Observe o retângulo abaixo: qual a expressão algébrica que representa o perímetro da figura

cm; 15a + 6b = 15 ∙ 1 + 6 ⋅ 1,5 = 15 + 9 = 24 Perímetro = 24 cm c) do item c para a = 2,5 cm; 7a + 1 = 7 ∙ 2,5 + 1 = 17,5 + 1 = 18,5 Perímetro = 18,5 cm d) do item d para m = 2 cm. 5m + 3 = 5 ∙ 2 + 3 = 10 + 3 = 13 Perímetro = 13 cm 5. Determine o polinômio que, subtraído do polinômio 3a + 5b – 7c + 5d, resulta em –5a + 2b – 3c + d. O polinômio procurado é dado por 3a + 5b – 7c + 5d – (–5a + 2b – 3c + d) = 8a + 3b – 4c + 4d. 6. Considerando A = 2xy + 3xz – 4xw + 5x, B = –2xy + 5xz – 2xw – x e C = 4xy – 3xz + x, determine: a) A + B + C 2xy + 3xz – 4xw + 5x + (–2xy + 5xz – 2xw – x) + (4xy – 3xz + x) = 4xy + 5xz – 6xw + 5x b) A + B – C 2xy + 3xz – 4xw + 5x + (–2xy + 5xz – 2xw – x) – (4xy – 3xz + x) = –4xy + 11xz – 6xw + 3x 7. Eduarda está fazendo uma colcha de retalhos e um dos retalhos que ela está usando é o que aparece representado abaixo. a) Que expressão algébrica, na forma reduzida, representa o perímetro desse retalho? 2 1 5 3 3 3 3 6 4 3 122 2 2 2x x x y y x y � � � � � � � � � � � b) Qual a medida do perímetro, sabendo que x = 2 cm e y = 3 cm? 6 4 3 12 6 2 4 3 3 12 24 4 12 402 2x y � � � � � � � � � � � A medida do perímetro é igual a 40 cm. 3x + 322x + 12 x + 52 y + 3 y 3 Sugestão de atividades: questões 1 e 2 da seção Hora de estudo. Matemática 11 Multiplicação de polinômios Vamos relembrar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. Observe este retângulo formado por dois outros retângulos menores. a) Que expressão representa a altura desse retângulo? b + c b) Que expressão representa a área desse retângulo? a · (b + c) c) Separe o retângulo em dois retângulos menores e escreva a área de cada um deles. a · b e a · c b a c a c b a d) Que relação existe entre as áreas dos dois retângulos menores e a área do retângulo inicial? Esperamos que os alunos observem que a área do retângulo inicial é igual à soma das áreas dos retângulos menores. e) O que podemos concluir em relação ao produto de a ⋅ (b + c)? a · (b + c) = ab + ac Vamos relembrar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração. Observe este retângulo formado por dois outros retângulos menores. a) Que expressão algébrica representa a altura do retângulo II? b − c b) E a área do retângulo inicial? a · b c) Separando os retângulos I e II, escreva a área de cada um deles: I: ac e II: a ∙ (b – c) c b a I II c a I II b − c a d) Qual a relação entre a área do retângulo II e a área dos outros dois retângulos? Esperamos que os alunos observem que a área do retângulo de altura (b − c) é a diferença entre a área do retângulo de altura b e do retângulo de altura c. e) O que podemos concluir em relação ao produto de a ⋅ (b − c)? a · (b – c) = ab − ac c b a c b a I II 8o. ano – Volume 312 Considere o retângulo representado na figura a seguir. x + 5 x + y a) Qual expressão algébrica representa a medida da base desse retângulo? E a expressão que representa a medida de sua altura? x + 5 e x + y, respectivamente. b) Observe como o retângulo foi dividido em outros quatro retângulos, cujas medidas estão indicadas ao lado. Escreva a área de cada um deles. AI = x ∙ x = x 2 AII = x ∙ 5 = 5x AIII = x ∙ y = xy AIV = 5 ∙ y = 5y c) Determine a área do retângulo de lados de medidas x + y e x + 5 utilizando as áreas dos retângulos I, II, III e IV. Somando todas as áreas obtidas no item b, temos x2 + 5x + xy + 5y. Logo, a área do retângulo de base x + 5 e altura x + y é x2 + 5x + xy + 5y. Observe que também podemos representar a área do retângulo pela expressão algébrica (x + y) ∙ (x + 5). Essa expressão representa uma multiplicação de um polinômio por um polinômio. Note que podemos utilizar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição algébrica: (x + y) ∙ (x + 5) = x2 + 5x + xy + 5y Multiplicamos x por x, resultando x2. Multiplicamos x por 5, resultando 5x. Multiplicamos