Os poliedros são sólidos geométricos cujos lados, chamados de faces, são formados por polígonos. Limitando as faces, temos as arestas e, no encontro destas, há a ocorrência dos vértices. Se um poliedro obedecer às seguintes classificações, ele será chamado de poliedro convexo: a) duas faces distintas que não pertencem ao mesmo plano; b) cada aresta pertence apenas a duas faces; c) as faces são formadas por polígonos planos; d) o plano de cada face deixa o sólido todo em um semiespaço. Mas existe uma classificação especial de poliedros chamada de poliedros de Platão ou sólidos de Platão. Para que possa ser um poliedro de Platão, é necessário que o poliedro obedeça às seguintes disposições: a) todas as faces devem ter a mesma quantidade n de arestas; b) todos os vértices devem ser formados pela mesma quantidade m de arestas; c) a Relação de Euler deve valer: V – A + F = 2, em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces. Mapa Mental: Poliedros de Platão*Para baixar o mapa mental em PDF, clique aqui! Um poliedro convexo é dito um poliedro regular apenas se for um poliedro de Platão e também se todas as suas faces forem formadas por polígonos regulares idênticos. Portanto, podemos dizer que um poliedro regular é um poliedro de Platão, mas não vale a recíproca. Só existem cinco tipos de sólidos geométricos que podem ser classificados como poliedros de Platão, são eles:
Conta-se que Platão, que, além de matemático, era também filósofo, relacionava esses sólidos geométricos com a construção do Universo, associando o tetraedro ao fogo, o cubo a terra, o octaedro ao ar, o icosaedro à água e o dodecaedro ao Cosmos. Platão acreditava que foi a partir da combinação desses elementos que o Universo foi feito.
Por Amanda Gonçalves Graduada em Matemática *Mapa Mental por Luiz Paulo Silva Quando estudamos os poliedros, nos deparamos com os sólidos de Platão como caso particular. Para ser um sólido de Platão, o poliedro precisa satisfazer três condições:
Vários filósofos buscaram compreender a origem do Universo, e Platão viu na geometria espacial a explicação para essa origem. Os sólidos de Platão são:
Todos eles são considerados polígonos regulares, já que as suas arestas e suas faces são todas congruentes. Os sólidos de Platão respeitam a relação de Euler, que relaciona o número de vértices, faces e arestas pela fórmula V + F = A + 2. Leia também: Quais as diferenças entre as figuras planas e as espaciais?  Poliedros regularesA busca por poliedros regulares é recorrente, pois é mais fácil trabalhar com eles. Um poliedro é classificado como regular se ele possui todas as faces formadas por um mesmo polígono congruente. Quando isso ocorre, os ângulos e arestas também são congruentes. Os sólidos de Platão são casos particulares de poliedros regulares. O cubo, por exemplo, que é um sólido de Platão, possui todas as suas faces formadas por quadrados congruentes. Dos cinco sólidos de Platão, três são formados por faces triangulares com triângulos congruentes, um é formado por faces quadradas e o outro é formado por faces pentagonais. Platão foi um filósofo e matemático grego. Ele realizou grandes contribuições para a matemática e, na tentativa de compreender o Universo, associou os sólidos a elementos da natureza. Para ser um sólido platônico, o poliedro precisa ser regular e convexo. Existem apenas cinco sólidos que satisfazem essa definição. São eles: o tetraedro, o cubo ou hexaedro, o octaedro, o icosaedro e o dodecaedro. A relação feita entre o elemento da natureza e o sólido foi:
