Leia a tira abaixo com base na tira, responda qual é a grandeza física medida na balança

=PG=151=

Exercícios propostos  

EP1. (UEPG-PR) O estudo dos movimentos está fundamentado nas três leis de Newton. Sobre movimentos e as leis de Newton, assinale o que for correto. 

01. O princípio da inércia é válido somente quando a força resultante sobre um corpo é não nula. 

02. Duplicando o valor da força resultante aplicada sobre um objeto, a aceleração experimentada pelo objeto também será duplicada. 

04. Forças de ação e reação nunca se anulam, pois atuam sempre em corpos distintos. 08. Um avião voando em linha reta com velocidade constante está em equilíbrio dinâmico. 02 + 04 + 08 = 14

EP2. Com que finalidade calculamos a intensidade da força resultante e determinamos sua direção e seu sentido de ação? Resposta nas Orientações Didáticas.

EP3. Num jogo de video game, há dois dispositivos que podem exercer forças de intensidades distintas: de 7 N e de 13 N, respectivamente. Como o jogador deve utilizar esses dispositivos aplicadores de forças para:

a) obter uma intensidade resultante de 20 N?

b) conseguir o mínimo de intensidade resultante? E qual é esse valor? 

Respostas nas Orientações Didáticas.

EP4. Na figura a seguir, três forças atuam sobre uma caixa. As forças 2 e 3 são opostas (têm a mesma direção e sentidos opostos) e a força 1 é perpendicular a elas. As intensidades F1 , F2 e F3 são, respectivamente, iguais a 400 N, 500 N e 800 N. 

a) Determine a intensidade da força resultante;

b) Indique a direção, o sentido e a intensidade da força capaz de anular os efeitos dessas três forças.

EP5. Leia a tirinha a seguir e, baseando-se no que você estudou até o momento, explique por que, quando o cavalo para repentinamente, a personagem é “jogada para a frente”. Resposta nas Orientações Didáticas.

Adam@Home, Brian Basset © 1999 Brian Basset/Dist. By Universal Uclick

EP6. Por que em uma colisão frontal de um carro contra um muro, por exemplo, ele sofre uma desaceleração brusca, mas os passageiros são “lançados para a sua dianteira”? Resposta nas Orientações Didáticas.

EP7. Um passageiro imprudente está sentado no banco de trás de um automóvel em movimento uniforme, sem o cinto de segurança. No momento em que o motorista faz uma curva fechada para a direita, o passageiro se choca contra a porta esquerda. Explique o fato baseando-se em leis físicas. Resposta nas Orientações Didáticas.

EP8. A cabeça de um motorista é forçada para trás quando o seu carro sofre uma colisão traseira, originando o “efeito chicote” — em que a cabeça é forçada para trás e, logo a seguir, volta rapidamente para a frente. Que princípio da Física esclarece o motivo pelo qual ocorre esse fato? Justifique sua resposta.

Resposta nas Orientações Didáticas.

EP9. Por que uma caixa de bombons colocada sobre uma mesa pode estar sofrendo a aplicação de um conjunto de forças, mesmo que esteja em repouso?

Resposta nas Orientações Didáticas.

EP10. Uma bola de futebol de 400 g de massa, quando é submetida à ação de 10 N de força, fica acelerada com a intensidade de:

a) 25 m/s2 X 

b) 2,5 m/s2 

c) 12,5 m/s2 

d) 40 m/s2

e) 4 m/s2 

EP11. Um jogador acelera uma bola de boliche a 5,0 m/s2 com força de 25 N. Concluímos que a massa da bola é:

a) 6,0 kg 

b) 5,0 kg X 

c) 1,2 kg 

d) 300 g

e) 120 g 

EP12. Um veículo de 2 toneladas puxa um avião de 50 toneladas. A velocidade de movimento é constante e igual a 18 km/h. Então, qual é a intensidade da força resultante que atua sobre o avião?

A resultante é zero. A força exercida pelo veículo é equilibrada por outra(s) força(s).

EP13. Leia a tira abaixo.

Com base na tira, responda: 

a) Qual é a grandeza física medida na balança? A massa. 

b) Quais grandezas estão implícitas na recomendação do médico? Massa, peso e aceleração da gravidade.

Frank & Ernest, Bob Thaves © 2005 Thaves/Dist. by Universal Uclick for UFS

CAPÍTULO 10 • OS PRINCÍPIOS DA DINÂMICA 151

=PG=152=

EP14. Duas forças, uma de intensidade igual a 15 N e outra igual a 20 N, estão aplicadas em um livro, ao mesmo tempo. Que opção a seguir poderia representar a intensidade da força resultante?

a) 0 N 

c) 37 N 

e) 25 N X 

EP15. Observe a seguinte tira.

Calvin & Hobbes, Bill Watterson © 1986 Watterson/Dist. by Universal Uclick

O salto para trás que Calvin deu no 3 o quadrinho foi devido à força aplicada pelo seu espirro, ao expelir o ar de sua boca? Justifique a resposta.

Não. O salto ocorreu devido à força de reação do chão contra a ação dos seus pés.

