O lado pr pr da figura I é correspondente a qual lado da figura ii PQ PQ st st su su tu

Page 2

CONSTRUCCION XI. Para la Tercera , supone las dos Lineas de

terminadas, fk, ybc, y escusando el Angulo
forma fanco klc:En su lugar dà por conoci,
do, el Blanco mesmo kc; dando al primero, que es el.del Quadrado seis Thesas,y añadien-

do despues en adelante, cantas Vergas,quan-
N grande Volumen compuso este tos lados crece la Figura, asta el Decagono,
Author Olandes, dado a luz en adonde llega a tener 12 Vergas,quallongitud Amsterdam año 1648. , que por

dà a todos los Poligonos en infinito, como lo bien impreso, por sus curiosas aqui se nota. Laminas,y citaciones Historicas,à sido aplau-

Figuras.
dido ,pero en los Methodos, que enseña de IV. V. VI. VII. VIIIIX. X.
fortificar, quien à leido a Marolois, y Fricach,

Flanco.
conocera , quan poco se apart1 de sus Conf- ko, 4. 7 8. 9. 10. 11. 12. Thef. trucciones, pues tiene los mismos supuestos , reglas, y medidas.

Y deste Computo forma las Tablas, que salen
Divide como ellos su Fortificación, en Gran- las mismas del primer modo, que fe pone en de, Mediana, y Pequena , y segun estas tres la Construccion de Fritach. ordenes forma, y nos comunica sus Tablas Efte Author propone quatro modos de cal- del Quadrado asta el l'oligono de 20 lados;

culos Stereometricos , llamados, el primero
fundando la diversidad de sus tres generos Mathematico , el Segundo Archite&tonico
en unos alumpios poco diferentes,que à esco- el Tercero Geometrico, y el Quarto Mecani- gido para fu Delineacion.

co. El Primero, como mas cientifico, (y sePara la Construccion de su primer modo gun el qual, imitando a Picisco, con mucha de suputar, determina dos Lineas , y dos An

y

exactitud a supucado un Exagono),consiste gulos. Las Lineas son la Cortina fk, y Fren

en reducir la media parte de un lado Poligorebc, con la proporcion sesquialtera , esto es nat, en Paralelepipedos , Trapecios, Prismas, fk, supone de 36 Vergas, y bc, de 24. Los y Piramides erectas, y jacentes, y deftos faca Angulos son el Flanqueado cbq, que se com- de cada uno su solido a parte ; Sale

a la postre pone siempre de la mitad del Angulo de la en la suma, el Cuerpo de todo, y se entiende Figura, y is grados mas , y el Angulo Forma tanto de los dos Parapecos, Banquetas, y El. fianco clk, siempre de 40 grados, y pone el palco, como del Rampar, y Follo de cada uno cxemplo para el Exagono desta forma: por fi; lo mas curioso, que a mi parecer se

ofrece en efte calculo es, el faber distinguir

, La Cortina fk 36

las Piramides erectas de las jacentes, en que La Frente bé } Vergas.

24

. noan reparado los Escritores mas excelentes Ang. Medio de la Circumf. ral 60 grad. en la Profession, como lo demuestra el Au

1 a quien se le añaden

is grad.

thor. Angulo Flanqueado qbc

75 grad.

· El Archite&tonico, Hamado alli, por pracAngulo Forma flanco clk

40 grad.

ticarlo ordinariamente los Architectos, es

muy facil , porque con una operacion sola Con estos quatro supuestos, con las mismas

acaba todo el calculo de un Cuerpo levantareglas ,explicadas en la Construccion de do, que este entre Lineas paralelas, el modo es Marolois faca por Trigonometria , todas las efte; se multiplica la superficie del Perfil, por demas Lineas, y Angulos de su Fortificacion.

