Como calcular raiz quadrada com indice superior

Você já ouviu falar em números quadrados perfeitos? Os quadrados perfeitos são o resultado da multiplicação de qualquer número por ele mesmo. Por exemplo, o 9 é um quadrado perfeito, pois ele é o resultado de 3 x 3 ou, melhor ainda, porque ele é o resultado da potência 32 (lê-se três elevado a dois ou três ao quadrado).

Nós temos uma forma mais usual de representar um número que é tido como quadrado perfeito. Para representá-lo, nós utilizamos a raiz quadrada. Por exemplo, se procuramos a “raiz quadrada de 4”, pretendemos descobrir qual é o número que, ao quadrado (o número multiplicado por si mesmo), resulta em 4. Facilmente podemos dizer que o número que procuramos é o 2, pois 22 = 4. Por essa razão, dizemos que a radiciação é a operação inversa à potenciação. Vejamos como representar uma raiz quadrada:

O radical (símbolo em vermelho) indica que se trata de uma radiciação, e o índice caracteriza a operação, isto é, o tipo de raiz que estamos trabalhando. Em geral, o radicando é o número sobre o qual somos questionados, e a raiz é o resultado.

Nesse exemplo, estamos procurando a raiz quadrada de 4, isto é, queremos saber qual é o número que multiplicado por ele mesmo resulta em quatro. Facilmente podemos concluir que esse número é o 2, pois 22 = 4.

Mas e se por acaso quisermos saber qual é o número que multiplicado por si mesmo 3 vezes resulta em 8? Precisamos então procurar o número que, ao cubo, resulta em 8, isto é:

? 3 = 8

? x ? x ? = 8

Esse exemplo já exige um pouco mais de raciocínio. Mas podemos afirmar que o número que ocupa o lugar dos quadradinhos é o 2, pois 23 = 2 x 2 x 2 = 8. Veja que acabamos de trabalhar com uma raiz cúbica, pois o índice da raiz é três. Sua representação é:

3√8 = 2, pois 23 = 2 x 2 x 2 = 8

Mas haveria uma forma mais fácil de realizar a radiciação? Sim, há! Através da fatoração, conseguimos encontrar qualquer raiz exata, independentemente do índice. Vejamos alguns exemplos:

1. √64

Precisamos encontrar a raiz quadrada de 64. Atenção: sempre que não aparece um número no índice, trata-se de uma raiz quadrada, cujo índice é 2. Vamos fatorar o radicando 64, isto é, vamos dividi-lo sucessivas vezes pelo menor número primo possível até que cheguemos ao quociente 1:

64 | 2
32 | 2
16 | 2
 8 | 2
 4 | 2
 2 | 2
1| 

Do lado direito, apareceram seis números 2. Ao multiplicá-lo (2x2x2x2x2x2), encontramos o número 64. Então, em vez de escrevermos o 64, podemos colocar essa multiplicação dentro da raiz:

√64

√2x2x2x2x2x2

Como estamos trabalhando como uma raiz quadrada, nós agruparemos os números dentro da raiz de dois em dois, elevando-os ao quadrado:

√22x22x22

Feito isso, aqueles números que possuem o expoente dois podem sair da raiz. Eles saem sem o seu expoente, mas continuam com o símbolo da multiplicação, portanto:

√64 – 2x2x2 – 8

Portanto, a raiz quadrada de 64 é 8.

2. 3√729

Agora estamos trabalhando com uma raiz cúbica, ou uma raiz de índice três. Devemos procurar um número que, multiplicado por si mesmo três vezes, chega ao valor do radicando. Vamos novamente fatorar nosso radicando, dividindo-o sempre pelo menor número primo possível:

729 | 3
243 | 3
 81 | 3
 27 | 3
   9 | 3
   3 | 3
 1 | 

Como estamos lidando com uma raiz de índice 3, nós vamos agrupar os números iguais que apareceram à direita em trios, com expoente 3. Novamente aqueles números que possuem expoente que coincide com o índice do radicando poderão sair da raiz. Vejamos:

3√729

3√3x3x3x3x3x3

3√33x33

3√729 = 3x3 = 9

Portanto, a raiz cúbica de 729 é 9.

