Plano inclinado Exercícios Resolvidos pdf

Um caminhão de massa desce uma ladeira que faz uma inclinação angular com a horizontal a uma velocidade constante . O caminhão carrega na carroceria uma caixa de massa . Ao avistar um obstáculo na pista, o motorista freia bruscamente, travando os pneus, e começa a derrapar. O coeficiente de atrito cinético entre as rodas do caminhão e o chão é , e o coeficiente estático entre a caixa e o caminhão é tal que o objeto não desliza.

(a) Desenhe na figura todas as forças exercidas no caminhão e na caixa.

(b) Quais são os pares de força de ação e reação?

(c) Calcule a força de atrito exercida no caminhão e na caixa como função das variáveis do problema.

(d) Qual o limite das forças de atrito para e

(e) Substituindo os valores de , e encontre a distância percorrida até o caminhão parar. Utilize e aproximação e .

(f) O que você deverá mudar em seus cálculos se o caminhão estiver subindo a ladeira em vez de descendo? Recalcule o resultado do ítem anterior para este caso.

Page 2

Se decompusermos a força peso nessa caixa, ficaremos com a seguinte figura:

Onde:

Visto que a caixa está em repouso, a força resultante sobre a caixa tem que ser nula, portanto:

Logo:

Vamos agora ver o que acontece com a normal se aumentarmos o valor de .

O permanece o mesmo, mas o se altera, e sabemos que aumentando o ângulo, o cosseno fica cada vez menor, até chegar em , onde o cosseno será zero e portanto não haverá mais força normal. Logo, aumentando o ângulo, a força normal diminui.

Agora, analisando as alternativas ainda ficamos em duvida entre duas.

Alternativa : decresce de forma não linear.

Alternativa decresce linearmente.

Então precisamos saber o que diabos significa decrescer de forma linear ou não linear.

Vou dar alguns exemplos:

A função:

É uma função linear, porque se dobrarmos o , iremos automaticamente dobrar o , isso que significa linearidade.

Diferente da função:

Está é uma função não linear, pois se dobrarmos o , não iremos dobrar o , pois:

Voltando ao nosso problema, temos:

Onde o está envolvido com o cosseno que como acabamos de ver é não linear. Logo, ao aumentarmos o , a força normal irá decrescer não linearmente.

Page 3

Três macacos , e , de mesmo peso, estão pendurados em repouso, cada um em um cipó, com os cipós amarrados em um galho de árvore. A partir de um dado instante o macaco sobe em seu cipó com velocidade constante, o macaco sobre no seu com aceleração para cima constante e o macaco desce no seu com aceleração para baixo constante. Supondo que os cipós sejam fios ideiais (inextensíveis com massa desprezível), que os movimentos se processem na vertical, que as acelerações mencionadas não sejam nulas, e denotando por , e as tensões nos cipós dos respectivos macacos , e , podemos dizer que

Os dados do problema são

Em problemas literais é sempre bom escrever os dados separados para mais tarde conferir se as respostas estão de acordo com esses dados.

Vamos responder as perguntas do passo a passo para colocar as forças que atuam em cada macaco

1. A massa dele é considerada?

Sim, ele tem massa.

2. Ele esta encostada em alguma superfície?

Não, ele não está apoiado a nenhuma superfície.

3. Tem algum fio?

Sim, existe fio atuando.

4. Tem mola?

Não, não existe mola atuando.

O seu DCL ficará:

Em todas as situações, devemos lembrar atentamente o sinal dos movimentos. A equação da força resultante em todas elas ficará

Page 4

Temos aqui uma situação onde forças agem em um bloco, onde temos como dados:

• Massa do bloco;
• Valor das forças que agem nele

E nos é pedido a aceleração desse bloco. O que podemos fazer? Vamos usar a segunda lei de Newton! Que relaciona exatamente o que temos com o que queremos.

Primeiramente vamos fazer o Diagrama de Corpo Livre, atentando para a existência da força normal. No diagrama também já faremos a decomposição da força na direção normal dos eixos e .

Se aplicarmos agora a segunda lei de Newton independentemente para cada eixo. No eixo , temos:

Substituindo os valores de e , chegamos ao seguinte valor para :

Já no eixo , temos:

Aqui esbarramos em um problema. Nós não temos o valor nem de e nem de , portanto, essa equação não teria solução. No entanto, como sempre na física, buscaremos argumentos físicos para encontrar valores de coisas que a gente não sabe. Perceba que a jogada que vamos usar aqui dará spoiler para a solução da letra (b), se liga:

Concorda que, se o corpo tivesse aceleração vertical pra cima, ou seja, se fosse diferente de 0, a primeira coisa que aconteceria seria o corpo perder contato com o chão? E concorda também que se existisse essa perda de contato, a normal se tornaria nula? Então vamos lá: se a componente vertical de , , for maior ou igual ao peso, ela será grande o suficiente para tirar o corpo do chão e acarretar em tudo que foi perguntado.

Já que temos o valor da componente vertical e o valor do peso, podemos descobrir qual é essa relação!

Certo, então o peso é maior que a componente vertical e o corpo permanece no chão, com isso, concluímos que, nessas condições:

Para responder a letra (a), vamos então usar os resultados obtidos:

Com o spoiler que demos na letra (a), a gente consegue descobrir de cara o que temos que fazer para descobrir módulo da força quando o corpo começa a perder o contato com o solo. Precisamos também observar que neste momento, o corpo continua sem aceleração vertical. Para matar o item, basta fazer a força normal e a aceleração em ser zero! Portanto, aplicando a segunda lei novamente no eixo , temos:

E entã, substituindo os valores conhecidos, temos:

Já usamos na letra (b) que a aceleração vertical no instante em que o bloco perde o contato com o chão é nula, portanto, para acharmos o módulo da aceleração, basta acharmos a aceleração no eixo . Aplicando a segunda lei no eixo encontramos:

Substituindo o valor de e usando o valor de que encontramos na letra (b), temos:

Já confirmamos que a aceleração nesse instante é horizontal, portanto: