A matriz diferença pode ser definida como sendo a soma de A com o oposto de B, ou seja, - B. Para realizarmos a subtração entre duas matrizes, elas devem possuir o mesmo número de linhas e colunas. Acompanhe o exemplo abaixo e verifique como é feita a subtração entre duas matrizes:

• Multiplicação: Dadas as matrizes Am x n e Bn x p, para que seja possível realizar o seu produto, o número de colunas da matriz A deve ser igual ao número de linhas da matriz B. Esse processo resulta em uma matriz Cm x p. Observe o exemplo abaixo e veja como isso é feito:

Descrição dos elementos da matriz:

a1,1 → Produto dos elementos da linha 1 da matriz A com os elementos da coluna 1 da matriz B.

a1,2 → Produto dos elementos da linha 1 da matriz A com os elementos da coluna 2 da matriz B.

a1,3 → Produto dos elementos da linha 1 da matriz A com os elementos da coluna 3 da matriz B.

a2,1 → Produto dos elementos da linha 2 da matriz A com os elementos da coluna 1 da matriz B.

a2,2 → Produto dos elementos da linha 2 da matriz A com os elementos da coluna 2 da matriz B.

a2,3 → Produto dos elementos da linha 2 da matriz A com os elementos da coluna 3 da matriz B.

Determinante

Calculamos o determinante de matrizes quadradas, isto é, aquelas em que o número de linhas é igual ao número de colunas. Observe:

Definimos como determinante da matriz A (det A) o número que é obtido pela operação dos elementos que compõem A.

• Caso A possua uma linha e uma coluna (A1 X 1), então o determinante será representado pelo único elemento que compõe A. Exemplo:

  A = (10)
  det A = 10

• Se A possuir duas linhas e colunas (A2 x 2), então o determinante (det A2 x 2) será dado pela diferença entre os produtos da diagonal principal da matriz A pelo produto dos elementos que compõem a sua diagonal secundária. Veja abaixo como é feito o cálculo do determinante de uma matriz 2 por 2 (A 2 X 2).

Para toda matriz quadrada 2 por 2, o cálculo do determinante é realizado da forma como está demonstrado acima. Caso a matriz quadrada seja do tipo M 3 X 3, M 4 X 4, M 5 X 5 e assim por diante, calculamos o seu determinante executando os passos descritos abaixo:

1. Faça o espelhamento da primeira e da segunda coluna da matriz, ou seja, repita a primeira e a segunda coluna;

2. Realize os produtos de cada diagonal principal e secundária separadamente;

3. Efetue a soma entre os termos obtidos dos produtos de cada diagonal;

4. Realize a diferença entre os resultados obtidos referente à soma dos termos das diagonais principais e das secundárias. No fim desses cálculos, teremos o determinante da matriz.

det M3 X 3 = a 1,1 . a 2,2 . a 3,3 + a 1,2 + a 1,2 . a 2,3 . a 3,1 + a 1,3 . a 2,1 . a 3,2 - ( a 1,3 . a 2,2 . a 3,1 + a 1,1 . a 2,3 . a 3,2 + a 1,2 . a 2,1 . a 3,3).

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Confira uma seleção especial de questões comentadas retiradas dos mais diversos concursos públicos realizados pelo Brasil.

Bons estudos.

Questão 1 (PM AC – Funcab). Sabendo que A é uma matriz quadrada de ordem 3 e que o determinante de A é -2, calcule o valor do determinante da matriz 3A.

A) – 8

B) – 54

C) 27

D) 18

E) – 2

Resolução:

Para resolvermos a questão, vamos utilizar uma das propriedades das determinantes:

Onde n é a ordem da matriz quadrada.

Desta propriedade temos que:

Resposta: B

Questão 2 (PM AC – Funcab). Considerando a matriz quadrada A abaixo, e det(A) seu determinante, calcule o valor de 5.det(A).