3) 4√3125

Nesse exemplo, temos uma raiz quarta. Logo, ao fatorarmos o radicando, deveremos agrupar os números da direita de quatro em quatro. Vejamos:

3125 | 5
  625 | 5
  125 | 5
    25 | 5
      5 | 5
   ?1 |

À direita, apareceram cinco números cinco. Logo, podemos observar que, ao juntarmos grupos de 4, alguém ficará sozinho. Ainda assim, realizaremos esse processo:

4√3125

4√5x5x5x5x5

4√54x5

4√3125 = 54√5

Infelizmente, não conseguimos concluir essa radiciação, dizemos então que ela não é exata.

A fatoração do radicando é um procedimento que nos permite efetuar a radiciação independentemente do índice do radical e até mesmo se a radiciação não possuir raiz exata, como ocorreu no último exemplo. 

Aproveite para conferir nossas videoaulas relacionadas ao assunto:

Raiz quadrada de um número x é a operação matemática que define um número que, multiplicado por si próprio, resulta no número x. Por exemplo, as raízes de 4 podem ser 2 ou -2, pois tanto 2 × 2 quanto -2 × -2 dão 4.

Todavia, o símbolo “√”, comumente utilizado, não significa simplesmente raiz quadrada. Ele expressa, na verdade, a raiz quadrada não negativa, também chamada de raiz quadrada principal. No caso, portanto, tem-se que √4 = 2.

Essa operação é importante para a resolução de uma série de problemas algébricos, como as equações do segundo grau e as funções matemáticas. Por isso, a matéria é obrigatória para a prova de Matemática no Enem. Neste post, você encontra diversas dicas detalhadas sobre o tema. Continue a ler para dominar os conhecimentos da raiz quadrada!

Conheça os elementos da raiz quadrada

A raiz quadrada é uma especialidade da radiciação, uma forma mais geral para se obter raízes numéricas. Embora o assunto pareça complicado, para utilizá-lo com fluência basta compreender os termos básicos e treinar suas técnicas. Tomemos como exemplo a expressão √n = x.

O primeiro elemento da raiz quadrada é o símbolo “√”, conhecido como radical. Conta-se que ele se origina da letra ج, utilizada pelos árabes, que são protagonistas fundamentais na história da Matemática. Uma hipótese alternativa é que ele vem da letra r, por causa do termo radix, de origem latina.

O segundo elemento da radiciação é o índice, porém, ele fica omitido no caso da raiz quadrada. O índice é esse número que fica contido na dobra do radical, por exemplo, na raiz cúbica de x tem-se ³√n.

Uma curiosidade é que, em radiciação, cada índice demanda uma nomenclatura, na seguinte ordem:

• raiz quadrada: índice 2 (o índice não precisa ser escrito);
• raiz cúbica: índice 3;
• raiz quarta: índice 4;
• raiz quinta: índice 5 (e assim por diante).

O terceiro elemento de uma expressão de raiz é o radicando, isto é, o número n do qual se deseja obter a raiz. Por fim, o quarto elemento é a raiz propriamente dita, x, que é o resultado da operação. A seguir, cada elemento será abordado separadamente.

 Índice

O índice, portanto, é o elemento que caracteriza a operação da radiciação, definindo o tipo de raiz desejada. Para se ter uma ideia de como ele modifica a expressão, um bom exemplo é a diferença entre a raiz quadrada e a raiz quarta do número 81.

No primeiro caso, com índice 2, tem-se √81 = x. Como 92 = 81, isto é, 9 × 9 = 81, a resposta para a raiz quadrada desejada será simplesmente 9.

No segundo caso, com índice 4, as coisas mudam. Para encontrar o resultado de 4√81 = x, deve-se descobrir um número que, elevado à quarta potência, resulta em 81. No caso, esse número será 3, pois 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81, dado que 3 × 3 = 9 × 3 = 27 × 3 = 81.

Uma boa dica para dominar os diferentes índices é lembrar que ele sempre traz uma consequência exponencial para a operação solicitada. Em outras palavras, a expressão √n = x equivale a dizer que x2 = n. Do mesmo modo, considerando que o índice seja um número y inteiro, a expressão y√n = x equivale a dizer que xy = n.

Radical

Em relação ao radical, basta saber que ele é o símbolo que convoca a operação de radiciação. Onde houver o “√” presente, deve-se utilizar os conhecimentos matemáticos para encontrar a raiz solicitada.

Raiz

A raiz, por sua vez, é o resultado da operação de radiciação realizada. Na expressão √n = x, a raiz é o número x que, elevado ao quadrado (ou multiplicado por ele mesmo) será igual a n. Em outras palavras, se a raiz for x e o radicando for n, teremos que x2 = n.

Radicando

O radicando, portanto, é o número a partir do qual se deseja extrair a raiz. Ele é representado pelo n na expressão √n = x. O quadrado de x, portanto, deverá ser exatamente igual ao radicando n, de modo que x2 = n.

Entenda quais são os principais tipos

Como dissemos, a operação de raiz quadrada resulta em um número x que, multiplicado por ele mesmo, é igual a outro número n. Dependendo do valor obtido, porém, a raiz quadrada pode ser classificada em dois tipos, o quadrado perfeito ou o quadrado imperfeito. Eles serão mais bem explicados a seguir.

Cabe lembrar, em todo caso, que a raiz quadrada é apenas um dos tipos da operação mais geral da radiciação. Diferentes índices podem ser usados para se obter raízes cúbicas, raízes quartas, raízes quintas etc.

Quadrado perfeito

O primeiro tipo de raiz quadrada ocorre quando o resultado obtido é um número sem casas decimais. Por exemplo, em √25 = 5, o valor encontrado corresponde a um inteiro. Nesse caso, a raiz será denominada quadrado perfeito, podendo ser chamada de raiz quadrada exata também.

Quadrado imperfeito

O segundo tipo de raiz quadrada ocorre quando o resultado obtido não é um número inteiro. Nesse caso, a raiz será denominada quadrado imperfeito, e pode ser chamada de raiz quadrada não exata também.

Em qualquer situação de quadrado imperfeito, os valores encontrados estarão incluídos nos números irracionais, apresentando casas decimais infinitas. Por esse motivo, para calcular a resposta, deve ser usado um método de aproximação.

Saiba como calcular

Embora possa parecer complicado, calcular a raiz quadrada é algo simples. Basta encontrar o número x que, multiplicado por ele mesmo, resulta no número n, o radicando. Repetindo, x2 = n.

Essa operação não apresenta grandes dificuldades no caso de raiz quadrada exata. Porém, quando se trata de raiz quadrada não exata, é importante conhecer o passo a passo e inclui-lo com atenção no plano de estudos. Essa diferença vai ficar mais clara com os exemplos a seguir.

Raiz quadrada exata

Aqui, trata-se apenas uma questão de prática, para que os números inteiros sejam assimilados aos seus quadrados correspondentes. Um método que ajuda é trabalhar com limites superior e inferior.

Por exemplo, deseja-se encontrar √324, pressupondo que o resultado seja um número inteiro. Como 172 = 289 e 192 = 361, a resposta deverá estar entre esses dois números. Logo, tem-se que 182 = 18 × 18 = 324.

Raiz quadrada não exata

Para a raiz quadrada não exata, a situação é similar à dos limites inferior e superior, porém com a dificuldade extra dos números decimais. Porém, não é nada para se preocupar, pois tudo pode ser resolvido de maneira tranquila seguindo o método adequado.

O ponto central é fazer uma projeção entre as raízes próximas do número desejado. Nesse método, opera-se por aproximação, adicionando uma ou mais casas decimais ao número inteiro.

Por exemplo, para se obter √70, parte-se do número 8, pois √64 = 8. Assim:

8,1 × 8,1 = 65,61

8,2 × 8,2 = 67,24

8,3 × 8,3 = 68,89

8,4 × 8,4 = 70,56

Logo, o resultado por aproximação, com uma casa decimal, é 8,4. Para se obter maior precisão, é possível adicionar mais casas decimais, seguindo o mesmo método.

Treine os cálculos de forma constante

Se ainda parece difícil, fique tranquilo. Como qualquer conteúdo relacionado à Matemática e suas Tecnologias, dominar a técnica da raiz quadrada exige prática e treinamento constantes. Continue a exercitar para ficar cada vez melhor na resolução dos problemas.

Ocasionalmente, é interessante realizar um simulado de vestibular. Além disso, os recursos do Trilha do Enem permitem testar conhecimentos e criar planos de estudos personalizados. A plataforma pode ajudar a alcançar êxito no vestibular tradicional e também no vestibular online.

Acima de tudo, é indispensável continuar desenvolvendo as aptidões em Matemática, com especial atenção para as questões mais importantes que podem ser cobradas na prova. Por isso, não deixe de assistir ao vídeo a seguir, que contém mais dicas preciosas.

Gostou de relembrar os principais aspectos da raiz quadrada? As coisas ficam mais simples quando se tem em mãos um roteiro apropriado, feito por profissionais qualificados, concorda?

Então, aproveite as dicas da nossa planilha e descubra todos os segredos sobre como organizar os estudos para o Enem!