A função quadrática é uma função f : ℝ→ℝ, definida como f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c números reais e a ≠ 0.
Este tipo de função pode ser aplicada em diversas situações do cotidiano, nas mais variadas áreas. Portanto, saber resolver problemas que envolvem este tipo de cálculo é fundamental.
Assim, aproveite as questões de vestibulares resolvidas e comentadas para tirar todas as suas dúvidas.
1) UFRGS - 2018
As raízes da equação 2x2 + bx + c = 0 são 3 e − 4. Nesse caso, o valor de b - c é a) −26. b) −22. c) −1. d) 22.
e) 26.
As raízes de uma equação do 2º grau correspondem aos valores de x em que o resultado da equação é igual a zero.
Portanto, substituindo o x pelos valores das raízes poderemos encontrar o valor de b e c. Fazendo isso, ficaremos com o seguinte sistema de equações:
Subtraindo os valores encontrados, temos:
b - c = 2 - (-24) = 26
Alternativa e) 26
2) Enem - 2017
A igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar Niemeyer, localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta na Figura 1 ilustra uma das abóbadas na entrada principal da capela. A figura 2 fornece uma vista frontal desta abóbada, com medidas hipotéticas para simplificar os cálculos.
Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura 2?
a) 16/3 b) 31/5 c) 25/4 d) 25/3
e) 75/2
Nesta questão precisamos calcular o valor da altura. Para isso, vamos representar a parábola no eixo cartesiano, conforme figura abaixo.
Escolhemos o eixo de simetria da parábola coincidindo com o eixo y do plano cartesiano. Assim, notamos que a altura representa o ponto (0, yH).
Observando o gráfico da parábola, percebemos ainda, que o 5 e o -5 são as duas raízes da função e que o ponto (4,3) pertence a parábola.
Com base em todas essas informações, vamos utilizar a forma fatorada da equação do 2º grau, ou seja:
y = a . (x - x1) . (x - x2)
Onde:
a: coeficiente
x1 e x2: raízes da equação
Para o ponto x = 4 e y = 3, temos:
Conhecendo o valor de a, podemos calcular o valor da altura (yH) usando novamente a forma fatorada da equação do 2º grau. Para isso, consideramos x = 0, conforme indicado no gráfico acima:
Alternativa: d) 25/3
3) UNESP - 2017
Uma função quadrática f é dada por f(x) = x2 + bx + c, com b e c reais. Se f(1) = –1 e f(2) – f(3) = 1, o menor valor que f(x) pode assumir, quando x varia no conjunto dos números reais, é igual a
a) –12. b) –6. c) –10. d) –5.
e) –9.
O gráfico da função apresentada é uma parábola com a concavidade voltada para cima, pois a = 1 (positivo). Sendo assim, o menor valor da f(x) será a coordenada y do seu vértice.
Sendo yv encontrado através da fórmula:
Assim, para encontrar o vértice é necessário conhecer os valores de b e c. Para tal, iremos utilizar as informações, substituindo os valores de x e y na função. Ou seja:
Expressão I : f(1) = - 1 ⇒ 12 + 1 . b + c = - 1 ⇒ b + c = - 2
Expressão II : f(2) - f(3) = 1 ⇒ 22+ 2 . b + c - (32 + 3 . b + c) = 1 ⇒ 4 + 2b +c - 9 - 3b - c = 1
⇒ - 5 - b = 1⇒ b = - 6
Substituindo o valor encontrado de b, na expressão I, temos:
- 6 + c = - 2 ⇒ c = - 2 + 6 ⇒ c = 4
Portanto, a função é: f(x) = x2 - 6x + 4. Calculando o yv desta função, encontramos:
Alternativa: d) -5
4) UERJ - 2016
Observe a função f, definida por:
Se f(x) ≥ 4, para todo número real x, o valor mínimo da função f é 4.
Assim, o valor positivo do parâmetro k é:
a) 5 b) 6 c) 10
d) 15
Como o coeficiente a da função é positivo (1) seu gráfico será uma parábola com a concavidade voltada para cima. Logo, o vértice da parábola será o ponto em que o valor da função é mínimo.
No enunciado é informado que esse valor é igual a 4, ou seja, que o yv = 4. Sendo assim, usaremos a expressão do yv para calcular o valor do parâmetro k.
Como a questão pede o valor positivo do parâmetro k, então iremos desprezar o valor de k = - 5
Alternativa: a) 5
5) UFSM - 2015
A água é essencial para a vida e está presente na constituição de todos os alimentos. Em regiões com escassez de água, é comum a utilização de cisternas para a captação e armazenamento da água da chuva. Ao esvaziar um tanque contendo água da chuva, a expressão
representa o volume (em m3) de água presente no tanque no instante t (em minutos)
Qual é o tempo, em horas, necessário para que o tanque seja esvaziado?
a) 360. b) 180. c) 120. d) 6.
e) 3.
O instante que o tanque ficará vazio pode ser calculado, considerando V(t) = 0. Então, vamos igualar a função dada a zero e calcular o valor de t.
Precisamos ainda passar o valor encontrado para horas. Lembrando que 1 hora é igual a 60 min, então 360 min será igual a 6 h.
Alternativa: d) 6
6) FUVEST - 2015
A trajetória de um projétil, lançado da beira de um penhasco sobre um terreno plano e horizontal, é parte de uma parábola com eixo de simetria vertical, como ilustrado na figura.
O ponto P sobre o terreno, pé da perpendicular traçada a partir do ponto ocupado pelo projétil, percorre 30 m desde o instante do lançamento até o instante em que o projétil atinge o solo. A altura máxima do projétil, de 200 m acima do terreno, é atingida no instante em que a distância percorrida por ܲP, a partir do instante do lançamento, é de 10 m. Quantos metros acima do terreno estava o projétil quando foi lançado?
a) 60 b) 90 c) 120 d) 150
e) 180
Vamos começar representando a situação no plano cartesiano, conforme figura abaixo:
No gráfico, o ponto de lançamento do projétil pertence ao eixo y. Já o ponto (10, 200) representa o vértice da parábola.
Como o projétil atinge o solo em 30 m, essa será uma das raízes da função. Note que a distância entre esse ponto e a abscissa do vértice é igual a 20 (30 - 10).
Por simetria, a distância do vértice para a outra raiz também será igual a 20. Sendo assim, a outra raiz foi assinalada no ponto - 10.
Conhecendo os valores das raízes (- 10 e 30) e um ponto pertencente a parábola (10, 200), podemos usar a forma fatorada da equação do 2º grau, ou seja:
y = a . (x - x1) . (x - x2)
Substituindo os valores, temos:
Conhecendo o valor de a, podemos agora calcular o valor da altura h de lançamento do projétil. Para isso, basta identificar que no ponto de lançamento x = 0 e y = h.
Substituindo esses valores na fórmula fatorada, encontramos:
Alternativa: d) 150
7) Enem - 2016 (2ª aplicação)
Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número f de infectados é dado pela função f(t) = - 2t2 + 120t (em que t é expresso em dia e t = 0 é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da epidemia.
A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em que o número de infectados chegasse à marca de 1 600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou acontecer.
A segunda dedetização começou no
a) 19º dia. b) 20º dia. c) 29º dia. d) 30º dia.
e) 60º dia.
A dedetização será feita quando a f(t) = 1600, então substituindo esse valor na função, encontraremos o valor de t.
1 600 = - 2 . t2 + 120 . t
2 . t2 - 120 . t + 1600 = 0
Podemos dividir toda a equação por 2 para simplificar as contas. Assim, a equação ficará:
t2 - 60 . t + 800 = 0
Para encontrar as raízes da equação, usaremos a fórmula de Bhaskara:
Portanto, a segunda dedetização ocorrerá no 20º dia, que é quando chegará a 1600 infectados após a primeira dedetização.
Alternativa: b) 20º dia.
8) Enem - 2013
A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura.
A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei f(x) = 3/2 x2 – 6x + C, onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é
a) 1. b) 2. c) 4. d) 5.
e) 6.
Pela imagem da questão, observamos que a parábola apresenta apenas um ponto que corta o eixo x (ponto V), ou seja, ela possui raízes reais e iguais.
Desta forma, sabemos que Δ = 0, ou seja:
Δ = b2 - 4 . a . c =0
Substituindo os valores da equação, temos:
Portanto, a altura de líquido será igual a 6 cm.
Alternativa: e) 6
Para saber mais, veja também: