Calcular o comprimento do arco cujo ângulo central é 60◦ e o raio da circunferência é igual a 9 cm.

Calcular a área do setor circular é como calcular a área de uma parte do círculo, mas é preciso saber que o setor circular é uma região formada por dois raios e um arco. Conhecendo o círculo, podemos compor fatias em seu interior, formando as regiões conhecidas como setores circulares.

É possível calcular a área do setor circular sabendo o valor do comprimento do raio e a medida do ângulo central formado pelos raios que delimitam o setor circular. O cálculo também pode ser feito por meio dos comprimentos do arco e do raio.

Leia também: Círculo e circunferência — qual é a diferença?

Resumo sobre a área do setor circular

• O setor circular é a área formada por parte de uma circunferência limitada por dois raios e um arco.

• Conhecendo o ângulo do setor circular e o raio, sua área pode ser calculada por:

\(A_s=\frac{α⋅π⋅ {r} ^ {2}} {360°}\)

• A outra maneira de calcular a área do setor circular é conhecendo o raio e o comprimento do arco, utilizando a fórmula:

\(A_s=\frac{l⋅ {r}}{2}\)

Setor circular é uma região interna do círculo. Quando traçamos dois raios distintos, a região que se encontra entre eles é conhecida como setor circular. Assim, o setor circular é a área delimitada por dois raios e um arco. 

Veja abaixo os principais elementos do setor circular.

• Centro da circunferência: C

• Comprimento do raio do círculo: r

• Ângulo central: α

• Comprimento do arco: l

Como calcular a área de um setor circular?

É importante destacar que existem duas maneiras diferentes para calcular a área do setor circular. Uma delas é possível quando conhecemos os comprimentos do arco e do raio. A outra é possível quando conhecemos o ângulo central e o comprimento do raio. Vejamos cada uma delas a seguir.

➝ Cálculo da área do setor circular em função do ângulo central

Para calcular a área do setor circular conhecendo o ângulo central α e o raio com comprimento r, utilizamos a fórmula:

\(A_s=\frac{α⋅π⋅ {r} ^ {2}} {360°}\)

Sabendo que a área total de um círculo é igual a \(\pi r^2\) e que o ângulo central de um círculo é de 360°, podemos utilizar a regra de três simples para encontrar a fórmula:

πr² — 360°

As — α

Multiplicando cruzado:

\(A_s\cdot360°=πr2⋅α\)

\(A_s=\frac{\pi r^2\cdot\alpha}{360}\)

Calcule a área do setor circular a seguir:

Resolução:

Sabemos que α=60° e r = 3 cm, então:

\(A_s=\frac{\pi\cdot3^2\cdot60}{360}\)

\(A_s=\frac{\pi\cdot9\cdot60}{360}\)

\(A_s=\frac{540\pi}{360}\)

Simplificando a fração:

\(A_s=\frac{3\pi}{2}cm^2\)

Acesse também: Área do cone — a soma de sua área lateral com a área de sua base

➝ Cálculo da área do setor circular em função do comprimento do arco

Há outra maneira de calcular a área do setor circular em função do comprimento do arco. Para isso, é necessário conhecer o comprimento do raio r e o comprimento do arco l. A fórmula é:

\(A_s=\frac{l\cdot r}{2}\)

Aplicando a regra de três, sabemos que 2πr é o comprimento total da circunferência, então temos que:

2πr — \(\pi r^2\)

l — \(A_s\)

Multiplicando cruzado:

\(A_s\cdot2\pi r=\pi r^2\cdot l\)

\(A_s=\frac{\pi r^2\cdot l}{2\pi r}\)

\(A_s=\frac{r\cdot l}{2}\)

Qual é a área de um setor circular cujo raio é de 4 cm e cujo comprimento do arco é de \(\frac{2\pi}{4}cm\)?

Resolução:

\(A_s=\frac{\frac{2\pi}{4}\cdot4}{2}\)

\(A_s=\frac{2\pi}{2}\)

\(A_s=\pi cm^2\)

Veja também: Área da coroa do círculo — como calcular?