A) 10

B) -140

C) 270

D) 130

E) -35

Resolução:

Calculando o determinante de uma matriz 2×2:

DetA = 7.4 – 2.(-13) = 28 + 26 = 54

Logo,

5.DetA = 5.54 = 270

Resposta: C

Questão 3 (PM PR – Cops). Considere uma colisão de dois veículos. Num sistema de coordenadas cartesianas, as posições finais destes veículos após a colisão são dadas nos pontos A = (2,2) e B = (4, 1). Para compreender como ocorreu a colisão é importante determinar a trajetória retilínea que passa pelos pontos A e B.

Essa trajetória é dada pela equação:

a) x – y = 0

b) x + y – 5 = 0

c) x – 2y + 2 = 0

d) 2x + 2y – 8 = 0

e) x + 2y – 6 = 0

Resolução:

A equação pode ser descoberta calculando o determinante da matriz abaixo, que relaciona os pontos P(x,y),  A(2,2)  e  B(4,1):

Fazendo o produto das diagonais principais menos o produto das diagonais secundárias:

2x + 4y + 2 – 8 – x – 2y = 0

x + 2y – 6 = 0

Resposta: E

Questão 4 (RFB 2009 – Esaf). Com relação ao sistema

onde

pode-se, com certeza, afirmar que:

a) é impossível

b) é indeterminado

c) possui determinante igual a 4

d) possui apenas a solução trivial

e) é homogêneo

Resolução:

Podemos separar a segunda igualdade em duas:

2x – y = 3z + 2  =>  2x – y – 3z = 2

2x + y = z + 1   =>  2x + y – z = 1

Temos então três equações:

x + y + z = 1

2x – y – 3z = 2

2x + y – z = 1

Que podem ser associadas a matriz:

Vamos calcular seu determinante:

Det = 1.(-1).(-1) + 1.(-3).2 + 1.2.1 – 2.(-1).1 – 1.(-3).1 – (-1).2.1

Det = 1 – 6 + 2 +2 + 3 + 2

Det = 4

Resposta: C

Questão 5 (ANAC – ESAF 2016). Dada a matriz A abaixo, o determinante da matriz 2A é igual a:

a) 40.

b) 10.

c) 18.

d) 16.

e) 36.

Resolução:

Temos duas formas de resolver a questão. Podemos calcular o determinante da matriz A e depois utilizar a propriedade P3 que se encontra em nosso material didático, ou calcular diretamente o determinante da matriz 2A. Vamos resolvê-la pelo primeiro método, utilizando a regra de Sarrus:

DetA = 2.1.4 + 1.1.0 + 3.1.1 – 0.1.3 – 1.1.2 – 4.1.1

DetA = 8 + 0 + 3 – 0 – 2 – 4

DetA = 5

Utilizando a propriedade citada:

Det2A = 2³.DetA

Det2A = 8.5

Det2A = 40

Resposta: A

Questão 6 (PM ES – AOCP). Para saber o custo total (em reais) na produção de x uniformes para um grupo de soldados, primeiramente substitui-se cada elemento x, da matriz a seguir, pela quantidade de uniformes que se quer produzir e calcula-se o determinante dessa matriz, obtendo-se, assim, o custo total na produção destes x uniformes igual ao valor do determinante.

Dessa forma, para se produzir 70 uniformes para um grupo de soldados, o custo total nessa produção será de

(A) R$ 4.100,00.

(B) R$ 3.500,00.

(C) R$ 3.100,00.

(D) R$ 2.500,00.

(E) R$ 2.100,00.

Resolução

Calculando o determinante:

Det = x.(-x).1 + 1.100.0 + 0.0.(-1) – 0.(-x).0 – (-1).100.x – 1.0.1

Det = -x² + 100.x

Quando x = 70, temos:

Det = -70² + 100.70

Det = -4900 + 7000

Det = 2100

Resposta: E

Questão 7 (UP). Considerando a matriz abaixo, qual é o valor de k?

a) 1

b) 2

c) -1

d) 0

Resolução

Temos uma matriz 3×3, cujo determinante pode ser calculado da seguinte forma:

1.k.2 + 5.3.0 + (-2).(-1).0 – 0.k.(-2) – 0.3.1 – 2.(-1).5 = 10

2k + 0 + 0 – 0 – 0 + 10 = 10

2k = 10 – 10

2k = 0

k = 0

Resposta: D

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