As tabelas trigonométricas relacionam um ângulo aos seus respectivos valores de seno, cosseno e tangente. Elas foram criadas para facilitar quaisquer cálculos envolvendo trigonometria, pois, fazendo uso de uma dessas tabelas, basta procurar os valores numéricos de seno, cosseno e tangente referentes a um ângulo qualquer. Seno, cosseno e tangente são resultados da divisão dos comprimentos de dois lados de um triângulo retângulo. Para definir essas divisões, é necessário saber que, em um triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo de 90º é chamado de hipotenusa e que os outros dois lados são chamados de catetos. Tomando o ângulo θ de um triângulo retângulo, sendo θ diferente de 90º, definiremos: Senθ = Cateto oposto a θ cosθ = Cateto adjacente a θ tgθ = Cateto oposto a θ Essas razões funcionam em qualquer triângulo retângulo que possua um ângulo igual a θ, independentemente do comprimento dos lados desses triângulos, em virtude da semelhança de triângulos pelo caso ângulo – ângulo. A primeira tabela trigonométrica envolve apenas ângulos notáveis, isto é, os ângulos de 30º, 45º e 60º.
Geralmente os professores usam uma música para que os alunos jamais se esqueçam dessa tabela. A canção é a seguinte: “um, dois, três. Três, dois, um. Tudo sobre dois, só não tem raiz o um!” Repare que cada verso é um passo para a construção dessa tabela. Escreve-se 1, 2, 3 na primeira linha; 3, 2, 1 na segunda; divide-se tudo por 2, e o único numerador que não possui raiz é o 1. A linha referente à tangente é obtida pela divisão dos valores de seno por cosseno. Caso os ângulos sejam diferentes de 30º, 45º ou 60º, pode-se utilizar a tabela seguinte, que aproxima os valores de seno, cosseno e tangente de cada ângulo agudo.
Exemplo: Calcule o valor de x no triângulo abaixo.
Para calcular o valor de x na figura acima, basta utilizar a noção de cosseno, já que as medidas que dispomos são de um ângulo agudo de um triângulo retângulo, do cateto adjacente a esse ângulo e da hipotenusa (é a medida que queremos descobrir). Cosθ = Cateto adjacente Cos35° = 4 Observe na tabela que Cos35° = 0,819. Substitua esse valor na expressão acima e utilize regra de três para calcular o valor de x. Cos35° = 4 0,819 = 4 0,819x = 4 x = 4 x = 4,88 Logo, a medida de x é 4,88. Entre os elementos de um polígono, estão os lados, vértices, ângulos internos e ângulos externos. Quando o polígono é convexo, também podemos pensar nas suas diagonais e criar propriedades como a soma de seus ângulos internos e a soma de seus ângulos externos. Essa última propriedade deve sempre ser igual a 360°, em todo polígono convexo. Isso é resultado da definição dos ângulos externos, aliada a algumas propriedades envolvendo ângulos que serão discutidas mais adiante. A soma dos ângulos internos varia de polígono a polígono, dependendo de seu número de lados. Assim, desde que convexos, os polígonos: a) Que possuem três lados têm soma dos ângulos internos igual a 180°; b) Que possuem quatro lados têm a soma dos ângulos internos igual a 360°; c) Que possuem n lados têm a soma dos ângulos internos igual a (n – 2)180. Definição de ângulo externo Um ângulo externo é a abertura entre o prolongamento de um lado de um polígono e o lado adjacente a ele. Observe, por exemplo, os ângulos externos da figura a seguir: Os ângulos assinalados com as letras gregas α, β, γ, δ e ε são externos, pois representam justamente a abertura entre um lado do polígono e o prolongamento do lado adjacente a ele. Propriedades relacionando ângulos externos e ângulos internos Perceba que sempre existe um ângulo interno que compartilha um lado de um polígono com um ângulo externo. Observe também que esses dois ângulos estão sempre sobre a mesma reta, já que o ângulo externo depende do prolongamento do lado do polígono. Dessa forma, garantimos que a soma de um ângulo interno com o ângulo externo adjacente a ele é igual a 180°. Em outras palavras: Um ângulo interno e o ângulo externo adjacente a ele sempre são suplementares. No pentágono regular acima, temos um ângulo interno e um externo. Como o pentágono é regular, cada um de seus ângulos internos mede 108°. Assim sendo, cada um de seus ângulos externos medirá 72°. Observe que existem exatos cinco ângulos externos nesse polígono, e que todos medem 72° porque o polígono é regular. 5·72 = 360° Demonstração Independentemente de qual seja o polígono convexo e sua quantidade de lados, ou do fato de todos os lados possuírem medidas diferentes, cada ângulo interno (Si), somado ao seu ângulo externo adjacente (Ai), deve ter como resultado 180°: Si + Ai = 180° Seja S a soma de todos os ângulos internos e A a soma de todos os ângulos externos, em um polígono de n lados, temos também n ângulos internos e n ângulos externos. Assim: S + A = 180·n A soma dos ângulos internos nós já conhecemos, pois ela é obtida pela expressão: S = (n – 2)180. Substituindo S por essa expressão na equação anterior, temos: S + A = 180n (n – 2)180 + A = 180n 180n – 360 + A = 180n Como queremos descobrir a soma dos ângulos externos de um polígono, isolaremos a incógnita A no primeiro membro: 180n – 360 + A = 180n A = 180n + 360 – 180n A = 360° Portanto, fica demonstrado que a soma dos ângulos externos de um polígono convexo é sempre igual a 360°. Teste seus conhecimentos sobre soma dos ângulos internos de um polígono regular resolvendo estes exercícios! Questão 1
Calcule a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer e de um retângulo qualquer.
