Como fazer a comparação entre três vetores

O triplo produto escalar é definido por um produto vetorial e um produto escalar, isto é:

Em coordenadas cartesianas, podemos escrever o triplo produto vetorial como: u1i→ + u2j→ + u3k→ ⋅ v1i→ + v2j→ + v3k→ × w1i→ + w2j→ + w3k→.

Agora, usando a definição em cartesianas do produto vetorial dada na equação (2.19), substituindo u→ e v→ por v→ e w→, respectivamente, isto é:

Obtemos: u→ ⋅ (v→ ×w→) = u1 v2w3 − v3w2 + u2 v3w1 − v1w3 + u3 v1w2 − v2w1 = u1v2w3 − u1v3w2 + u2v3w1 − u2v1w3 + u3v1w2 − u3v2w1 = u1 u2 u3 v1 v2 v3 w1 w2 w3 = det u→,v→,w→ (2.27)

Observação 2.5.1. Assim como o produto vetorial possui uma interpretação geométrica importante, a intepretação geométrica do triplo produto escalar está relacionado com o paralelepípedo formado pelos vetores u→, v→ e w→, ver figura (2.7). O módulo é o volume do paralepípedo e o sinal é dado pela orientação do trio u→, v→ e w→: positivo ou negativo para as orientações dextrogira ou levogira, respectivamente.

Figura 2.7: Representação do paralelepípedo formado por três vetores.

O triplo produto escalar pode, portanto, ser calculado pelo determinante da matriz formada pelas componentes dos três vetores envolvidos. A expressão do triplo produto escalar como o determinante dos três vetores poderia ter sido mais rapidamente obtido usando (2.24) o determinante formal que, alternativamente, define o produto vetorial:

Sabemos que quando permutamos duas linhas de uma matriz, seu determinante muda de sinal, pelo que podemos obter as seguintes relações: u→ ⋅ v→ ×w→ = −v→ ⋅ u→ ×w→ = v→ ⋅ w→ ×u→ = −w→ ⋅ v→ ×u→ = w→ ⋅ u→ ×v→ = −u→ ⋅ w→ ×v→

Extraindo apenas os termos de ordem ímpar temos:

Observação 2.5.2. Um caso particular interessante é quando escolhemos w→ = u→ ×v→ e obtemos:

Assim, retornamos à expressão (2.20f).

Podemos igualmente definir o triplo produto vetorial como o produto vetorial de um vetor pelo produto vetorial de outros dois vetores, isto é: u→ × v→ ×w→.

Observe cuidadosamente que o produto vetorial não é associativo, isto é, pode acontecer u→ × v→ ×w→≠ u→ ×v→ ×w→ (ver problema 2.4.4), portanto, a ordem dos vetores é relevante.2 Podemos mostrar que o triplo produto vetorial pode ser expresso como:

Para verificar esta identidade, retornamos ao produto vetorial entre v→ e w→ em coordenadas cartesianas e o escrevemos como a diferença entre dois vetores: v→ ×w→ = v2w3 − v3w2 i→ + v3w1 − v1w3 j→ + v1w2 − v2w1 k→ = v2w3i→ + v3w1j→ + v1w2k→︸p1 → − v3w2i→ + v1w3j→ + v2w1k→︸p2 → = p1 → −p2 →.

u→ ×p1 → = u1i→ + u2j→ + u3k→ × v2w3i→ + v3w1j→ + v1w2k→ = u2v1w2 − u3v3w1 i→ + u3v2w3 − u1v1w2 j→ + u1v3w1 − u2v2w3 k→ = u2v1w2i→ + u3v2w3j→ + u1v3w1k→ − u3v3w1i→ + u1v1w2j→ + u2v2w3 k→

u→ ×p2 → = u1i→ + u2j→ + u3k→ × v3w2i→ + v1w3j→ + v2w1k→ = u2v2w1 − u3v1w3 i→ + u3v3w2 − u1v2w1 j→ + u1v3w1 − u2v3w2 k→ = u2v2w1i→ + u3v3w2j→ + u1v3w1k→ − u3v1w3i→ + u1v2w1j→u2v3w2k→

Subtraíndo temos: u→ × p1 → −p2 → = u2w2 + u3w3 v1i→ + u1w1 + u3w3 v2j→ + u1w1 + u2w2 v3k→ − u2v2 + u3v3 w1i→ + u1v1 + u3v3 w2j→ + u1v1 + u2v2 w3k→

Agora, somamos u1v1w1 à primeira coordenada de cada um dos dois termos da subtração; somamos u2v2w2 à segunda coordenada de cada um dos dois termos da subtração e somamos u3v3w3 à terceira coordenada de cada um dos dois termos da subtração para obter: u→ × p1 → −p2 → = u→ ⋅w→v1i→ + u→ ⋅w→v2j→ + u→ ⋅w→v3k→ − u→ ⋅v→w1i→ + u→ ⋅v→w2j→ + u→ ⋅v→w3k→ = (u→ ⋅w→)v→ − (u→ ⋅v→)w→.

Lembrando que p1 → −p2 → = v→ ×w→, obtemos: u→ × p1 → −p2 → = u→ × v→ ×w→ = (u→ ⋅w→)v→ − (u→ ⋅v→)w→.

O formulário abaixo resume as indentidades que acabamos de demonstrar e lista mais algumas sem demonstração:

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