Curiosodades sobre raiz quadrada de 2

    O zero já era utilizado para fazer cálculos, mas na realidade ele ainda não tinha sido inventado. Você pode se pergunta como assim? Bom, ele já era considerado nos espaços em branco dos tabuleiros dos chineses e nas pedrinhas dos ábacos que permaneciam abaixadas. Portanto, ele era só um espaço vazio.
Quem inventou um símbolo para o zero foram os indianos, que tinham um sistema numérico baseado no número 10. Esse sistema foi criado por volta de 200 a.C. (antes de Cristo), e a inclusão do zero só aconteceu há aproximadamente 1.300 anos. Isto é, o zero é um companheiro relativamente "novo" dos números.

  Quarta-feira, dia 20 de fevereiro de 2002 foi uma data histórica. Durante um minuto, houve uma conjunção de números que somente ocorre duas vezes por milênio. Essa conjugação ocorreu exatamente às 20 horas e 02 minutos de 20 de fevereiro do ano 2002, ou seja, 20:02 20/02 2002. É uma simetria que na matemática é chamada de capicua (algarismos que dão o mesmo número quando lidos da esquerda para a direita, ou vice-versa). A raridade deve-se ao fato de que os três conjuntos de quatro algarismos são iguais (2002) e simétricos em si (20:02, 20/02 e 2002). A última ocasião em que isso ocorreu foi às 11h11 de 11 de novembro do ano 1111, formando a data 11h11 11/11/1111. A próxima vez será somente às 21h12 de 21 de dezembro de 2112 (21h12 21/12/2112). Provavelmente não estaremos aqui para presenciar. Depois, nunca mais haverá outra capicua. Em 30 de março de 3003 não ocorrerá essa coincidência matemática, já que não existe a hora 30.

 O dia da raiz quadrada é celebrado em datas onde o dia e o mês são ambos a raiz quadrada dos 2 últimos dígitos do ano atual. Por exemplo, o último aniversário foi no  dia 3 de Março de 2009 (3/3/09), e o próximo dia da raiz quadrada será 4 de Abril de 2016 (4/4/16). O último dia da raiz quadrada do fim do século ocorrerá no dia 9 de Setembro de 2081. Cada século ele tem as mesmas nove datas q são dias de raiz Quadrada. O próximo século também cobrirá o resto das raízes quadradas de 3 meses: 10/10/2100, 11/11/2121 e 12/12/2144.  Isto acontece uma vez por milênio. Essa data comemorativa começou com Ron Gordon, professor de uma escola na Califórnia, que criou o 1º dia em 9/9/81.

  Antigos pastores, para controlar seus rebanhos de ovelhas, os associavam a pedras que guardavam em sacolas. Cada ovelha correspondia a uma pedrinha. No início e final do dia, faziam as devidas correspondências. Se sobrasse pedra, faltava ovelha. Como pedrinha em latim significa "Calculus", daí vem a palavra cálculo.

O  número que você calça também está relacionado à matemática. Existe uma fórmula que relaciona o número que você calça e o tamanho do seu pé em centímetros.

Vejamos:

Onde,

S: é o número do sapato.
p: é o comprimento do pé em centímetros.

Assim, se seu pé medir 20 cm, o número do seu sapato será:

Veja o que acontece se multiplicarmos 37 por múltiplos de 3:

3 x 37 = 111
6 x 37 = 222 
9 x 37 = 333
12 x 37 = 444
15 x 37 = 555
18 x 37 = 666
21 x 37 = 777
24 x 37 = 888
27 x 37 = 999

Curioso, não acha?

A raiz quadrada é uma operação matemática que acompanha todos os níveis escolares. Trata-se de um caso particular de radiciação, no qual o índice do radical é igual a 2, ou seja, é a operação inversa das potências de expoente igual a 2. Quando um número positivo possui raiz quadrada exata, dizemos que esse número é um quadrado perfeito.

Leia também: Propriedades envolvendo números complexos

Definição e nomenclatura dos elementos da radiciação

Sejam a e b dois números reais e n um número natural diferente de zero, então:

As raízes quadradas, como dito, são um caso particular de radiciação. Ao escrever uma raiz quadrada, não é necessário explicitar o índice igual a dois.

Para os demais tipos de raízes, é obrigatório colocar o índice, ou seja, para n = 3, n = 4, n = 5 …, é necessário deixar explícito no índice do radical o valor de n.

