A soma de dois números e 36 e a diferença entre eles é de 6 unidades o produto entre eles é de

A razão entre dois números é dada pela sua divisão obedecendo a ordem na qual eles foram dados. Tal razão pode ser representada na forma fracionária, decimal e percentual. A relação entre duas ou mais razões é uma importante ferramenta para solucionar problemas práticos, essa igualdade é chamada de proporção.

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Razão e proporção
Como representar uma razão?
Exercícios resolvidos

Leia também: Propriedades da proporção: quais são e para que servem?

Razão e proporção

→ Definição de razão: Considere dois números racionais x e y, com y diferente de zero. A razão de x por y, nessa ordem, é dada pelo quociente:

A razão entre os números:

a) 3 e 4

b) 5 e 7

Devemos ficar bastante atentos à ordem na qual os números são dados, o primeiro número sempre será o numerador, e o segundo número sempre será o denominador. Veja:

→ Definição de proporção: Quando igualamos duas razões, estamos formando uma proporção. Considere duas razões em que b ≠ 0 e y ≠ 0:

A igualdade será uma proporção se a · y = b · x, ou seja, se multiplicando cruzado encontrarmos uma igualdade verdadeira, então teremos uma proporção

Verificar se os números 2, 3, 10 e 15 são proporcionais nessa ordem.

Para isso, devemos montar a razão entre esses números e, em seguida, multiplicar cruzado. Se encontrarmos uma igualdade verdadeira, então eles serão proporcionais, caso contrário, eles não serão proporcionais.

Portanto, os números nessa ordem formam uma proporção.

Veja também: Proporcionalidade entre grandezas: tipos e exemplos

Como representar uma razão?

Vimos que uma razão é dada por uma divisão, que, por sua vez, pode ser representada por uma fração. Ao realizar a divisão do numerador pelo denominador dessa fração, obteremos a forma decimal da razão. Com base na forma decimal, podemos escrever a razão em sua forma percentual, bastando multiplicar esse número decimal por 100. Veja os exemplos.

Representação da razão entre 2 e 4 na forma fracionária, decimal e percentual.

A razão entre 2 e 4 é dada por:

Para determinar a forma decimal, basta realizar a divisão do numerador pelo denominador.

2 ÷ 4 = 0,5

Portanto, 0,5 é a representação decimal da razão dos números 2 e 4.

Para escrevermos essa razão na forma percentual, devemos multiplicar por 100 o número 0,5. Veja:

0,5 · 100 = 50%

Portanto:

A sequência de Fibonacci é considerada a razão/proporção áurea, pois é encontrada em diversos elementos da natureza, como em conchas de moluscos.

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (Unisinos-RS) Sabendo que a distância entre duas cidades num mapa, na escala 1 : 1 600 000, é de 8 cm, qual é a distância real entre elas?

a) 2 km

b) 12,8 km

c) 20 km

d) 128 km

e) 200 km

Solução

Alternativa d. Do enunciado temos a escala 1 : 1 600 000, ou seja, cada 1 centímetro no mapa corresponde a 1 600 000 centímetros na realidade. Interpretando tal escala como sendo a razão entre 1 e 1 600 000, devemos determinar a media real de uma distância de 8 centímetros no mapa, logo:

Observe que as alternativas são dadas utilizando-se a unidade de medida quilômetro. Para transformar centímetro em quilômetro, devemos dividir o último resultado por 100.000:

12.800.000 ÷ 100.000 = 128 km

Questão 2 – A razão entre a idade de duas pessoas é de 12 para 11. Sabe-se que a soma das idades é 115, determine a idade de cada uma dessas pessoas.

Solução

Como desconhecemos a idade das duas pessoas, vamos nomeá-las a e b. Como a razão entre essas idades é de 12 para 11, podemos montar uma proporção:

Sabemos que a soma das idades é 115, logo:

a + b = 115

a = 115 – b

Substituindo o valor de a na primeira equação, teremos:

11 · a = 12 · b

11 · (115 – b) = 12 · b

1.265 – 11b = 12b

1.265 = 12b + 11b

1.265 = 23b

b = 1.265 ÷ 23

b = 55

Como a = 115 – b, então:

a = 115 – 55

a = 60

Portanto, essas pessoas possuem, respectivamente, 60 anos e 55 anos.