EP16. Analise a seguinte afirmativa: “Se ocorrer uma colisão frontal entre um caminhão e um carro pequeno, o carro é ‘arremessado para trás’ a uma distância maior do que aquela com que o caminhão é ‘atirado’ em sentido contrário”. Então, qual é a alternativa correta? 

a) A força de ação tem intensidade menor que a força de reação; assim, a aceleração do carro é menor que a do caminhão. 

b) A força de ação tem intensidade maior que a força de reação; logo, a aceleração do carro é maior que a do caminhão. 

c) As forças de ação e de reação têm intensidades iguais; desse modo, a aceleração do carro é maior que a do caminhão, pois o carro tem massa menor. X 

d) As forças de ação e de reação têm intensidades iguais; mas as acelerações dos veículos dependem das velocidades que tinham antes da colisão. 

e) A força de intensidade maior é exercida pelo veículo que apresentar a maior massa; assim, ele terá menor aceleração depois da colisão.

EP17. Em um desenho animado, um personagem navega em um barco a vela, em um dia sem vento, soprando ele próprio a vela e produzindo assim uma corrente de ar artificial. Na vida real, isso não faria o barco movimentar-se. Por quê?

a) As forças aplicadas no barco formam um sistema cuja resultante tem intensidade nula. X 

b) A força de ação é aplicada na vela; e a de reação, no rosto do personagem. 

c) A força de ação é aplicada no rosto do personagem e a de reação, na água do lago. 

d) Isso está violando o Princípio Fundamental da Dinâmica. 

e) O sopro é muito fraco e é insuficiente para vencer a inércia de repouso do barco.

EP18. Uma caixa plástica, cuja massa é de 1,2 kg, é submetida a uma força vertical, para cima, de intensidade constante igual a 18 N. Sabendo-se que g = 10 m/s2 , determine: 

a) a intensidade do peso da caixa; 12 N 

b) o sentido e a intensidade da aceleração resultante do movimento da caixa. para cima; a = 5 m/s 2

EP19. Duas caixas retangulares feitas de metal, com massas

mA = 10 kg e m B = 5 kg, estão em repouso. Elas estão encostadas uma na outra e apoiadas sobre uma superfície plana e horizontal, com atrito desprezível. Em um determinado instante, aplica-se no bloco A uma força de intensidade FA = 30 N, conforme a figura.

Com base nesses dados, calcule: 

a) a aceleração à qual as caixas ficaram submetidas; a = 2 m/s2 

b) a intensidade da força de contato entre as caixas A e B. FAB = 10 N

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1. Física : Ensino médio 530.07

Ponte estaiada Octávio Frias de Oliveira, sobre o rio Pinheiros, em São Paulo.

Diretora editorial Lidiane Vivaldini Olo 

Gerente editorial Luiz Tonolli

Editor responsável Viviane Carpegiani 

Editor Marcela Maris

Consultor para o Manual do Professor Bruna Graziela Garcia Potenza 

Gerente de produção editorial Ricardo de Gan Braga

Gerente de revisão Hélia de Jesus Gonsaga 

Coordenador de revisão Camila Christi Gazzani

Revisores Maura Loria, Patrícia Cordeiro, Raquel Alves Taveira, Ricardo Koichi Miyake

Produtor Editorial Roseli Said 

Supervisor de iconografia Sílvio Kligin

Coordenador de iconografia Cristina Akisino 

Pesquisa iconográfica Fernando Cambetas 

Coordenador de artes José Maria de Oliveira 

Design e capa Alexandre Romão com imagens de Eduardo Zappia/Pulsar Imagens 

Diagramação Francisco A. da Costa Filho/Setsumi Sinzato 

Assistente Bárbara de Souza

Ilustrações Alberto De Stefano, Alex Argozino, Alex Silva, Conceitograf, Estúdio Ampla Arena, Fernando Gonzales, Fernando Monteiro, João Anselmo, Lettera Studio, Luis Moura, Luiz Fernando Rubio, Mario Yoshida, Paulo César Pereira, Portal de Mapas, Rafael Herrera, Rodval Matias

Page 3

• Física Moderna: introduz a Relatividade, a Mecânica Quântica e a Física Nuclear, que modificaram, no século passado, o modo como os cientistas veem o mundo.

12 UNIDADE 1 • CINEMÁTICA ESCALAR

=PG=13=

FaÇa no caderNO

NÃO escreva no livro

Cientistas são exploradores

Você vai ler agora uma entrevista com o físico norte-americano Leon Lederman, ganhador do prêmio Nobel de Física em 1988. Ele nos conta os motivos pelos quais decidiu tornar-se um cientista.

