A raiz quadrada é uma operação básica e importante da Matemática. Se trata da operação inversa da potenciação. Assim, calcular a raiz quadrada de um número n é descobrir qual número elevado ao quadrado resulta em n. Por exemplo, a raiz quadrada de 9 é igual a 3, pois, 3² é 9. Uma raiz quadrada pode ser exata, gerando um número chamado de quadrado perfeito, ou pode ser não exata. Show
Leia também: Expressões numéricas — o conjunto de operações fundamentais a serem calculadas Resumo sobre raiz quadrada
Videoaula sobre raiz quadradaA radiciação é uma das operações básicas da Matemática, sendo a operação inversa da potência. Existem vários tipos de raiz, como a raiz cúbica e a raiz quarta, mas a mais utilizada é a raiz quadrada. Quando calculamos, por exemplo, a raiz quadrada de um número a, o resultado dessa operação será o número que, ao elevarmos ao quadrado, resultará em a. Os outros casos de radiciação seguem o mesmo raciocínio. A raiz cúbica de um número x é o número cujo cubo é igual a x. Dizemos, por exemplo, que a raiz cúbica de 27 é 3, pois 3³ = 27. De forma semelhante, dizemos que a raiz quadrada de 81 é 9, pois 9² = 81. O que é raiz quadrada?A raiz quadrada é um caso particular da radiciação, sendo o mais comum deles. Conhecemos como raiz quadrada a radiciação com índice igual a 2. A raiz quadrada é a operação inversa da potência com o expoente 2, pois quando calculamos a raiz quadrada de um número a, estamos procurando qual número ao quadrado é igual a a. Quando o radical não apresenta número no índice, calcula-se a raiz quadrada do radicando. Exemplos: √4 = 2, pois 2² = 4 √9 = 3, pois 3² = 9 √16 = 4, pois 4² = 16 √25 = 5, pois 5² = 25 Como calcular a raiz quadrada?Para calcular a raiz quadrada de um número, geralmente recorremos à tabuada. Entretanto, quando o número é maior que 100, é possível utilizar o processo de fatoração para calcular a raiz quadrada exata. Ao realizar uma fatoração, agrupamos os fatores de dois em dois, já que é a raiz quadrada exata que estamos buscando. Já quando estamos calculando uma raiz quadrada não exata, utilizamos aproximações. Saiba também: Propriedades dos radicais — simplificam e resolvem raízes de qualquer índice A raiz quadrada exata ocorre quando o resultado da operação é um número racional. Os exemplos supracitados são casos de raiz quadrada exata. Por exemplo, a √16 é exata porque o seu resultado é 4, que é um número racional. Quando há no radicando um número com raiz quadrada desconhecida, utilizamos fatoração para calcular uma raiz exata. Exemplo: Calcule o valor da √324. Resolução: Para encontrar a √324, inicialmente fatoraremos esse número: Dessa forma, calcula-se: √0 = 0 √1 = 1 √4 = 2 √9 = 3 √16 = 4 √25 = 5 √36 = 6 √49 = 7 √64 = 8 √81 = 9 √100 = 10 Os números que possuem raiz quadrada exata são conhecidos como quadrados perfeitos. Em muitos casos, o número pode não possuir uma raiz quadrada exata, ou seja, a solução da raiz quadrada é um número irracional. Para calcular uma raiz quadrada não exata, utilizamos aproximações, ou seja, números que quando elevamos ao quadrado chegam bem próximo do resultado desejado. Exemplo: Calcule o valor da √60. Resolução: Sabemos que essa raiz não é exata, então, primeiramente, identificaremos qual é o número anterior a 60 que possui raiz exata, que é 49, e também o número posterior a 60 que possui raiz exata, que é 64. √49 < √60 < √64 Calculando as raízes de 49 e 64: 7 < √60 < 8 Note que 60 está próximo de 64, então a √60 estará próxima de 8. Calcularemos, assim, o quadrado dos números próximos a 8. 