la Linea media entre las dos inferiores, que Para la Segunda manera, retiene los mis- son interior , y exterior del Rampar ,y sale mos asumptos, mudando solo, el formar el su Solido , lo mismo se executa, con los ParaAngulo flanqueado, que constituye de los petos, y Banquetas; pero en quanto at Follo, dos tercios del Angulo de la Figura; ElExem- como su Linea interior, y exterior no son plodel Exagono es el siguiente,

paralelas , se sigue el modo Mathematico,

imitando a Fritach, que en lo levantado
Cortina fk 36

se vale del calculo Architectonico, y en la
Frente bc 24 } Vergas.

suputacion del Follo, se à valido del Mathe-
Angulo de la Fig. oal.

matico, en que se deve reparar, que no distinsus dos Tercios q bc 80.

gue las Piramides erectas de las jacentes, porAngulo Forma fianco clk 40.

que en el Angulo entrante de la Contra scarpa

del Follo, y en otras partes, las pone erectas
Las dos Tablas, que destos supuestos compo- en su Base Triangular sobre la Tierra , quan-
ne, son cabalmente las mismas, que pone Ma- do son jacentes, y tienen su Basse quadran-
rolois ; con esta fola diferencia, que Dogen la gular puesta perpen dicularmente al Orizon.
crece desde el Dodecagono , alta la Figura de te, y contra el vacio del Follo. 20 lados.

A semelhança de triângulos consiste, de modo geral, na proporção entre dois ou mais triângulos, ou seja, são proporcionais se, e somente se, todos os seus lados e ângulos internos forem proporcionais ao outro triângulo. Convenhamos que verificar todos esses elementos um a um gera um pouco de trabalho. A fim de facilitar o processo, vamos estudar os casos de semelhança nos quais é necessário verificar somente três desses elementos.

Leia também: Propriedades do triângulo equilátero

Triângulos semelhantes

Dados dois triângulos ABC e A’B’C’, vamos dizer que eles são semelhantes se, e somente se, os ângulos correspondentes são congruentes na mesma ordem, ou seja, se os ângulos são iguais e se os lados correspondentes são ordenadamente proporcionais. Veja:

Ângulos correspondentes congruentes:

A = A'

B = A'

C = A'

Lados correspondentes proporcionais:

A'B' = B'C' = A'C' = k
AB BC AC

O número k nas razões entre os lados é chamado de constante de proporcionalidade, e as razões são chamadas de razões de proporcionalidade.

Exemplo

Vamos verificar se os triângulos a seguir são proporcionais.

Observe que a correspondência entre os ângulos dos triângulos azul e vermelho é dada por:

A = 65° = B’

B = 45° = A’

C = 70° = C’

Veja também que o lado A’B’ está para o lado AB, que o lado B’C’ está para o lado AC e que o lado A’C’ está para o lado BC, ou seja:

Note que, nessa ordem, podemos encontrar uma proporção entre os lados em que a constante de proporcionalidade é igual a 1/3, ou seja, para construir o triângulo A’B’C’, basta multiplicar cada lado do triângulo ABC por 1/3. Assim, temos que os triângulos são semelhantes na seguinte ordem:

ABC ~ B’A’C’

Veja também: Condição de existência de um triângulo

Teorema fundamental da semelhança de triângulos

Considere inicialmente um triângulo DEF e considere uma reta paralela GH ao lado.

“O teorema fundamental da semelhança de triângulos afirma que toda reta paralela a um dos lados do triângulo que intercepta os outros dois lados determina um segundo triângulo semelhante ao primeiro.”

No triângulo acima, vamos ter a seguinte semelhança:

DFE ~ GFH

Exemplo

No triângulo ABC, o segmento DE é paralelo ao lado BC. Sabe-se também que AB = 8 cm, AC = 10 cm e AD = 2 cm. Determine o comprimento dos segmentos AE e EC.