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

ser dividido em partes diretamente proporcionais a 4 , 7 e 10 determina 25 para a maior das partes 124) Determine o número que ao ser dividido em partes diretamente proporcionais a 2 , 5 e 8 encontra 42 para a diferença entre a maior e a menor das par- tes 125) Determine quatro números naturais compreendi- dos entre 20 e 100, proporcionais a 2, 5, 7 e 9. 126) Dividir 135 metros de tecido partes inversamente proporcionais a 7 e 8. 127) Dividir 380 em partes inversamente proporcionais a 2 , 5 e 4. 128) Divida 6.500 em partes inversamente proporcio- nais a 2, 3 e 4. 129) Dividir R$ 270,00 entre três amigas Suzana, Marli e Cristina de tal modo as partes sejam, respecti- vamente, inversamente proporcionais a 0,5, 2 e 5. 130) Encontre o número que ao ser dividido em partes inversamente proporcionais a 2 , 3 e 10 gera 42 como a menor das partes. 131) Bruno, Felipe e Roger formaram uma sociedade. Bruno investiu a quantia de R$ 1.200,00 ; Felipe, R$ 1.500,00 e Roger R$ 1.800,00. Se o lucro ob- tido na empreitada foi de R$ 1.350,00, quanto ca- berá a cada sócio, se a divisão será feita em par- tes diretamente proporcionais investimento de cada um ? 132) Determine quantos kg de cobre e de zinco são nescessários para produzir 300 kg de latão, sa- bendo que o latão é obtido fundindo-se 7 partes de cobre com 3 partes de zinco. 133) Um reservatório de 2.520 litros de capacidade foi completamente cheio por três torneiras que des- pejaram por minuto 12 l, 8 l e 16 litros de água, respectivamente. Determine o volume de água que o reservatório recebeu de cada torneira APOSTILAS OPÇÃO Matemática 6 134) Uma certa importância foi repartida entre os três primeiros colocados em um gincana cultural, em partes diretamente proporcionais ao número de pontos obtidos por cada um deles. Se eles fizeram 50, 43 e 37 pontos. Qual quantia recebeu o se- gundo colocado se o vencedor recebeu R$ 3.000,00 ? 135) (PUC - SP) Dois amigos jogaram na loteria espor- tiva, sendo que o primeiro entrou com R$ 140,00 e o segundo com R$ 220,00. Ganharam um premio de R$ 162.000,00. Como deve ser rateado o prê- mio ? a) R$ 63.000,00 e R$ 99.000,00 b) R$ 70.000,00 e R$ 92.000,00 c) R$ 50.000,00 e R$ 112.000,00 d) R$ 54.000,00 e R$ 108.000,00 136) (U.Mogi - SP) Numa sociedade, houve um lucro de R$ 800,00. Os capitais dos sócios A e B são, respectivamente, R$ 1.500,00 e R$ 900,00. Os sócios A e B receberão em reais lucros, respecti- vamente, de : a) R$ 550,00 e R$ 250,00 b) R$ 600,00 e R$ 200,00 c) R$ 500,00 e R$ 300,00 d) R$ 520,00 e R$ 280,00 - Sistema do 1º grau Resolva os seguintes problemas, empregando sis- temas do 1.º grau com duas variáveis: 137) Determine dois números cuja soma é 11 e a dife- rença entre eles é 3. 138) A soma de dois números é 36. Determine-os, sabendo que um é o dobro do outro. 139) A soma de dois números é igual a 28, sendo o triplo de um deles a metade do outro. Determine as números. 140) Uma fração é equivalente a 7 2 e a soma de seus termos é 27. Determine-a. 141) A soma de dois números é 23. Sabendo que um dos números é maior que o outro 3 unidades de- termine-os. 142) A diferença entre 2 números é 30. Determine-os, sabendo que o quociente do primeiro por 10 é i- gual à metade do segundo menos 5 unidades. 143) Calcule dois números, sabendo que da divisão do maior pelo menor obtém-se 4 para quociente e que a diferença entre os números é 75. 