Exercícios resolvidos sobre a área do setor circular

Questão 1

A área do setor circular que possui ângulo central igual a 150° e raio medindo 12 cm é de:

(use \(\pi\) = 3)

A) 150 cm²

B) 180 cm²

C) 210 cm²

D) 240 cm²

E) 250 cm²

Resolução:

Alternativa B

Calculando a área:

\(A_s=\frac{\pi r^2\cdot\alpha}{360}\)

\(A=\frac{3\cdot{12}^2\bullet150}{360}\)

\(A=\frac{3\cdot144\cdot150}{360}\)

\(A=\frac{64800}{360}\)

\(A=180cm^2\)

Questão 2

Um setor circular possui área igual a 9,42 m². Sabendo que seu raio é igual a 6 cm, utilizando π = 3,14, podemos afirmar que o ângulo central desse setor circular é de:

A) 15°

B) 30°

C) 45°

D) 60°

E) 90°

Resolução:

Alternativa B

Sabemos que:

\(A_s=\frac{\pi r^2\cdot\alpha}{360}\)

Assim, calculamos:

\(9,42=\frac{3,14\cdot6^2\cdot\alpha}{360}\)

\(9,42\cdot360=3,14\cdot36\cdot\alpha\)

\(3391,2=113,04\alpha\)

\(\alpha=\frac{3391,2}{113,04}\)

\(\alpha=30°\)

Podemos definir um círculo como sendo o conjunto de todos os pontos interiores de uma circunferência, ou seja, é o espaço contido dentro da circunferência.

Todo círculo ou circunferência possui alguns elementos importantes:

• O é o centro da circunferência;
•  é o Diâmetro (D);
• e  são raios (r);

Setor circular

Um setor circular é uma região do círculo delimitada por dois de seus raios, partindo do centro e um arco:

Usualmente podemos chamar um setor circular de “fatia de pizza”, pelo seu formato. O ângulo é chamado de ângulo central.

De acordo com seu ângulo, um setor circular pode ser classificado como:

Metades: quando o ângulo central mede 180°

Área em função do ângulo central

Seja um setor circular de raio r = 4 cm e ângulo central .

Para calcular a área, devemos ter a medida do ângulo central e a medida do raio, como está na figura.

Devemos pensar: "a área do setor de ângulo 60° e raio 4 cm corresponde a que fração da área do círculo inteiro?"

Também devemos pensar: "60° corresponde a que fração de 360°?"

Isso porque a fração que 60° corresponde em relação a 360° é a mesma fração que a área do setor corresponde em relação a área total do círculo.

Assim, teremos a seguinte relação:

Ou seja, 60° é de 360º. Isso quer dizer que a área do setor circular também será da área total do círculo. Lembrando que a área de um círculo é dada por , teremos:

Substituindo por 3,14, teremos:

Lembrando que o valor de , usualmente é 3,14. Mas há alguns casos onde o exercício pode pedir para que se adote ou mesmo . Também pode ocorrer que se peça com mais casas decimais.

Encontrando uma fórmula

Vamos generaliza uma fórmula para calcularmos a área de um setor circular.

Como a fração que o ângulo central corresponde em relação a 360° é a mesma fração que a área do setor corresponde em relação a área total do círculo, podemos fazer:

Isso considerando que o ângulo está dado em graus. Caso a medida do ângulo esteja em radianos, teremos que , então:

Para entender esta fórmula podemos usar uma proporção simples, pois a razão entre o ângulo do setor e 360° é a mesma que a área do setor e a área total:

É possível determinar a área de um setor circular sabendo o comprimento do arco que o delimita.

Primeiro, vamos lembrar como se calcula o comprimento de um arco através de uma simples proporção.

Imaginemos um círculo de raio r, ângulo e arco L .

O comprimento do círculo todo, com um ângulo de 360°, é o mesmo que o comprimento de uma circunferência, ou seja, .

Queremos saber qual o comprimento de um arco, cujo ângulo é . Assim, temos:

Já sabemos que a área do setor será: .

Vamos isolar na fórmula do comprimento do arco L, para substituir na fórmula da área do setor.

Substituindo na fórmula da área do setor, teremos:

Assim, a área de um setor circular também pode ser obtida, sabendo apenas o raio e a medida do arco que o delimita, sem necessidade do ângulo.

Exemplos:

1. Calcule a área de um setor circular, sabendo que o seu raio mede 5 cm e que o seu ângulo central mede 45°. (Adote ).

2. Qual a área de um setor cujo arco mede 30 cm, com raio igual a 7 cm?

Referências:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.

DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar. Geometria Plana. Vol. 9. São Paulo: Atual, 1995.

RIBEIRO, Paulo Vinícius. Matemática: Áreas de círculo e suas partes. Vol. 5. São Paulo: Bernoulli.