No lançamento simultâneo de três moedas, qual e a probabilidade

de previsões ou para a orientação de intervenções. É aquilo que torna possível se lidar de forma racional com problemas envolvendo o imprevisível. O exemplo a seguir pode ajudar a entender melhor que a probabilidade é um número que mede a possibilidade de ocorrer, ou não, um resultado. Um celular será sorteado entre os clientes de uma loja; Carlos depositou 50 cupons em uma urna e Brenda depositou 100 cupons, sendo que para esse sorteio foram acumulados 1.000 cupons. Quais as chances de cada participante nesse sorteio? Com essas informações é possível medir a possibilidade de cada um ganhar o celular: como Carlos tem 50 dentre os 1.000 cupons que participam do sorteio, podemos indicar a medida da possibilidade de ganhar por 50 1 000. (50 chances em 1.000 possibilidades), analogicamente, a medida da possibilidade de Brenda ganhar é indicada por 100 1 000. (100 chances em 1.000 possibilidades) que percebemos ser o dobro das chances de Carlos. Portanto, as frações 50 1 000. e 100 1 000. são chamadas de probabilidades de Carlos e Brenda ganharem, respectivamente. Na tabela a seguir temos um resumo da forma como essas probabilidades podem ser apresentadas (fracionária, decimal ou percentual): Probabilidade de chances: Frações Número Decimal Porcentagem Carlos 50 1 000. 0,05 5% Brenda 100 1.000 0,10 10% 11 UNIDADE Introdução à Teoria das Probabilidades Experimento Aleatório O experimento aleatório é um tipo de teste ou tentativa em que seu resultado não pode ser determinado antes de se realizar o experimento. Todo experimento cujo resultado depende exclusivamente do “acaso” é chamado experimento aleatório. Exemplos: • o lançamento de uma ou várias moedas; • o lançamento de um ou vários dados; • o sorteio de um cupom de um total de 1.000 cupons; • a retirada de uma carta em um baralho; • prever a vida útil de todos os aparelhos eletrônicos de um lote. Aprendendo com exemplos: 01) Qual a chance de ocorrência da face 1, 2 e 3 em um dado? Resolução: Podemos dizer que chance é: Face 1 = 1 6 ; Face 2 = 1 6 e Face 3 = 1 6 Lemos: 1 chance em 6 possibilidades. 02) Num grupo de 15 lâmpadas, 3 são defeituosas. Considere o experimento: uma lâmpada é escolhida ao acaso e observamos se ela é ou não defeituosa. Resolução: Trata-se de um experimento aleatório com dois resultados possíveis: a) A lâmpada é defeituosa: chance= 3 15 ou “simplificando” a fração por 3, temos: 3 15 3 3 1 5 : : = chance= 1 5 Lemos: 3 chances em 15 possibilidades. Obs.: Também poderíamos dizer que temos 20% (vinte por cento) de chance de escolher uma lâmpada defeituosa. Cálculo da Porcentagem: 3 15 3 15 0 20 0 20 100 20⇒ = ⇒ × =: , , % 12 13 b) A lâmpada é boa: chance= 12 15 ou “simplificando” a fração por 3, temos: 12 15 3 3 4 5 : : = chance= 4 5 Lemos: 12 chances em 15 possibilidades. Obs.: Também poderíamos dizer que temos 80% (oitenta por cento) de chance de escolher uma lâmpada boa. Cálculo da Porcentagem: 12 15 12 15 0 80 0 80 100 80⇒ = ⇒ × =: , , % Importante! É fácil perceber que a probabilidade de se escolher a lâmpada boa é bem maior do que se escolher a lâmpada defeituosa! Importante! Espaço Amostral - Ω É o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Usamos a letra grega ômega, cujo símbolo é “Ω” (ferradura) para iden- tificar um espaço amostral, também pode ser representado através da letra “U” (conjunto universo) ou também pela letra “S”, pois espaço em inglês é “space”. Dentro das chaves vamos descrever todos os resultados possíveis de um experimento aleatório: Ω: _, _, _, _, _,...