144) Divida o número 46 em duas partes, tais que este- jam entre si assim como 8 : 15. 145) A soma das idades de um pai e um filho é, hoje, 70 anos. Há 8 anos passados, a idade do pai era o quíntuplo da do filho. Determine essas idades. 146) 175 cabeças e 500 pés. Quantas são as galinhas e quantos são os coelhos? 147) Determine uma fração, sabendo que se adicio- narmos 4 unidades aos seus dois termos ela fica- rá equivalente a 4 3 . Se subtrairmos 2 unidades de ambos os termos, ela ficará equivalente a 2 1 . 148) A soma das idades de dois irmãos é 25 anos. Um é mais novo que o outro 5 anos. Determine suas idades. 149) Um número é formado por dois algarismos, cuja soma é igual a 10. Determine esse número, sa- bendo que o algarismo das dezenas supera o ou- tro em 4 unidades. 150) Uma fração é equivalente a 3 2 . Somando 2 uni- dades ao numerador e tirando 2 unidades do de- nominador, obtém-se uma fração equivalente a 5 4 . Determine-a. 151) A soma de duas idades é 58 anos. Determine-as, sabendo que o quociente da menor por 2 excede de 5 unidades o quociente da maior por 10. 152) Determine dois números, sabendo que a quinta parte de um deles é igual a metade do outro, e que a soma dos dois é 28. 153) Divida o número 108 em duas partes, tais que o quociente entre a maior parte e a diferença que existe entre as partes seja 5. 154) A soma de dois números é 48. Determine-os, sabendo que o quociente entre eles é 3 e o resto da divisão é 4. 155) Reparta R$ 1.080,00 entre duas pessoas, de modo que a terça parte da primeira exceda em R$ 62,50 a quarta parte da segunda. 156) A idade de um pai é o sêxtuplo da idade de seu filho. Determine as idades, sabendo que daqui a 5 anos a idade do pai excederá em 5 anos o triplo da idade do filho. APOSTILAS OPÇÃO Matemática 7 157) A idade de um filho é 4 1 da idade de seu pai. Entretanto, há 5 anos passados, a idade do filho era 7 1 da idade do pai. Quais são as idades? 158) Um número tem dois algarismos, sendo o das de- zenas igual a 9. Invertendo-se a ordem dos alga- rismos, o número diminui 18 unidades. Determine- o. 159) Um livreiro vende, num dia, 3 exemplares de Lín- gua Portuguesa e 7 de Matemática, recebendo R$3.240,00. No dia seguinte, vende 2 exemplares de Língua Portuguesa e 5 de Matemática e então recebe R$2.260,00. Qual é o preço de cada e- xemplar? 160) Tenho 100 moedas, algumas de R$10,00 e outras de R$5,00, num total de R$600,00. Quantas e são as moedas de cada espécie? 161) Numa loja há 36 cortes de pano, uns de 2 m e outros de 3 m. A soma total é de 96 m. Quantos cortes há de cada um? 162) A soma das medidas de dois ângulos é 110º. A medida do maior é o triplo da do menor. Calcule a medido de cada ângulo. 163) O perímetro de um retângulo é de 40 cm. A medi- da da largura é igual a um terço da medida do comprimento. Calcule as dimensões do retângulo. - Potenciação Efetuar: 164) 2 4 3 165) 4 2 1 166) 32 2 1 3 4 - Radiciação Efetuar: 167) 9 1 168) 25 16 169) 2 2 1 16 9 - Equação do 2º grau Resolva as equações do 2.º grau completa: 170) x 2 - 9x +20 = 0 171) 2x 2 + x – 3 = 0 172) 2x 2 - 7x – 15 = 0 173) x 2 +3x + 2 = 0 174) x 2 - 4x +4 = 0 Calcule a Soma e Produto 175) 2x 2 - 12x + 6 = 0 176) x 2 - (a + b)x + ab = 0 177) ax 2 + 3ax - 1 = 0 178) x 2 + 3x - 2 = 0 179) O quadrado de um número adicionado com o quádruplo do mesmo número é igual a 32.