7,9² = 62,41 7,8² = 60,84 7,7² = 59,29 Descobrimos que a √60 está entre 7,7 e 7,8. Portanto, dizemos que a √60 = 7,7 por falta ou que a √60 = 7,8 por excesso. Exercícios resolvidos sobre raiz quadradaQuestão 1 (Ethos concursos) A raiz quadrada de um número é uma importante operação matemática, assim como a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. Somente alguns números possuem raiz quadrada, aqueles considerados quadrados perfeitos. Sendo assim, calcule a raiz quadrada de 625 e assinale a alternativa CORRETA. A) 35 B) 24 C) 25 D) 17 E) 49 Resolução: Alternativa C Inicialmente, realizaremos a fatoração do número: Dessa forma, temos: √625 = √54 √625 = 5² √625 = 25 Questão 2 Sobre a raiz quadrada, julgue as afirmativas a seguir: I → É possível calcular a raiz quadrada de número negativo. II → Os números 0, 1, 4, 9 e 16 são todos quadrados perfeitos menores que 20. III → A raiz quadrada de 6 é igual a 3. As afirmativas são, respectivamente: A) V, V e V. B) F, F e F. C) F, F e V. D) F, V e F. E) V, F e V. Resolução: Alternativa D I → Falsa A potência de dois possui resultado somente positivo, logo, não é possível calcular a raiz quadrada de um número negativo. II → Verdadeira Os números listados são os únicos que possuem raiz exata menores que 30. III → Falsa 3² = 9, logo, a raiz quadrada de 9 é 3, e não a de 6.
Radiciação é a operação que realizamos quando queremos descobrir qual o número que multiplicado por ele mesmo uma determinada quantidades de vezes dá um valor que conhecemos. Exemplo: Qual é o número que multiplicado por ele mesmo 3 vezes dá como resultado 125? Por tentativa podemos descobrir que: 5 x 5 x 5 = 125, ou seja, Escrevendo na forma de raiz, temos:
Portanto, vimos que o 5 é o número que estamos procurando. Símbolo da RadiciaçãoPara indicar a radiciação usamos a seguinte notação:
Sendo, n é o índice do radical. Indica quantas vezes o número que estamos procurando foi multiplicado por ele mesmo. Exemplos de radiciação: (Lê-se raiz quadrada de 400) (Lê-se raiz cúbica de 27) (Lê-se raiz quinta de 32) Propriedades da RadiciaçãoAs propriedades da radiciação são muito úteis quando necessitamos simplificar radicais. Confira a seguir. 1ª propriedade:
Já que a radiciação é a operação inversa da potenciação, todo radical pode ser escrito na forma de potência. Exemplo: 2ª propriedade:
Multiplicando-se ou dividindo-se índice e expoente pelo mesmo número, a raiz não se altera. Exemplos:
3ª propriedade: Na multiplicação ou divisão com radiciais de mesmo índice realiza-se a operação com os radicandos e mantém-se o índice do radical. Exemplos:
4ª propriedade:
A potência da raiz pode ser transformada no expoente do radicando para que a raiz seja encontrada. Exemplo: Quando o índice e a potência apresentam o mesmo valor: . Exemplo: 5ª propriedade:
A raiz de uma outra raiz pode ser calculada mantendo-se o radicando e multiplicando-se os índices. Exemplo: Radiciação e PotenciaçãoA radiciação é a operação matemática inversa da potenciação. Desta forma, podemos encontrar o resultado de uma raiz buscando a potenciação, que tem como resultado a raiz proposta. Observe: Note que se o radicando (x) é um número real e o índice (n) da raiz é um número natural, o resultado (a) é a raiz enésima de x se an = x. Exemplos: , pois sabemos que 92 = 81 , pois sabemos que 104 = 10 000 , pois sabemos que (–2)3 = –8 Saiba mais lendo o texto Potenciação e Radiciação. Simplificação de RadicaisMuitas vezes não sabemos de forma direta o resultado da radiciação ou o resultado não é um número inteiro. Neste caso, podemos simplificar o radical. Para fazer a simplificação devemos seguir os seguintes passos:
Exemplo:Calcule 1º passo: transformar o número 243 em fatores primos
2º passo: inserir o resultado, na forma de potência, dentro da raiz 3º passo: simplificar o radical Para simplificar, devemos dividir o índice e o expoente da potenciação por um mesmo número. Quando isso não for possível, significa que o resultado da raiz não é um número inteiro. , note que ao dividir o índice por 5 o resultado é igual a 1, desta forma cancelamos o radical. Assim, . Veja também: Simplificação de radicais Racionalização de DenominadoresA racionalização de denominadores consiste em transformar uma fração, que apresenta um número irracional no denominador, em uma fração equivalente com denominador racional. 1º caso – raiz quadrada no denominador
