Neste artigo abordaremos a adição de polinômios. Dados dois polinômios: Show A(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a2x2 + a1x1 + ao e B(x) = bn xn + bn-1 xn-1 + ... + b2x2 + b1x1 + bo existe um único polinômio S(x) tal que S(x) = A(x) + B(x) para todo . Esse polinômio é: S(x) = (an + bn) xn + (an-1 + bn-1 )xn-1 + ... + (a2 + b2)x2 + (a1 + b1)x1 + (ao + bo) e o denominamos soma ou adição dos polinômios A e B. Indicamos: S = A + B PropriedadesQuaisquer que sejam os polinômios A, B e C, temos que:
Se A(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a2x2 + a1x1 + ao temos que -A(x) = (-an) xn + (-an-1) xn-1 + ... + (-a2)x2 + (-a1)x1 + (-ao) Devido a esta propriedade, podemos definir a diferença A – B de dois polinômios: A – B = A + (-B) Exemplos: 1) Dados A(x) = x3 + 2x + 1 e B(x) = x2 – 7x + 2, determinar o polinômio A(x) + B(x). Para somar dois polinômios, devemos somar os coeficientes dos termos de mesmo grau, ou seja, os termos semelhantes. Quando faltar termo em algum dos polinômios, devemos completar o coeficiente com zero. A(x) + B(x) = (x3 + 2x + 1) + (x2 – 7x + 2) = (1 + 0)x3 + (0 + 1)x2 + (2 – 7)x + (1 + 2) = x3 + x2 – 5x + 3 2) Dados A(x) = 7x3 + 2x2 – 5x e B(x) = 2x3 – x2 + 7x e C(x) = -x3 – 2x, determinar A(x) + B(x) + C(x). Para somar polinômios podemos adotar uma regra prática, que consiste em colocar os termos semelhantes numa disposição em forma de coluna. Veja a seguir: 3) Se P(x) = 3x4 – 5x + 4 e Q(x) = -x5 + 10x4 + 6x, então: P(x) + Q(x) = (3x4 – 5x + 4) + (-x5 + 10x4 + 6x) = (0 – 1)x5 + (3 + 10)x4 + (-5 + 6)x + 4 = -x5 + 13x4 + x + 4 4) Dados P(x) = -5x6 -3x4 + 5x - 8 e Q(x) = -x6 + 4x5 – 9x + 10, temos: P(x) + Q(x) = (-5x6 -3x4 + 5x – 8) + (-x6 + 4x5 – 9x + 10) = (-5 – 1)x6 + (0 + 4)x5 + (-3 + 0)x4 + (5 – 9)x + (-8 +10) = -6x6 + 4x5 – 3x4 – 4x + 2 5) Se P(x) = 2x3 – 3x + 1 e Q(x) = -2x3 + x2 + 4, então: P(x) + Q(x) = (2x3 – 3x + 1) + ( -2x3 + x2 + 4) = (2 – 2)x3 + (0 + 1)x2 + (-3 + 0)x + (1 + 4) = x2 – 3x + 5 6) Adicionar 5x2 – 3x – 1 com –7x2 + 4x – 6 (5x2 – 3x – 1) + (–7x2 + 4x – 6) → eliminar o 2º parênteses através do jogo de sinal. +(–7x2) = –7x2 +(+4x) = +4x +(–6) = –6 5x2 – 3x – 1 –7x2 + 4x – 6 → reduzir os termos semelhantes. 5x2 – 7x2 – 3x + 4x – 1 – 6 –2x2 + x – 7 Portanto: (5x2 – 3x – 1) + (–7x2 + 4x – 6) = –2x2 + x – 7 7) Adicionando 9x2 – 13x – 5 e 16x + 10, teremos: (9x2 – 13x – 5) + (16x + 10) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal. 9x2 – 13x – 5 + 16x + 10 → reduzir os termos semelhantes. 9x2 – 13x + 16x – 5 + 10 9x2 + 3x + 5 Portanto: (9x2 – 13x – 5) + (16x + 10) = 9x2 + 3x + 5 8) Considerando os polinômios
Calcule A + B + C. (8x³ + 30x² – 17x + 40) + (5x³ – 6x² – 3x + 1) + (x³ + 2x² - 9x + 2) 8x³ + 30x² – 17x + 40 + 5x³ – 6x² – 3x + 1 + x³ + 2x² - 9x + 2 8x³ + 5x³ + x³ + 30x² – 6x² + 2x² – 17x – 3x - 9x + 40 + + 1 + 2 14x³ + 26x² – 29x + 43 A + B + C = 14x³ + 26x² – 29x + 43 Leia também: Referências bibliográficas: 1. LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo C. P.; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto C. A Matemática do Ensino Médio. vol. 3. Coleção do Professor de Matemática, SBM, 2012. 2. IEZZI, G.. Fundamentos De Matemática Elementar . Volume 6. 7ed. São Paulo: Atual Editora, 2004. 3. NETO, Antônio C. Muniz. Tópicos de Matemática Elementar: Volume 6. Polinômios. 2 ed. Rio de Janeiro: Editora SBM, 2016. A partir de R$29,90 / mês R$ 12,99 ASSINE JÁ Conhecemos como polinômio uma expressão que indica a soma algébrica de monômios que não sejam semelhantes, ou seja, polinômio é uma expressão algébrica entre monômios. Monômio é um termo algébrico que possui coeficiente e parte literal. Quando existem termos semelhantes entre os polinômios, é possível realizar-se a redução de seus termos na adição e ou subtração de dois polinômios. É possível também multiplicar dois polinômios por meio da propriedade distributiva. Já a divisão é realizada pelo método de chaves. Leia também: Equação polinomial – equação caracterizada por ter um polinômio igual a 0
Tópicos deste artigoO que são monômios?Para compreender-se o que é um polinômio, é importante que se compreenda antes o significado de um monômio. Uma expressão algébrica é conhecida como monômio quando ela possui números e letras e seus expoentes separados apenas por multiplicação. O número é conhecido como coeficiente, e as letras e seus expoentes são conhecidos como parte literal. Exemplos:
Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Um polinômio nada mais é que a soma algébrica de monômios, ou seja, são mais monômios separados por adição ou subtração entre si. Exemplos:
De forma geral, um polinômio pode ter vários termos, ele é representado algebricamente por: anxn + a(n-1) x(n-1) + … + a2x² + a1x + a Veja também: Quais são as classes de polinômios? Grau de um polinômioPara encontrar o grau do polinômio, vamos separar em dois casos, quando ele possui uma única variável e quando ele possui mais variáveis. O grau do polinômio é dado pelo grau do maior de seus monômios nos dois casos. É bastante comum o trabalho com o polinômio que possui somente uma variável. Quando isso ocorre, o monômio de maior grau que indica o grau do polinômio é igual ao maior expoente da variável: Exemplos: Polinômios de única variável a) 2x² – 3x³ + 5x – 4 → note que a variável é x, e o maior expoente que ela tem é 3, então, esse é um polinômio de grau 3. b) 2y5 + 4y² – 2y + 8 → a variável é y, e o maior expoente é 5, então, esse é um polinômio de grau 5. Quando o polinômio possui mais de uma variável em um monômio, para encontrar-se o grau desse termo, é necessário somar-se o grau os expoentes de cada uma das variáveis. Sendo assim, o grau do polinômio, nesse caso, continua sendo igual ao grau do maior monômio, mas é necessário ter-se o cuidado de realizar a soma dos expoentes das variáveis de cada monômio. Exemplos: a) 2xy + 4x²y³ – 5y4 Analisando a parte literal de cada termo, temos que: xy → grau 2 (1 + 1) x²y³ → grau 5 (2 + 3) y³ → grau 3 Note que o maior termo tem grau 5, então esse é um polinômio de grau 5. b) 8a²b – ab + 2a²b² Analisando-se a parte literal de cada monômio: a²b → grau 3 (2 + 1) ab² → grau 2 (1 + 1) a²b² → grau 4 (2 + 2) Dessa forma, o polinômio possui grau 4. Adição de polinômiosPara a adição entre dois polinômios, vamos realizar a redução dos monômios semelhantes. Dois monômios são semelhantes se eles possuem partes literais iguais. Quando isso acontece, é possível simplificar o polinômio. Exemplo: Seja P(x) = 2x² + 4x + 3 e Q(x) = 4x² – 2x + 4. Calcule o valor de P(x) + Q(x). 2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4 Encontrando termos semelhantes (que possuem partes literais iguais): 2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4 Agora vamos somar os monômios semelhantes: (2+4)x² + (4-2)x + 3 + 4 6x² + 2x +7 A subtração não é muito diferente da adição. O detalhe importante é que primeiro precisamos escrever o polinômio oposto antes de realizarmos a simplificação dos termos semelhantes. Exemplo: Dados: P(x) = 2x² + 4x + 3 e Q(x) = 4x² – 2x + 4. Calcule P(x) – Q(x). O polinômio -Q(x) é o oposto de Q(x), para encontrar o oposto de Q(x), basta inverter o sinal de cada um dos seus termos, então temos que: -Q(x) = -4x² +2x – 4 Então calcularemos: P(x) + (-Q(x)) 2x² + 4x + 3 – 4x² + 2x – 4 Simplificando os termos semelhantes, temos: (2 – 4)x² + (4 + 2)x + (3 – 4) -2x² + 6x + (-1) -2x² + 6x – 1 Multiplicação de polinômiosPara realizar a multiplicação de dois polinômios, utilizamos a conhecida propriedade distributiva entre os dois polinômios, operando a multiplicação dos monômios do primeiro polinômio pelos do segundo. Exemplo: Seja P(x) = 2a² + b e Q(x) = a³ + 3ab + 4b². Calcule P(x) · Q(x). P(x) · Q(x) (2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²) Aplicando a propriedade distributiva, teremos: 2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b² 2a5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² +4b³ Agora, caso existam, podemos simplificar os termos semelhantes: 2a5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² + 4b³ Note que os únicos monômios semelhantes estão destacados em laranja, realizando a simplificação entre eles, teremos o seguinte polinômio como resposta: 2a5 + (6+1)a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³ 2a5 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³ Acesse também: Como fazer a multiplicação de fração algébrica? Divisão de polinômiosRealizar a divisão de polinômios pode ser bastante trabalhoso, utilizamos o que se chama de método de chaves, mas existem vários métodos para tanto. A divisão de dois polinômios só é possível se o grau do divisor for menor. Ao dividir o polinômio P(x) pelo polinômio D(x), estamos buscando um polinômio Q(x), tal que: Assim, pelo algoritmo da divisão, temos que: P(x) = D(x) · Q(x) + R(x). P(x) → dividendo D(x) → divisor Q(x) → quociente R(x) → resto Ao operar-se a divisão, o polinômio P(x) é divisível pelo polinômio D(x) se o resto for zero. Exemplo: Vamos operar a divisão do polinômio P(x) = 15x² +11x + 2 pelo polinômio D(x) = 3x + 1. Queremos dividir: (15x² + 11x + 2) : (3x + 1) 1 º passo: dividimos o primeiro monômio do dividendo com o primeiro do divisor: 15x² : 3x = 5x 2º passo: multiplicamos 5x · (3x+1) = 15x² + 5x, e subtraímos o resultado de P(x). Para realizar a subtração, é necessário invertermos os sinais do resultado da multiplicação, encontrando o polinômio: 3º passo: realizamos a divisão do primeiro termo do resultado da subtração pelo primeiro termo do divisor: 6x : 3x = 2 4º passo: então, temos que (15x² + 11x + 2) : (3x + 1) = 5x + 2. Sendo assim, temos que: Q(x) = 5x + 2 R(x) = 0 Leia também: Dispositivo prático de Briot-Ruffini – divisão de polinômios Exercícios resolvidosQuestão 1 – Qual deve ser o valor de m, para que o polinômio P(x) = (m² – 9)x³ + (m + 3)x² + 5x + m tenha grau 2? A) 3 B) -3 C) ±3 D) 9 E) -9 Resolução Alternativa A Para que P(x) tenha grau 2, o coeficiente de x³ tem que ser igual a zero, e o coeficiente de x² tem que ser diferente de zero. Então faremos: m² – 9 = 0 m² = 9 m = ±√9 m = ±3 Por outro lado, temos que m + 3 ≠ 0. Então, m ≠ -3. Dessa forma, temos como solução da primeira equação que m = 3 ou m= -3, porém, pela segunda, temos que m ≠ -3, então, a única solução que faz com que P(x) tenha grau 2 é: m = 3. Questão 2 – (IFMA 2017) O perímetro da figura pode ser escrito pelo polinômio: A) 8x + 5 B) 8x + 3 C) 12 + 5 D) 12x + 10 E) 12x + 8 Resolução Alternativa D Pela imagem, ao analisarmos o comprimento e a largura dados, sabemos que o perímetro é a soma de todos os lados. Como o comprimento e a altura são os mesmos, basta multiplicarmos a soma dos polinômios dados por 2. 2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 · (6x + 5) = 12x + 10 Por Raul Rodrigues de Oliveira |