Para ser um sólido de Platão, o poliedro também precisa ser convexo, todas as faces devem apresentar a mesma quantidade de arestas e todos os vértices devem ser extremidades de uma mesma quantidade de arestas. Veja também: Paralelepípedos – sólidos geométricos formados por faces planas e poligonais O tetraedro regular é um poliedro que possui 4 faces, o que justifica o seu nome (tetra = quatro). Todas as suas faces são formadas por triângulos. Ele possui formato de uma pirâmide de base triangular e é conhecido como pirâmide de base regular, já que todas as suas faces são congruentes. Possui um total de 4 faces (em formato de triângulo equilátero), 4 vértices e 6 arestas. Caso você queira montar seu próprio tetraedro regular, é só baixar e imprimir o PDF aqui. O hexaedro regular possui 6 faces, o que justifica o seu nome (hexa = seis). As suas faces são todas quadradas. Ele é conhecido também como cubo e possui 6 faces, 12 arestas e 8 vértices. Caso você queira montar seu próprio cubo, é só baixar e imprimir o PDF aqui. Assim como os anteriores, o nome está ligado ao número de faces, logo o octaedro possui 8 faces. Essas faces possuem formato de triângulo equilátero. O octaedro possui 8 faces, 12 arestas e 6 vértices. Caso você queira montar seu próprio octaedro, é só baixar e imprimir o PDF aqui. O icosaedro possui um total de 20 faces. As suas faces possuem formato de triângulos equiláteros, assim como o octaedro. Ele possui um total de 20 faces, 30 arestas e 12 vértices. Caso você queira montar seu próprio icosaedro, é só baixar e imprimir o PDF aqui. O dodecaedro é o último dos sólidos de Platão. Possui um total de 12 faces e é considerado o mais harmônico entre os cinco sólidos platônicos. Suas faces possuem formato de pentágonos. Apresenta 12 faces, 30 arestas e 20 vértices. Caso você queira montar seu próprio dodecaedro, é só baixar e imprimir o PDF aqui. Acesse também: Cilindro – sólido geométrico formado por duas faces circulares paralelas e em planos distintos Fórmula de EulerOs poliedros eulerianos são os poliedros convexos. Euler desenvolveu uma fórmula que relaciona o número de faces (F), número de vértices (V) e o número de arestas (A) em um poliedro convexo. Todos os sólidos de Platão satisfazem a relação de Euler.
Sabendo que um poliedro possui 8 vértices e 12 arestas e que ele é regular, qual será o número de faces que ele possui? Sabemos que V + F = A+2 V = 8 A = 12 8 + F = 12 + 2 8 + F = 14 F = 14 – 8 F = 6 Exercícios resolvidosQuestão 1 – (Enem 2016) Os sólidos de Platão são poliedros convexos cujas faces são todas congruentes a um único polígono regular, todos os vértices têm o mesmo número de arestas incidentes e cada aresta é compartilhada por apenas duas faces. Eles são importantes, por exemplo, na classificação das formas dos cristais minerais e no desenvolvimento de diversos objetos. Como todo poliedro convexo, os sólidos de Platão respeitam a relação de Euler V - A + F = 2, em que V, A e F são os números de vértices, arestas e faces do poliedro, respectivamente. Em um cristal, cuja forma é a de um poliedro de Platão de faces triangulares, qual é a relação entre o número de vértices e o número de faces? A) 2V – 4F = 4 B) 2V – 2F = 4 C) 2V – F = 4 D) 2V + F = 4 E) 2V + 5F= 4 Resolução Alternativa C. Como as faces são triangulares, sabemos que, para cada face, há 3 arestas. Porém, para relacionar o número de arestas com o número de faces, é importante lembrar que cada aresta está contida em duas faces, pois o encontro de duas faces forma uma aresta, então podemos relacionar aresta com face nesse caso por: Tendo a relação de Euler como V – A + F = 2 e substituindo A, temos que: Questão 2 – Das alternativas abaixo, julgue qual delas não é um sólido de Platão. A) Cubo B) Tetraedro Regular C) Icosaedro D) Dodecaedro E) Cone Resolução: Alternativa E. Das alternativas, a única que não corresponde a um sólido de Platão é o cone. Por Raul Rodrigues de Oliveira |
Quantas arestas possui um icosaedro convexo sabendo que todas as suas faces são triangulares?
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