Neste caso, o quociente com o número irracional no denominador foi transformado em um número racional ao utilizarmos o fator racionalizante . 2º caso – raiz com índice maior que 2 no denominador
Neste caso, o quociente com o número irracional no denominador foi transformado em um número racional ao utilizarmos o fator racionalizante , cujo expoente (3) foi obtido pela subtração do índice (5) do radical pelo expoente (2) do radicando. 3º caso – adição ou subtração de radicais no denominador Neste caso, utilizamos o fator racionalizante para eliminar a radical do denominador, pois . Operações com RadicaisSoma e SubtraçãoPara somar ou subtrair devemos identificar se os radicais são semelhantes, ou seja, se apresentam índice e radicando iguais. 1º caso – Radicais semelhantes Para somar ou subtrair radicais semelhantes, devemos repetir o radical e somar ou subtrair seus coeficientes. Veja como fazer: Exemplos:
2º caso – Radicais semelhantes após simplificação Neste caso, devemos inicialmente simplificar os radicais para se tornarem semelhantes. Depois, faremos como no caso anterior. Exemplo I: Portanto, . Exemplo II:
Portanto, . 3º caso – Radicais não são semelhantes Calculamos os valores dos radicais e depois efetuamos a soma ou a subtração. Exemplos:
(valores aproximados, pois a raiz quadrada de 5 e de 2 são números irracionais) Multiplicação e Divisão1º caso – Radicais com mesmo índice Repete a raiz e realiza a operação com os radicandos. Exemplos:
2º caso – Radicais com índices diferentes Primeiro, devemos reduzir ao mesmo índice, depois realizar a operação com os radicandos. Exemplo I:
Portanto, . Exemplo II:
Portanto, . Saiba também sobre
Exercícios resolvidos sobre radiciaçãoQuestão 1Calcule os radicais a seguir. a) b) c) d)
Resposta correta: a) 4; b) -3; c) 0 e d) 8. a) b) c) a raiz do número zero é o próprio zero. d) Questão 2Resolva as operações abaixo utilizando as propriedades da radiciação. a) b) c) d)
Resposta correta: a) 6; b) 4; c) 3/4 e d) 5√5. a) Por se tratar da multiplicação de radicais com o mesmo índice utilizamos as propriedades Portanto, b) Por se tratar do cálculo da raiz de uma raiz utilizamos a propriedade Portanto, c) Por se tratar da raiz de uma fração utilizamos a propriedade Portanto, d) Por se tratar da soma e subtração de radicais semelhantes utilizamos a propriedade Portanto, Veja também: Exercícios sobre simplificação de radicais Questão 3(Enem/2010) Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares. As fórmulas que determinam esses índices são: ARAUJO, C. G. S.; RICARDO, D. R. Índice de Massa Corporal: Um Questionamento Científico Baseado em Evidências. Arq. Bras. Cardiologia, volume 79, no 1, 2002 (adaptado). Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m2 , então ela possui RIP igual a a) 0,4 cm/kg1/3
Resposta correta: e) 40 cm/kg1/3. 1º passo: calcular a altura, em metros, utilizando a fórmula do IMC. 2º passo: transformar a unidade da altura de metros para centímetros.
3º passo: calcular o Recíproco do Índice Ponderal (RIP). Portanto, uma menina, com 64 kg de massa, apresenta RIP igual a 40 cm/kg1/3. (Enem/2013 - Adaptado) Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que “o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”. HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher, 1999 (adaptado). Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão: a)
Resposta correta: d) . A relação entre as grandezas “o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M” pode descrita da seguinte forma: , sendo k a constante de proporcionalidade. A área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão:
Através da propriedade reescrevemos a área S. , conforme a alternativa d. |