{ } Aprendendo com um exemplo: Determinar o espaço amostral nos seguintes experimentos: a) Joga-se uma moeda e lê-se a figura da face voltada para cima. Resolução: Ω= cara coroa,{ } Espaço amostral, dois resultados possíveis, cara ou coroa. Notação Matemática. 13 UNIDADE Introdução à Teoria das Probabilidades Figura 4 b) Joga-se um dado comum e lê-se o número voltado para cima. Resolução: Ω= 1 2 3 4 5 6, , , , ,{ } Espaço amostral, 6 (seis) resultados possíveis. c) Jogam-se duas moedas e leem-se as figuras das faces voltadas para cima. Resolução: Ω= ( , )( , ), ( , ), ( , )cara cara cara coroa coroa cara coroa coroa{ } Espaço amostral, 4 (quatro) resultados possíveis. d) Determine o número de resultados possíveis para o lançamento de uma moeda e um dado. Resolução: Há dois resultados possíveis quando lançamos a moeda: uma cara (C) ou uma coroa (K). Para cada um desses, há seis resultados possíveis quando jogamos o dado: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ou 6. Uma maneira de listar resultados para ações que ocor- rem em sequência é usar um diagrama de árvore. 1 C1 2 C2 3 C3 4 C4 DADO MOEDA Diagrama de árvore para o experimento com a moeda e o dado: C 5 C5 6 C6 1 K1 2 K2 3 K3 4 K4 DADO K 5 K5 6 K6 { }6,5,4,3,2,1,6,5,4,3,2,1 KKKKKKCCCCCC=Ω 14 15 Resposta: O espaço amostral tem 12 (doze) resultados possíveis. Atividades Práticas 01) Dê o espaço amostral dos seguintes experimentos: a) lançamento simultâneo de três moedas. Faça C = cara e K = coroa. b) lançamento simultâneo de dois dados. c) distribuição dos quatro filhos de uma família, quanto ao sexo, por ordem de nascimento. d) retirada de 4 (quatro) bolas de uma urna contendo 2 bolas brancas e 5 bolas verdes. Respostas no final desta Unidade. Evento de um Espaço Amostral Qualquer subconjunto de um espaço amostral é chamado evento desse espaço. Para designar um evento usaremos sempre letras maiúsculas do alfabeto. Dentro das chaves vamos descrever todos os resultados possíveis de um experi- mento aleatório: Letras Maiúsculas do Alfabeto (Notação Matemática). B = { }_, _, _, _, _,... Assim, qualquer que seja o evento “B”, se B Β Ω⊂ (evento B está contido no espaço amostral Ω), então B é um evento de Ω. Aprendendo com exemplos 01) Seja o experimento aleatório o lançamento de uma moeda, faça C = cara e K = coroa, temos que: Note que os eventos A e B são subconjuntos do espaço amostral, ou seja, os eventos A e B estão con- tidos em Ω. 15 UNIDADE Introdução à Teoria das Probabilidades 02) Seja o experimento aleatório o lançamento de um dado comum e a obser- vação do número voltado para cima, temos que: Resultado Espaço amostral Ω ={ }1 2 3 4 5 6, , , , , Evento A: Ocorrência de n° par. Α ={ }2 4 6, , Evento B: Ocorrência de n° ímpar e múltiplo de 3. Β ={ }3 O evento que contém somente UM elemento é chamado de evento elementar. Evento C: Ocorrência de um n° menor que 7. C ={ }1 2 3 4 5 6, , , , , Este tipo de evento composto por TODOS os elementos do espaço amostral é chamado de evento certo. Evento D: Ocorrência do n°5. D ={ }5 O evento que contém somente UM elemento e é chamado de evento elementar. Evento E: Ocorrência de um n° maior que 6. Ε ={ } O evento, cujo resultado do conjunto é vazio é chamado de evento impossível. Importante! Dado o evento Β ={ }_, _, _,... , temos que: · Se Β Ω= , é chamado Evento Certo. · Β Ω⊂ e B é um conjunto unitário, B é chamado Evento Elementar. · Se Β ={ } vazio, B é chamado Evento Impossível. Importante! 03) Uma urna contém 3 bolas Pretas e 3 bolas Vermelhas. Dessa urna são retiradas sucessivamente 3 bolas. P P PP 3ª P P VV P V PP P V VV P V P V P PP V P VV V V PP V V VV P V V Espaço Amostral: 8 resultados possíveis 2ª1ª Diagrama de árvore: P = bola preta e V = bola vermelha 16 17 Responda: a) O Espaço Amostral será: