Uma função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto A a um único elemento de um conjunto B. Nessa definição, o conjunto A é chamado de domínio, o conjunto B é o contradomínio, e existe ainda um subconjunto do conjunto B chamado imagem.
Uma função determina, para todo elemento x do conjunto A, qual elemento y do conjunto B está relacionado a ele. Em outras palavras, todos os elementos do conjunto A são relacionados a algum elemento do conjunto B, e para cada elemento do conjunto A existe um único “correspondente” no conjunto B.
A forma algébrica de representar a definição da função corresponde, considerados os conjuntos A e B, à regra em que a função f é:
f: A → B
y = f(x)
Observe que essa função é denominada “f”, o que pode ser feito com qualquer letra. Os símbolos A → B indicam que cada elemento do conjunto A, aplicado na função f, tem como resultado um elemento do conjunto B. É por isso que o conjunto A é chamado de domínio. Os resultados em B serão determinados a partir dos valores de A. Por esse motivo, seja x um elemento qualquer do conjunto A, x é chamado variável independente, e seja y um elemento qualquer do conjunto B, y é a variável dependente.
Domínio
Dada a função f de A em B, definida como y = f(x) (modo como deve ser lida a simbologia usada anteriormente), já sabemos que seu domínio é o conjunto A e que um elemento qualquer de A, representado pela letra x, é chamado variável independente.
O domínio é formado por todos os elementos que “dominam” os possíveis resultados encontrados para y em uma função. Esse conjunto é chamado por esse nome porque cada um dos seus valores determina um único resultado no outro conjunto.
Exemplo:
f: N → Z
y = 2x + 1
O domínio dessa função é o conjunto dos números naturais, ou seja:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
Portanto, esses são os valores que podem substituir a variável x na função.
Contradomínio
Dada a função f de A em B, definida como y = f(x), já sabemos que o conjunto B é chamado contradomínio. A definição de função garante que cada elemento do domínio (conjunto A) é relacionado a um único elemento do contradomínio (conjunto B). Note que a palavra “cada” garante que todos os elementos do domínio são usados em uma função, mas a expressão “um único elemento do conjunto B” não garante que todos os elementos do contradomínio serão relacionados a elementos do domínio.
Utilizando o mesmo exemplo anterior:
f: N → Z
y = 2x + 1
Note que o contradomínio dessa função é definido no conjunto dos números inteiros. Entretanto, sabemos que “2x + 1” terá como resultado apenas números ímpares. Portanto, o conjunto Z contém todos os elementos que se relacionam a elementos do domínio, não sendo necessariamente seus únicos elementos.
Imagem
O conjunto imagem é formado por todos os elementos do contradomínio que estão relacionados a algum elemento do domínio. No exemplo anterior:
f: N → Z
y = 2x + 1
Os resultados obtidos substituindo elementos do domínio na função são:
Se x = 0, y = 1
se x = 1, y = 3
se x = 2, y = 5
…
Isso significa que os valores de y sempre pertencem ao conjunto dos números ímpares não negativos. Portanto, a imagem dessa função é o conjunto dos números ímpares a partir de 1.
Cada um dos valores de y obtidos é chamado de imagem, assim, se x = 10, sua imagem é y = 21 na função dada como exemplo.
Funções - O conjunto imagem
1. O que é uma função
Muitos fenômenos do nosso cotidiano envolvem duas grandezas que se relacionam de alguma forma por alguma regra de correspondência.
Por exemplo, suponha que a velocidade média de um carro é de 60 km/h. A distância percorrida pelo carro fica determinada pelo tempo que dura a viagem:
distância = velocidade x tempo
Usando símbolos (letras), essa relação pode ser expressa pela equação
d = 60 . t
na qual d é a distância percorrida (em km) no tempo t (em horas).
Quando t = 5 (horas) a distância percorrida é
d = 60 . 5 = 300 (km)
Note que para cada valor de t (é razoável dizer que t > 0) a equação produz exatamente o valor da distância d. Dizemos que a equação d = 60 . t descreve uma relação entre as grandezas d e t que é uma função ou, ainda, dizemos que a grandeza d é uma função da grandeza t.
Na relação descrita, observe que para cada escolha de t (t > 0) há exatamente um valor de d associado a t.
Há, entretanto, outros fenômenos nos quais a correspondência entre as grandezas não é descrita por fórmulas matemáticas. Por exemplo, podemos associar a cada hora do dia, das 11 às 15 horas, a temperatura (em graus Celsius) da água de uma piscina.
Não descrevemos tal correspondência com uma fórmula; mas podemos usar outros recursos para essa descrição.
Por exemplo, usamos um diagrama de flechas:
Essa mesma correspondência pode ser descrita com uma tabela:
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Horas do dia |
Temperatura |
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11 |
24º |
|
12 |
25º |
|
13 |
25º |
|
14 |
27º |
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15 |
28º |
É importante notar que nos casos descritos há alguma regra de correspondência que associa a cada elemento de um conjunto exatamente um elemento de um outro conjunto.
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Definição Uma função f, de um conjunto A em um conjunto B, é uma regra de correspondência que associa a cada elemento do conjunto A um (e um só elemento) do conjuntoB. |
2. Alguns nomes
Em uma função f, de A em B, o conjunto A denomina-se domínio da função e o conjunto B, contradomínio da função.
Retomemos o exemplo dado acima.
Note na figura que todo elemento do domínio A tem um correspondente, e um único correspondente, no contradomínio B.
No contradomínio B algumas situações podem se apresentar: 25º é correspondente de mais de um elemento de A; 10º, 11º, 6º, 7º "sobram" em B e não são correspondentes de qualquer elemento de A.
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Observação O que acontece no contradomínio não importa. O que importa é que cada elemento do domínio tenha um correspondente e que esse correspondente seja único. |
Exercícios
Sejam A = {1, 2, 3} e B = {a, b, c, d, e}. O diagrama abaixo representa uma fração do conjunto A no conjunto B?
a)
b)
c)
d)
Resolução
a) Sim, porque cada elemento de A tem um correspondente, e um só, em B.
b) Não, porque os elementos 1 e 2 de A têm, cada um, dois correspondentes em B.
c) Sim, porque cada elemento A tem um correspondente, e um só, em B.
d) Não, porque o elemento 3 de A não tem correspondente em B.
3. O conjunto imagem
Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {0, 2, 4, 6, 8, 11} e seja a função f, de A em B, descrita pelo diagrama abaixo.
A parte do contradomínio B, constituída pelos elementos que são imagem de algum elemento do domínio A da função f, chama-se conjunto imagem da função e é representado com I.
Para a função f descrita acima temos:
I = {0, 2, 4}
|
Observação: O conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio: I |
4. A fórmula
É comum representarmos funções por equações ou fórmulas envolvendo duas variáveis. Por exemplo, a equação
y = 1 - x2
representa a variável y como função da variável x. Aqui, x é a variável independente e y é a variável dependente.
O domínio da função é o conjunto de todos os valores assumidos pela variável independente x e o conjunto imagem da função é o conjunto de todos os valores assumidos pela variável dependente y.
Se conhecemos que a fórmula y = 1 - x2 descreve y como função de x, e se a essa função damos o nome f, então usamos a notação
f(x) = 1 - x2
O símbolo (desenho) f (x) lê-se como valor de f em x, ou imagem de x por f, ou simplesmente "f de x" (éfe de x).
f(x) corresponde ao valor de y para um dado x, ou f(x) é a imagem de um dado x; escrevemos y = f(x)
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