Questão 2
Calcule o valor de cada ângulo do quadrilátero seguinte:
Questão 3
(UNIFESP - 2003) Pentágonos regulares congruentes podem ser conectados lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas, conforme destacado na figura a seguir Nessas condições, o ângulo θ mede: a) 108°. b) 72°. c) 54°. d) 36°. e) 18°.
Questão 4
(FAAP-97) A medida mais próxima de cada ângulo externo do heptágono regular da moeda de R$ 0,25 é: a) 60° b) 45° c) 36° d) 83° e) 51°
Resposta - Questão 1
Independentemente do polígono a que o exercício ou situação se refira, a soma dos seus ângulos internos tem valor fixo e é dada pela fórmula S = (n – 2)·180, em que n é o número de lados do polígono. Logo, Soma dos ângulos internos do triângulo: S = (3 – 2)·180 S = 1·180 S = 180° Qualquer que seja o triângulo, a soma de seus ângulos internos sempre será igual a 180°. Isso pode ser usado quando conhecemos as medidas de dois dos ângulos internos de um triângulo e é necessário calcular o valor da última. Soma dos ângulos internos de um retângulo: S = (4 – 2)·180 S = 2·180 S = 360° Não só retângulos, mas qualquer que seja o quadrilátero, a soma de seus ângulos internos será 360°.
Resposta - Questão 2
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é dada por: S = (n – 2)·180 Sabendo que o número de lados da figura é 4, basta substituir n por 4: S = (4 – 2)·180 S = 2·180 S = 360° Agora some os ângulos internos dessa figura e iguale o resultado a 360°: 2x + 4x + 2x + 4x = 360 12x = 360 x = 360 x = 30 Agora basta substituir x em cada ângulo para descobrir os seus valores. 4x = 4·30 = 120° e 2x = 2·30 = 60° Os ângulos são 120° e 60°.
Resposta - Questão 3
Na ponta da estrela onde está destacado o ângulo θ, temos o encontro de três ângulos internos de pentágonos regulares. Para descobrir a medida de cada um desses ângulos, basta calcular a soma dos ângulos internos do pentágono e dividir por 5. A fórmula para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono é: S = (n – 2)·180 *n é o número de lados do polígono. No caso desse exercício: S = (5 – 2)·180 S = 3·180 S = 540 Dividindo a soma dos ângulos internos por 5, pois um pentágono possui cinco ângulos internos, encontraremos 108° como medida de cada ângulo interno. Observe na imagem anterior que a soma de três ângulos internos do pentágono com o ângulo θ tem como resultado 360°. 108 + 108 + 108 + θ = 360 324 + θ = 360 θ = 360 – 324 θ = 36° Letra D.
Resposta - Questão 4
Heptágonos são figuras geométricas que possuem sete lados, sete vértices e sete ângulos. Como esse heptágono é regular, então todos os seus ângulos e lados possuem a mesma medida. A soma dos ângulos internos do heptágono é: S = (n – 2)·180 S = (7 – 2)·180 S = 5·180 S = 900° Cada ângulo interno do heptágono regular mede a soma dos ângulos internos dividida por 7. 900 = 128,57 Agora, resta apenas descobrir o valor de um ângulo externo. Os ângulos externos de um polígono são suplementares aos ângulos internos respectivos. Portanto, a soma entre um ângulo interno e seu ângulo externo tem como resultado 180°. Dessa forma, os ângulos externos da moeda de 25 centavos medem: 128,57 + x = 180 x = 180 – 128,57 x = 51,43° Letra E. Versão desktop Copyright © 2022 Rede Omnia - Todos os direitos reservados Proibida a reprodução total ou parcial sem prévia autorização (Inciso I do Artigo 29 Lei 9.610/98) |
Na figura a seguir onde está assinalado a medida de cada ângulo do polígono determine o valor de x
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