Observe a imagem abaixo com base quadrada é suas dimensões qual é o volume do prisma da imagem acima

Rosimar Gouveia

Professora de Matemática e Física

O prisma é um sólido geométrico que faz parte dos estudos de geometria espacial.

É caracterizado por ser um poliedro convexo com duas bases (polígonos iguais) congruentes e paralelas, além das faces planas laterais (paralelogramos).

Composição do Prisma

Os elementos que compõem o prisma são: base, altura, arestas, vértices e faces laterais.

Assim, as arestas das bases do prisma são os lados das bases do polígono, enquanto as arestas laterais correspondem aos lados das faces que não pertencem às bases.

Os vértices do prisma são os pontos de encontro das arestas e a altura é calculada pela distância entre os planos das bases.

Saiba mais sobre a Geometria Espacial.

Classificação dos Prismas

Os prismas são classificados em Retos e Oblíquos:

• Prisma Reto: possui arestas laterais perpendiculares à base, cujas faces laterais são retângulos.
• Prisma Oblíquo: possui arestas laterais oblíquas à base, cujas faces laterais são paralelogramos.

Conheça outros Poliedros.

Bases do Prisma

De acordo com o formato das bases, os primas são classificados em:

• Prisma Triangular: base formada por triângulo.
• Prisma Quadrangular: base formada por quadrado.
• Prisma Pentagonal: base formada por pentágono.
• Prisma Hexagonal: base formada por hexágono.
• Prisma Heptagonal: base formada por heptágono.
• Prisma Octogonal: base formada por octógono.

Os chamados “prismas regulares” são aqueles cujas bases são polígonos regulares e, portanto, formados por prismas retos.

Note que se todas as faces do prisma forem quadradas, trata-se de um cubo; se todas as faces forem paralelogramos, o prisma é um paralelepípedo.

Leia sobre as Formas Geométricas.

Fique Atento!

Para calcular a área da base (Ab) de um prisma deve-se levar em conta o formato que apresenta. Por exemplo, se for um prisma triangular a área da base será um triângulo.

Saiba mais sobre o cálculo da área:

• Área do Triângulo
• Área do Losango
• Área do Hexágono

Fórmulas do Prisma

Áreas do Prisma

Área Lateral: para calcular a área lateral do prisma, basta somar as áreas das faces laterais. Num prisma reto, que possui todas as áreas das faces laterais congruentes, a fórmula da área lateral é:

Al = n . a

n: número de lados
a: face lateral

Área Total: para calcular a área total de um prisma, basta somar as áreas das faces laterais e as áreas das bases:

At = Sl+ 2Sb

Sl: Soma das áreas das faces laterais
Sb: soma das áreas das bases

Volume do Prisma

O volume do prisma é calculado pela seguinte fórmula:

V = Ab.h

Ab: área da base
h: altura

Exercícios Resolvidos

Questão 1

Indique se as sentenças abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F):

a) O prisma é uma figura da geometria plana b) Todo paralelepípedo é um prisma reto c) As arestas laterais de um prisma são congruentes d) As duas bases de um prisma são polígonos semelhantes

e) As faces laterais de um prisma oblíquo são paralelogramos

Questão 2

O número de faces laterais, arestas e vértices de um prisma oblíquo quadrangular é:

a) 6; 8; 12 b) 2; 8; 4 c) 2; 4; 8 d) 4; 10; 8

e) 4; 12; 8

Questão 3

O número de faces laterais, arestas e vértices de um prisma reto heptagonal é:

a) 7; 21; 14 b) 7; 12; 14 c) 14; 21; 7 d) 14; 7; 12

e) 21; 12; 7

Questão 4

Calcule a área da base, a área lateral e a área total de um prisma reto que apresenta 20 cm de altura, cuja base é um triângulo retângulo com catetos que medem 8 cm e 15 cm.

(Enem-2012) Maria quer inovar sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas.

Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações?

a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide c) Cone, tronco de pirâmide e prisma d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma

e) Cilindro, prisma e tronco de cone

Leia também sobre:

A área do prisma pode ser calculada pela soma de sua área lateral com as áreas das bases. O processo de cálculo dessas áreas acaba sendo facilitado porque as duas bases de um prisma são iguais, bastando, portanto, calcular a área de uma base e multiplicar o resultado por 2. A área lateral do prisma é dada pela soma das áreas das faces laterais, que também costumam ser iguais ou seguir algum padrão. Claro que isso não elimina o fato de, em alguns casos, existirem prismas que exigirão o cálculo separado para cada uma de suas faces, mas esses casos são mais raros.