y por x, resultando xy. Multiplicamos y por 5, resultando 5y. Por fim, somamos todos os valores obtidos. A multiplicação de um polinômio por outro polinômio consiste em multiplicar cada termo de um deles pelos termos do outro. x 5 x y I II III IV Matemática 13 Atividades 1. Determine os produtos apresentando as respostas na forma reduzida. a) x ⋅ (2x – 5) b) –ab ⋅ (a2 – 2ab + b2) c) (a + 5) ⋅ (3 – b) d) (x + 2) ⋅ (2x2 − 5x + 3) 2. Considerando A = x + 3, B = x – 1 e C = 3x2 − 3, determine: a) A ⋅ B b) (A + B) ⋅ C c) A ⋅ B ⋅ C 3. Observe o seguinte modelo de sapo feito de papelão colorido e, depois, responda às questões propostas. x + 1 x + 2 3x – 2 x 2x 3 3x x x a) Qual polinômio representa a quantidade de papelão colorido usada para confeccionar esse sapo? b) Considerando que x = 2 cm, quantos centímetros quadrados de papelão colorido foram usados para confeccionar esse sapo de papelão? Divisão de polinômios por monômios No retângulo da figura, são dadas as medidas de sua área A e da altura. Vamos determinar o monômio que representa a medida de sua base. Observe que, para determinar a medida da base do retângulo, podemos rea- lizar uma divisão entre a medida da área e a medida da altura desse retângulo. 24 6 24 6 24 6 4 43 2 3 2 3 2 3 2a a a a a a a a: � � � � � �� Para determinar o quociente de monômios, dividimos os coeficientes entre si e as partes literais entre si. 2x2 – 5x –a3b + 2a2b2 – ab3 3a – ab + 15 – 5b 2x3 − x2 − 7x + 6 (x + 3) ⋅ (x – 1) = x2 + 2x – 3 [(x + 3) + (x – 1)] ⋅ (3x2 − 3) = (2x + 2) ⋅ (3x2 − 3) = 6x3 + 6x2 − 6x – 6 (x + 3) ⋅ (x – 1) ⋅ (3x2 − 3) = 3x4 + 6x3 − 12x2 − 6x + 9 Gabaritos.8 A = 24a3 6a2 Esperamos que os alunos utilizem seus conhecimentos de multiplicação de monômios e de operação inversa para verificarem que a base do retângulo é 4a, pois, quando esse monômio é multiplicado por 6a2, obtém-se 24a3. 8 o. ano – Volume 314 1. Ao multiplicarmos determinado polinômio por 3a, obtemos 18a4 – 21a3 + 12a2. Qual é esse polinômio? (18a4 – 21a3 + 12a2) : 3a = 6a3 – 7a2 + 4a 2. A área do retângulo representado na figura é dada pelo polinômio 35a2 + 28b2 + 1 015ab. 7ab a) Encontre o polinômio que indica a medida da altura do retângulo. b) Determine as medidas, em metros, dos lados desse retângulo quando a = 8 cm e b = 10 cm. 3. Resolva as divisões considerando os denominadores diferentes de zero. a) (a3b + a2b2 + a2b) : (a2b) b) (9x4y2 – 6x3y2 + 3x2y2) : (3x2y2) c) 8 4 2 4 4 3 2 m n m n m n d) � � � � 6 5 2 16 5 2 5 3 2a a a a a + b + 1 3x2 – 2x + 1 –4m2n3 – 2m 3a2 – 5a + 8 ( ) :9 6 3 3 9 6 3 3 9 3 6 3 3 3 3 24 3 2 4 3 2 4 3 2 3 2x x x x x x x x x x x x x x x x x� � � � � � � � � � � Para dividirmos um polinômio por um monômio, dividimos cada termo do polinômio pelo monômio. Atividades A = 9x + 6x – 3x4 3 2 3x Esperamos que os alunos utilizem seus conhecimentos de multiplicação de polinômios e que verifiquem que a altura do retângulo é 3x3 + 2x2 – x, pois, quando esse polinômio é multiplicado por 3x, obtém-se 9x4 + 6x3 – 3x2. Agora, verifique uma situação em que a área do retângu- lo é representada por um polinômio com mais de um ter- mo. No retângulo da figura ao lado, está indicada a medida de sua área A e de sua base. Qual a medida da altura desse retângulo? Veja que, nesse caso, também podemos determinar a me- dida da altura do retângulo por meio de uma divisão entre a medida da área e a medida de sua base. Gabaritos.9 Sugestão de atividades: questões de 3 a 5 da seção Hora de estudo. Matemática 15 Sequências numéricas As sequências estão presentes em diversas situações do nosso cotidiano. A repetição das horas ao longo do dia, dos dias da semana, dos meses a cada ano são exemplos de sequências. Há sequências que podem ser relacionadas a ideias matemáticas, por exem- plo, a sequência dos anos de ocorrência da Copa do Mundo de futebol feminino. Esse torneio ocorreu pela primeira vez em 1991 e também