Show Em suma, os números dividem-se em grupos de acordo com suas características básicas. Assim temos os números inteiros positivos, mais presentes no nosso dia a dia (1,2,3,4…), usados para cálculos básicos. Ademais, temos também os números racionais, que são os fracionados 1/2, 2/3, 5/4 etc, e também os números irracionais, que são diferentes de todos esses. Dessa forma, os números irracionais não podem ser resultado da divisão entre dois números inteiros, e não podem ser representados por frações irredutíveis. Então, o conjunto de números irracionais é formado pelos números decimais, que por sua vez são infinitos e não periódicos. Dessa forma, o conjunto dos números irracionais é representado pela letra I (maiúscula). Aliás, para entender melhor, hoje iremos falar mais sobre esse conjunto de números. Vamos lá! Origem dos números irracionaisOs números irracionais surgiram após a criação dos números racionais, que foram criados para fazer a divisão de objetos. Desse modo, quando foi criado a reta numérica, cada um dos pontos correspondiam à um único número real.
A partir disso, os matemáticos perceberam que existiam algumas brechas nessa reta numérica, e que nenhum número racional poderia corresponder a essa lacuna. Até que eles encontraram uma solução: essas lacunas deveriam ser preenchidas com números decimais infinitos e não periódicos. E assim surgiu os números irracionais. Nessa mesma época, descobriu-se ainda que alguns desses números decimais poderiam ser raízes não exatas. Essa descoberta foi um marco muito importante, principalmente para a geometria. E isso fica muito claro quando se fala sobre o Teorema de Pitágoras, que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Vejamos um exemplo do uso do Teorema de Pitágoras a seguir:
Descoberta dos irracionais pelo Teorema de Pitágoras. Nesse exemplo, a medida da diagonal de um quadrado de lado mediano 1, será √2. No entanto, o resultado dessa raiz é um número decimal infinito e não periódico, ou seja, um número irracional. Como não é possível chegar ao valor da raiz exata, o máximo que conseguimos é um número muito próximo, mas não o valor exato. Sendo assim, ao extrair sua raiz quadrada, obtemos o seguinte resultado:
Outros exemplos de números irracionais:
Números Irracionais e Dízimas PeriódicasAs dízimas periódicas, apresentam uma representação decimal infinita, contudo, não é comum considerá-las como números irracionais. Isso explica-se pelo fato de que, embora elas contenham decimais infinitos, elas ainda representam-se por meio de frações, e os números racionais não. Portanto, as dízimas periódicas possuem sempre a mesma sequência de repetição. Vejamos o exemplo do número 0,333…, apesar de ser decimal infinito, ele ainda pode ser escrito na forma de fração irredutível, pois:
Sendo assim, as dízimas periódicas são números racionais. Classificação dos Números IrracionaisAlém disso, os números desse conjunto classificam-se em dois tipos: algébricos e transcendentes. Vejamos cada um deles a seguir: Um número só será algébrico caso satisfaça uma equação algébrica de coeficientes inteiros. Por exemplo:
A raiz quadrada de 2 (√2) pode ser escrita como sendo x2 – 2 = 0, então é irracional algébrico. Já o número irracional transcendente é um número real ou complexo que não é raiz de nenhuma equação polinomial a coeficientes inteiros. Como por exemplo:
Conjuntos numéricosComo visto anteriormente, existem vários conjuntos números, cada um deles representado por uma letra. Assim, o conjunto dos números irracionais é representado por I, enquanto o conjunto dos números reais, é representado por R, é a união dos números racionais (Q) e números irracionais (I).
Portanto, todos os números naturais (N), inteiros (Z), racionais e irracionais são todos reais. Fonte: Guia do Ensino Enfim, o que você achou dessa matéria? E então, que tal conhecer um pouco mais sobre a vida de Pitágoras? Fontes: Toda Matéria, Brasil Escola, Mundo Educação Bibliografia:
Fonte Imagem Destacada: Revista Galilleu Número irracional é um número real que não pode ser obtido pela divisão de dois números inteiros, ou seja, são números reais mas não racionais.[1] O conjunto dos números irracionais é representado pelo símbolo
I
.
{\displaystyle \mathbb {I} .}
Os primeiros indícios relacionados ao conceito de número irracional remontam ao conceito de incomensurabilidade. Dois segmentos são comensuráveis se existe uma unidade comum na qual podem ser medidos de forma exata. Por exemplo, um segmento de medida 1 3 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{3}}} e outro de medida 1 8 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{8}}} podem ser expressos por múltiplos inteiros de um segmento de medida 1 24 , {\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{24}},} ou seja, 1 3 = 8 × 1 24 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{3}}=8\times {\frac {1}{24}}} e 1 8 = 3 × 1 24 . {\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{8}}=3\times {\frac {1}{24}}.} A primeira descoberta de um número irracional é geralmente atribuída a Hipaso de Metaponto, um seguidor de Pitágoras. Ele teria produzido uma demonstração (provavelmente geométrica) de que a raiz de 2 (ou talvez que o número de ouro) é irracional.[2] No entanto, Pitágoras considerava que a raiz de 2 "maculava" a perfeição dos números, e portanto não poderia existir. Mas ele não conseguiu refutar os argumentos de Hipaso com a lógica, e a lenda diz que Pitágoras condenou seu seguidor ao afogamento.[1] A partir daí os números irracionais entraram na obscuridade, e foi só com Eudoxo de Cnido que eles voltaram a ser estudados pelos gregos. O décimo livro da série Os elementos de Euclides é dedicado à classificação de números irracionais. Foi só em 1872 que o matemático alemão Dedekind (de 1831 a 1916) fez entrar na Aritmética, em termos rigorosos, os números irracionais que a geometria sugerira havia mais de vinte séculos. Existem dois tipos de números irracionais:[2]
A definição mais genérica de números algébricos e transcendentes é feita usando-se números complexos. Ver artigo principal: Raiz quadrada de dois A prova é feita por redução ao absurdo. Suponha-se que 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} é racional. Então pode-se colocá-lo na forma p / q, onde mdc(p,q) = 1, da seguinte forma: p q = 2 . {\displaystyle {\frac {p}{q}}={\sqrt {2}}.}Elevando ambos os membros ao quadrado, tem-se ( p / q )2 = 2. Então, p2 = 2q2. Como p2 é par, então p também é par, pois (2n)2 = 2(2n2), o quadrado de um número ímpar é ímpar: (2n + 1)2 = 2(2n2 + 2n) + 1 . Logo pode-se chamar p = 2k. Substituindo na última igualdade, fica-se com: ( 2k )² = 2q². Ou seja, 4k² = 2q² e então em 2k² = q², mostrando que q também é um par. Mas isso é absurdo, pois, por hipótese, mdc(p,q)=1. Conclui-se que 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} é irracional. Alguns números naturais como por exemplo 1, 4 e 9, os chamados quadrados perfeitos, admitem raiz quadrada natural, a saber 1, 2 e 3. De fato, pode-se mostrar que quando a raiz quadrada de um número inteiro é racional, então deve ser inteira. Ou seja se p e q são inteiros primos entre si e n = p q {\displaystyle {\sqrt {n}}={\frac {p}{q}}} , então p 2 = n {\displaystyle p^{2}=n} . A prova segue da seguinte forma: Suponha-se que n {\displaystyle n} admita raiz quadrada racional p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}} com p e q inteiros positivos e primos entre si. Então tem-se n 2 = n 2 1 = p q {\displaystyle n^{2}={\frac {n^{2}}{1}}={\frac {p}{q}}} . Como ambas as frações da expressão são irredutíveis, tem-se n 2 = | p | = p {\displaystyle n^{2}=|p|=p} e 1 = | q | = q {\displaystyle 1=|q|=q} . E o resultado segue. Ver artigo principal: Teorema de Abel-Ruffini O Teorema de Abel-Ruffini é um teorema formulado pelos matemáticos Paolo Ruffini (demonstração em 1799, contendo um pequeno erro) e Niels Henrik Abel (demonstração final em 1824). O teorema afirma que não há uma solução geral através de radicais para as equações polinomiais de grau cinco ou superior. Note-se que o teorema não afirma que as equações polinomiais de ordem cinco ou superior não têm solução. Na verdade, se o polinómio tiver coeficientes reais ou complexos, e se se permitirem soluções complexas, então todos as equações polinomiais têm solução. Essa é aliás a proposição do teorema fundamental da álgebra. Ainda que essas soluções não possam expressas em termos de radicais, podem ser obtidas com um grau de precisão requerido usando métodos numéricos tais como o métodos de Newton-Raphson ou o de Laguerre. O teorema refere-se simplesmente à forma que a solução pode ter. Assim, a solução de uma equação de grau cinco ou superior nem sempre pode ser expressa a partir dos coeficientes e usando simplesmente as operações de adição, subtracção, multiplicação, divisão e potenciação (incluindo-se nesta última a extracção de raízes). Tomemos como exemplo, a solução das equações polinomiais de segundo grau, usando a habitual equação quadrática: As raízes de ax2 + bx + c = 0 são: Fórmulas deste tipo existem também para as equações de terceira e quarta ordem. O teorema afirma portanto que nenhuma solução de certas equações de quinta ordem pode ser expressas por fórmulas daquele tipo. A equação x5 - x + 1 = 0 é disso um exemplo. Algumas equações de quinto grau podem ser resolvidas por radicais. Um exemplo: x 5 − x 4 − x + 1 = 0 {\textstyle x^{5}-x^{4}-x+1=0} . Os critérios de distinção entre um caso e o outro foram descobertos por Évariste Galois.
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