Neste artigo discutiremos alguns exemplos de cálculo de área de prismas. O texto completo a respeito desse cálculo pode ser encontrado aqui.

Exemplo 01

(UNESP/2016) Um paralelepípedo reto-retângulo foi dividido em dois prismas por um plano que contém as diagonais de duas faces opostas, como indica a figura.

Comparando-se o total de tinta necessária para pintar as faces externas do paralelepípedo antes da divisão com o total necessário para pintar as faces externas dos dois prismas obtidos após a divisão, houve um aumento aproximado de

a) 42%.

b) 36%.

c) 32%.

d) 26%.

e) 28%.

Solução:

Primeiramente calcularemos a área do prisma reto-retângulo. Observe que ele é formado por duas faces laterais retangulares de base 3 e altura 1, por duas faces laterais de base 4 e altura 1 e por duas bases retangulares de comprimento 4 e largura 3.

A área lateral é igual à soma das áreas das faces laterais, e a área total é a soma entre esse resultado e a área das duas bases. Observe:

Al = 4·1 + 4·1 + 3·1 + 3·1 = 4 + 4 + 3 + 3 = 14 cm2

Ab = 4·3 + 4·3 = 12 + 12 = 24 cm2

A área total do prisma reto-retângulo é:

Ar = 14 + 24 = 38 cm2

Agora calcularemos a área de um dos prismas triangulares. Como eles foram criados pela secção sobre as diagonais das bases, eles possuem medidas congruentes e, por isso, basta encontrar a área de um deles e multiplicar o resultado por 2. Entretanto, precisamos descobrir o comprimento dessa diagonal. Para isso, usaremos o teorema de Pitágoras. Só é possível usá-lo porque temos a garantia de que os ângulos entre duas arestas (exceto as introduzidas pelo corte) são retos, já que se trata de um prisma reto-retângulo.

Tendo em vista que os outros dois lados do retângulo, base do prisma, medem 3 e 4, a sua diagonal mede x:

x2 = 32 + 42

x2 = 9 + 16

x2 = 25

x = 5

No prisma triangular, temos uma face com base 4 e altura 1, uma com base 3 e altura 1 e uma com lado 5 e altura 1. Além disso, duas faces são bases, com “altura” 3 e “base” 4. Logo, a área lateral e a área das bases serão:

Al = 3·1 + 4·1 + 5·1 = 3 + 4 + 5 = 12

Ab = 3·4 + 3·4 = 6 + 6 = 12
         2       2                    

Dessa maneira, a área de um prisma triangular é:

At = 12 + 12 = 24 cm2

Como dito anteriormente, a área dos dois prismas triangulares é o produto da área de um deles por 2.

Att = 2·24 = 48 cm2

Para finalizar o exercício, basta calcular o percentual representado pela diferença entre as áreas dos retângulos. A diferença é 48 – 38 = 10. A razão entre a diferença e a área é:

10/38 = 0,263158

O percentual pode ser calculado multiplicando-se essa taxa por 100. Arredondando o resultado, teremos:

0,263158·100 = 26%

Gabarito: letra D.

Exemplo 02

(UFSCar SP/2016) Uma caixinha de papelão tem a forma de um prisma reto de base quadrada, com 6 cm de lado e altura h, conforme mostra a figura.

Sabendo que o volume dessa caixinha é 288 cm3, pode-se concluir corretamente que o valor da sua área lateral, em centímetros quadrados, é

a) 192.

b) 170.

c) 154.

d) 128.

e) 96.

Solução:

A estratégia para obter a área lateral desse prisma é calcular primeiramente a medida de sua altura. Como foi dada a medida do volume, podemos usar a fórmula para o cálculo do volume de um prisma para descobrir essa medida que falta.

Para tanto, o volume de um prisma é dado pelo produto da área da base pela altura. Sendo assim, a fórmula é:

V = Ab·h

A base desse prisma é um quadrado, portanto, sua área é dada pelo quadrado da medida do lado. Assim, Ab = 62 = 36. Substituindo esse valor e a área da base na expressão acima, teremos:

288 = 36·h

36·h = 288

h = 288
     36

h = 8 cm

A área lateral é dada pela soma das áreas das faces laterais. Como são todas congruentes, basta calcular uma e multiplicar o resultado por 4:

Al = 4·6·8 = 4·48 = 192 cm2

Gabarito: letra A.