Leia também: Redução de radicais ao mesmo índice

Para calcular a raiz quadrada de um número real, basta seguir a definição de radiciação:

A definição nos diz que a raiz quadrada de um número real a é o número b se, e somente se, o número b elevado ao quadrado for igual ao número a, ou seja, temos que imaginar um número que, ao quadrado, resulte no número dentro do radical.

Exemplos:

√36 = 6, pois 62 = 36

√121 = 11, pois 112  = 121

Os números que possuem raiz quadrada são denominados quadrados perfeitos. Assim, dos exemplos acima, os números 36 e 121 são quadrados perfeitos. Quando o número não é um quadrado perfeito, é necessário realizar o cálculo de raízes não exatas.

Observações:

1. Perceba, com base na definição de raiz quadrada, que sempre procuramos um número que, quando elevado ao quadrado, resulta no número dentro do radical. Tendo em vista as propriedades da potenciação, sabemos que um número ao quadrado é sempre positivo. Isso nos leva a concluir que não é possível extrair raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais.

Exemplo:

√ — 36 = ?

Do exemplo acima, teríamos que imaginar um número que, elevado ao quadrado, resultaria em -36. No conjunto dos números reais, isso não é impossível.

2. Caso o radicando seja um número relativamente grande, o que impossibilitaria o cálculo mental, basta fazer a decomposição em primos e agrupar sempre que possível em potências de expoente dois.

Exemplo:

Vamos determinar o valor da raiz quadrada de 441.

√441

Para determinar a raiz de 441, vamos fazer a decomposição em primos:

441 = 32 . 72

Assim,

√441 = √32 . 72

Agora, aplicando as propriedades de radiciação, temos que:

√441 = 3 . 7 = 21

O número 21 elevado ao quadrado é igual a 441.

Mapa Mental: Raiz Quadrada

*Para baixar o mapa mental em PDF, clique aqui!

Interpretação geométrica da raiz quadrada

Imagine um terreno com área de 144 m2.

Para determinar quanto mede o lado desse terreno em forma de quadrado, temos que relembrar como calcular sua área.

Aquadrado = l2

A representa o valor da área, e l é o valor do lado.

Como a área vale 144 m2, temos que:

144= l2

Observe a equação acima. Note que precisamos encontrar um número que, elevado ao quadrado, seja igual a 144, isto é, temos a definição de raiz quadrada! Então:

√144 = 12

O número 144 na forma fatorada é:

144 = 22 . 22 . 32

Assim, vamos ter que:

√144 = √22 . 22 . 32

Por fim,

√144 = 2 . 2 . 3 = 12

Portanto, o lado do terreno mede 12 m.

Exercícios resolvidos

1. Elabore uma lista com os quadrados perfeitos de 1 a 100.

Os quadrados perfeitos de 1 a 100 são: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100

2. Determine a raiz quadrada do número 1024.

√1024

Para determinar a raiz de 1024, vamos fazer a decomposição em primos:

1024 = 22 . 22 . 22 . 22 . 22

Então,

 Considerando a segunda igualdade com as propriedades da radiciação já aplicadas.

*Mapa Mental por Luiz Paulo Silva
Graduado em Matemática

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

Você sabe qual é o valor da raiz quadrada de 2 (dois)? Veremos aqui o valor aproximado e as peculiaridades deste importante número da matemática.

Bom estudo!

REPRESENTAÇÃO

A raiz quadrada de 2 (dois) é representada matematicamente da seguinte forma:

√2

VALOR APROXIMADO

Trata-se de um número irracional, com infinitas casas decimais, cuja aproximação com 10 casas é a seguinte:

1,4142135623…

NÚMERO IRRACIONAL

Dizer que a raiz quadrada de 2 é um número irracional significa que não existem dois números inteiros a e b, tais que a/b = √2.

Demonstração

Suponha que existam dois números inteiros a e b, tais que a/b = √2. Considere que a fração é irredutível, ou seja, foi simplificada ao máximo.

Observe que:

• o segundo membro é par, pois está sendo multiplicado por 2;
• o primeiro membro também é par devido à igualdade;
• a² possui uma quantidade par de fatores primos 2 pelo fato de ser elevado ao quadrado.
• b² também possui uma quantidade par de fatores primos 2.
• 2.b² possui uma quantidade ímpar de fatores primos 2.

Contradição: Como a² e 2b² não possuem a mesma quantidade de fatores primos 2, é impossível valer a igualdade.

Conclusão: Não existem dois números inteiros a e b, tais que a/b = √2.

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