O que que é paralelepípedo

O paralelepípedo é um sólido geométrico que possui três dimensões: altura, largura e comprimento. Esse prisma possui todas as suas faces no formato de um paralelogramo, sendo formado por 6 faces, 8 vértices e 12 arestas. É uma forma geométrica bastante comum no nosso cotidiano, observada, por exemplo, em caixas de sapato, no formato de algumas piscinas etc. O volume de um paralelepípedo é calculado pelo produto do comprimento de suas três dimensões. Já a sua área total é igual à soma das áreas das suas faces.

Leia também: Planificação de sólidos geométricos — a representação das suas faces em forma bidimensional

Resumo sobre paralelepípedo

• O paralelepípedo é um sólido geométrico formado por faces no formato de paralelogramos.

• É composto por 6 faces, 8 vértices e 12 arestas.

• Ele pode ser oblíquo ou reto.

• Para calcular o volume de um paralelepípedo, calculamos o produto entre a altura, largura e comprimento do paralelepípedo.

• A área total de um paralelepípedo é calculada por AT = 2ab + 2ac + 2bc.

Videoaula sobre paralelepípedo

Características do paralelepípedo

O paralelepípedo é um sólido geométrico que possui as faces formadas por paralelogramos. Esse formato é bastante comum no nosso cotidiano, sendo um caso particular de prisma, pois os prismas são sólidos geométricos que possuem duas bases congruentes. Para se caracterizarem como paralelepípedos, portanto, as bases são formadas por paralelogramos. Sendo assim, o paralelepípedo possui 6 faces formadas por paralelogramos, 8 vértices e 12 arestas. Veja abaixo:

Existem duas classificações possíveis para um paralelepípedo:

• Paralelepípedo reto: quando as arestas das faces laterais são perpendiculares à base.

• Paralelepípedo oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas à base.

Fórmulas do paralelepípedo

Existem fórmulas específicas para calcular o volume, a área total e o comprimento da diagonal de um paralelepípedo reto. O paralelepípedo oblíquo não possui fórmulas específicas para esses cálculos, já que ele depende, principalmente:

• da forma da sua base;

• da sua inclinação.

Além desses, ele depende de vários outros fatores que são estudados mais a fundo no Ensino Superior. No nosso cotidiano, o mais recorrente é o paralelepípedo reto, conhecido também como paralelepípedo retângulo. Veja, a seguir, como calcular o seu volume, sua área e sua diagonal.

Para calcular o volume de um paralelepípedo, basta que seja feita a multiplicação do comprimento, da largura e da altura desse sólido geométrico.

Para calcular o volume do paralelepípedo, utilizamos a seguinte fórmula:

\(V=a\cdot b\cdot c\)

→ Exemplo de cálculo do volume do paralelepípedo

Uma caixa possui formato de um paralelepípedo reto, com 10 cm de altura, 6 cm de largura e 8 cm de largura. Qual é o volume dessa caixa?

Resolução:

Para calcular o volume, multiplicaremos as três dimensões dadas, ou seja:

\(V=a\cdot b\cdot c\)

\(V=10\cdot6\cdot8\)

\(V=60\cdot8\)

\(V=480\ cm^3\)

Portanto, o volume dessa caixa é de 480 cm³.

Saiba mais: Medidas de volume — quais são elas?

A área de um sólido geométrico é a soma das áreas das suas faces. Um paralelepípedo é composto por 6 faces. Ademais, analisando esse sólido, é possível perceber que as faces opostas são congruentes. Em um paralelepípedo reto, as faces são formadas por retângulos. Assim, para calcular a área de cada uma das faces, basta multiplicar as duas dimensões da face.

Já para calcular a área total do paralelepípedo, utilizamos a seguinte fórmula:

\(A_T=2ab+2ac+2bc\)

→ Exemplo de cálculo da área do paralelepípedo

Calcule a área total do paralelepípedo a seguir:

Resolução:

Calculando a área total, temos que:

\(A_T=2\cdot4\cdot1,5+2\cdot4\cdot3+2\cdot3\cdot1,5\)

\(A_T=12+24+9\)

\(A_T=45m^2\)

Então, a área total desse paralelepípedo é de 45 m².

Quando traçamos a diagonal de um paralelepípedo, é possível também calcular o seu comprimento. Para isso, é preciso conhecer a medida desse sólido geométrico.

Para calcular o comprimento da diagonal do paralelepípedo, utilizamos a seguinte fórmula:

\(d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

→ Exemplo de cálculo da diagonal do paralelepípedo

Qual é o comprimento da diagonal de um paralelepípedo que possui altura igual a 6 cm, largura igual a 6 cm e comprimento igual a 7 cm?

Resolução:

Calculando o comprimento da diagonal, temos que:

\(d=\sqrt{6^2+6^2+7^2}\)

\(d=\sqrt{36+36+49}\)

\(d=\sqrt{121}\)

\(d=11 cm\)

Saiba também: Diagonais de um polígono — como calcular sua quantidade?