Como o segmento DE é paralelo ao lado BC do triângulo ABC, pelo teorema fundamental da semelhança de triângulos, temos que os triângulos ABC e ADE são semelhantes, logo seus lados, de modo ordenado, são proporcionais, então:

Veja também que o lado AC é dado pela soma AE + EC. Substituindo os valores de cada lado, temos:

AC = AE + EC

10 = 2,5 + EC

10 – 2,5 = EC

EC = 7,5 cm

Portanto, AE = 2,5 cm e EC = 7,5 cm.

Saiba também: Relações no triângulo retângulo

Casos de semelhança de triângulos

Vimos que, para verificar se dois triângulos são, de fato, semelhantes ,é necessário que todos os ângulos correspondentes sejam iguais e que os lados correspondentes sejam proporcionais, entretanto não é necessário verificar as seis condições. Veremos a seguir casos de semelhança que facilitam tal verificação.

Vamos dizer que dois triângulos são semelhantes se dois ângulos de um triângulo são iguais a dois ângulos do outro triângulo.

Se dois ângulos são congruentes, os triângulos são semelhantes e a volta também é verdadeira, isto é, caso dois triângulos sejam semelhantes, então podemos afirmar que dois ângulos correspondentes são iguais.

Dizemos que dois triângulos são semelhantes se dois lados são proporcionais e os ângulos entre esses lados são congruentes, isto é, iguais.

A condição para que esses dois triângulos sejam semelhantes é que a razão entre AB e A’B’ seja igual à razão entre os lados AC e A’C’, ou seja, que os lados sejam proporcionais. Além disso, o ângulo compreendido entre esses lados deve ser igual: Â = Â.

Nesse caso, também vale a volta da afirmação, ou seja, se dois triângulos são semelhantes, então podemos afirmar que dois de seus lados são proporcionais e que os ângulos entre esses lados são iguais.

Dois triângulos são ditos semelhantes se os três lados do primeiro triângulo são ordenadamente proporcionais aos lados do segundo triângulo.

Nesse caso, para que os triângulos sejam semelhantes, os lados correspondentes devem ser iguais.

Exemplo

Considere os triângulos a seguir. Sabendo que eles são semelhantes, determine os valores de a, b e c. O perímetro do triângulo maior é igual a 84 cm.

Por hipótese, os triângulos são semelhantes. Podemos dizer ainda que a semelhança é pelo caso LLL, ou seja, ABC ~ A’B’C’, portanto:

Como o perímetro do triângulo maior é igual a 84 cm, temos que:

a + b + c = 84

7k + 9k + 5k = 84

21k = 84

k =4

Substituindo os valores de k nas igualdades, temos:

a = 7 · (4) → a = 28 cm

b = 9 · (4) → b = 36 cm

c = 5 · (4) → c = 20 cm

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (PUC-Campinas) Os triângulos ABC e AED, representados na figura a seguir, são semelhantes, sendo os ângulos D e C congruentes.

Se BC = 16 cm, AC = 20 cm, AD = 10 cm e AE = 10,4 cm, o perímetro do quadrilátero BCED, em centímetros, é:

a) 32,6

b) 36,4

c) 40,8

d) 42,6

e) 44,4

Solução

Alternativa e.

Os triângulos ABC e AED são semelhantes, logo seus lados, nessa ordem, formam uma proporção. Das propriedades de proporção, temos:

Multiplicando cruzado as duas primeiras frações, temos:

20 · DE = 10 · 16

20 · DE = 160

DE = 8 cm

Agora, multiplicando cruzado a primeira fração com a terceira, temos:

20 · 10,4 = 10 · (10 + BD)

208 = 100 + 10 · BD

10 ·BD = 208 – 100

10 · BD = 108

BD = 10,8 cm

Note que o lado AC é dado por AE + CE. Substituindo os valores conhecidos, temos:

AC = AE + CE

20 = 10,4 + CE

CE = 20 – 10,4

CE = 9,6 cm

E portanto o perímetro do quadrilátero BCED é:

BC + CE + DE + DB

16 + 9,6 + 8 + 10,8

44,4 cm