Exercícios resolvidos sobre paralelepípedo

Questão 1

(Técnico integrado - IFG) As medidas internas de um reservatório no formato de um paralelepípedo são de 2,5 m de comprimento, 1,8 m de largura e 1,2 m de profundidade (altura). Se, em determinado momento do dia, esse reservatório está apenas com 70% de sua capacidade, a quantidade de litros que faltam para enchê-lo é igual a:

A)1620

B)1630

C)1640

D)1650

E) 1660

Resolução:

Alternativa A

Para calcular o volume, multiplicaremos as dimensões:

\(V=\mathrm{2,5}⋅1{,8}\cdot\mathrm{1,2}\)

\(V=\mathrm{5,4}m\)

Para transformar a capacidade de 5,4 m³ para litros, é necessário fazer a conversão da unidade de medida de capacidade, multiplicando por 1000, ou seja:

V = 5,4 · 1000 = 5400 litros

Sabemos que 70% do reservatório está cheio, restando 30% dessa capacidade para terminar de enchê-lo. Logo, a quantidade que falta é de:

30% de 5400 = 0,3 · 5400 = 1620 litros

Questão 2

Um bloco retangular possui diagonal medindo 12,5 cm, altura igual a 7,5 cm e largura de 8 cm. A medida do comprimento desse bloco é de:

A) 5 cm

B) 6 cm

C) 7 cm

D) 9 cm

E) 10 cm

Resolução:

Alternativa B

Utilizando a fórmula da diagonal, temos que:

\(d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

\(\mathrm{12,5}=\sqrt{{\mathrm{7,5}}^2+8^2+c^2}\)

\({\mathrm{12,5}}^2=\sqrt{{\mathrm{56,25}+64+c^2}^2}\)

\(\mathrm{156,25}=\mathrm{56,25}+64+c^2\)

\(\mathrm{156,25}-\mathrm{56,25}-64=c^2\)

\(100-64=c^2\)

\(36=c^2\)

\(c=\sqrt{36}\)

\(c=6 cm\)

O paralelepípedo é um sólido geométrico com faces paralelas. O paralelepípedo é uma figura tridimensional e é uma das figuras geométricas estudas pela geometria espacial.

Definição

Podemos definir o paralelepípedo como uma figura tridimensional em que suas faces são paralelogramos. Dessa forma, existem três maneiras de defini-lo:

• É um prisma em que sua base é um paralelogramo;
• É um hexaedro em que cada face seja um paralelogramo;
• É um hexaedro com três pares de faces paralelas.

Elementos

Um paralelepípedo é formado pelos seguintes elementos:

• Faces: Possui 6 faces. As faces são os lados formados pela união das arestas.
• Vértices: Possui 8 vértices. Os vértices são pontos onde as arestas se encontram;
• Arestas: Possui 12 arestas. As arestas são segmentos de retas ligadas nos vértices que formam as faces.

Tipos de Paralelepípedo

Podemos classificar os paralelepípedos conforme sua disposição no espaço:

Retos: é quando as faces laterais são perpendiculares, ou seja, as arestas formam ângulos retos (90°) com as bases. Dessa forma, é chamado também de paralelepípedo retângulo.

Oblíquos: é oblíquo quando não são retos, ou seja, quando as faces laterais não formam ângulos retos e assim elas não são perpendiculares.

Isósceles: é quando todas as faces são quadradas, quando isso acontece chamamos o paralelepípedo de cubo.

Planificação

Se “abrirmos” o paralelepípedo veremos que suas faces são formadas por outas figuras geométricas. Isso é o que se chama de planificação. É importante para entendermos como calcular a área desse hexaedro.

Pela figura percebemos que as bases e as faces são formadas por retângulos, mas dependendo do tipo podem ser formadas por quadrados também.

Como Calcular a Área?

Para calcular a área do paralelepípedo devemos entender que ele é uma figura geométrica espacial. Assim, a área será de uma figura tridimensional.

Área da Base

A base é formada por uma figura geométrica plana. Então, para calcular devemos multiplicar a base pela altura dessa figura. Temos a seguinte fórmula:

Ab = b . h

Onde:

• Ab: é a área;
• b: é a medida da base;
• h: é a medida da altura.

Área Lateral

Para calcular a área lateral, temos que entender que o sólido possui quatro faces laterais formando pares. Então, para calcular a área lateral, usamos a seguinte fórmula:

• Al = ac + bc + ac + bc ⇒
• Al = 2ac + 2bc ⇒
• Al = 2(ac + bc)

Onde:

• Al: é a área;
• a, b e c: são as medidas das arestas.

Área Total

Para calcular a área total, temos que olhar para a figura planificada do paralelepípedo. Assim, a área total é a soma dos pares das faces opostas. Temos a seguinte fórmula:

At = 2(ab + ac + bc)

Onde:

• At: é a área;
• a, b e c: são as medidas das arestas.

Volume do Paralelepípedo

Para calcular o volume devemos proceder da mesma forma que calculamos o volume do cubo. O volume do cubo é o produto do comprimento, da largura e altura. Então, temos a seguinte fórmula para o volume do paralelepípedo:

V = a . b . c

Onde:

• V: é o volume;
• a, b e c: são as medidas das arestas.

Que é equivalente dizer que o volume é a medida da área da base pela altura.

Exercícios

Acesse os exercícios no link a seguir:

• Exercícios sobre o paralelepípedo