Meu interesse pela ciência, pelo que eu mais me recordo, veio da leitura sobre os cientistas. Havia muitos livros cruciais de jovens escritores. Eu tinha 10 anos de idade quando li sobre biólogos em um livro chamado “Caçadores de Micróbios”. Esse falava da história de como os cientistas resolveram problemas para provar que as doenças eram causadas por germes. Do que mais me lembro são dos enigmas criados por uma certa doença, e como, através de um trabalho cuidadoso e de “ideias”, cientistas foram capazes de conectar essa doença a um micróbio, um assassino observado apenas pelo microscópio. Para tornar a história ainda mais empolgante, identificando o culpado, a cura de pessoas doentes seria possível e muitas vidas seriam salvas. Isso soava muito melhor do que ser um jogador de baseball! Outro livro que li foi escrito por Albert Einstein, no qual a ciência era comparada com uma história de detetive. Alguém era assassinado e havia várias pistas: uma faca suja de sangue, um cachorro uivando e outras informações que pareciam estar desconexas, mas das quais o detetive (cientista) tomava nota cuidadosamente. Eventualmente, quando o assassinato era resolvido, cada pista, cada pedaço de evidência se combinava como um quebra-cabeça — tudo era explicado.

Mais tarde, no ensino médio, eu descobri que a ciência possuía outra inacreditável e maravilhosa característica — não somente a ciência podia resolver problemas sobre o mundo, mas cada “pequeno” problema resolvido contribuía para que o homem compreendesse o mundo: porque há dia e noite, e de que forma funciona nosso sistema solar. (Quando me disseram que eu estava sobre um planeta que estava me girando a aproximadamente 1 500 km/h, eu quis segurar em alguma coisa!)

Então astrônomos e físicos realmente entenderam as estrelas (cada uma sendo um sol com seus próprios planetas) e o processo como elas foram agrupadas em inimagináveis enormes coleções de bilhões de sóis. Outros cientistas usaram microscópios gigantes e poderosos para observar profundamente dentro dos átomos e, atualmente, começaram a entender como a matéria e a energia funcionam — assim como o biólogo que, tempos atrás, pesquisou as bactérias.

Eu descobri que fazer parte de um grupo de cientistas que exploram o mundo, entrando no nível de um bilionésimo de centímetro e voltando até 10 bilhões de anos-luz, era a vida mais empolgante que se poderia imaginar. Eu descobri que cientistas eram exploradores, como Cristóvão Colombo ou Vasco da Gama. Em tais épocas, os oceanos e continentes da África e América eram mistérios desconhecidos. Hoje, o desconhecido está em nossos corpos, em nossas mentes, e numa noite de inverno na qual vemos estrelas e galáxias.

Page 4

A seguir são apresentados alguns exemplos de números em notação científica e suas respectivas ordens de grandeza:

• Número em notação científica: 2,5 · 107 .

Sendo e o expoente da base 10 igual a 7, a ordem de grandeza é 107.

O sinal da ordem de grandeza é sempre o mesmo de a.

CAPÍTULO 1 • A CIÊNCIA CHAMADA FÍSICA 19

=PG=20=

• Número em notação científica: 6,5 · 108.

Sendo  e o expoente da base 10 igual a 8, a ordem de grandeza é 109 .

• Número em notação científica: 8,12 · 10–10.

Sendo  e o expoente da base 10 igual a –10, a ordem de grandeza é 10–9.

• Número em notação científica: 2,9 · 10–3.

Sendo e o expoente da base 10 igual a –3, a ordem de grandeza é 10–3.

Outros exemplos:

• carga elétrica elementar: da ordem de 10–19 C;

• ano-luz: da ordem de 1016 m;

• número de Avogadro: da ordem de 1024;

• massa da Terra: da ordem de 1025 kg;

• constante gravitacional universal: da ordem de 10–10 .

Page 5

Trajetória e espaço

Trajetória é o conjunto formado por todas as posições ocupadas por um móvel durante seu movimento, tendo em vista determinado referencial.

Na Cinemática escalar, a grandeza que indica a posição de um móvel em uma trajetória é o espaço.

Espaço (indicado por s) é o valor algébrico da distância medida na trajetória, entre a posição do móvel e a origem (O) dos espaços (o ponto de referência para medições), em determinado instante de tempo (t).

A fumaça lançada no ar pelos aviões forma um rastro que indica sua trajetória.

Thinkstock/Getty Images

A ilustração a seguir mostra as posições, em uma mesma trajetória, dos móveis A, B e C, em dado instante de tempo (t).

Ilustrações: Fernando Monteiro

Observe o seguinte: há dois móveis cujas posições em relação ao ponto de origem O (o referencial escolhido) dos espaços distam 100 m. Então, para não haver confusão, atribuiremos valor positivo para o espaço de um deles e valor negativo para o outro. Por essa convenção, um deles estará na posição +100 m e o outro na −100 m. Essa atribuição foi arbitrária, mas dependeu da adoção de um sentido positivo no trajeto, partindo de O: móveis à direita de O recebem valores positivos de espaço, e móveis à esquerda de O, valores negativos.

CAPÍTULO 2 • MECÂNICA, CONCEITOS BÁSICOS DE CINEMÁTICA E MOVIMENTO UNIFORME 25

Sentido: dado um trajeto e tendo sido adotada nele uma orientação, um móvel pode movimentar-se em dois sentidos, aproximando-se do ponto de origem (O) ou afastando-se dele. origem dos espaços

Os valores dos espaços informados na tabela não indicam, necessariamente, distâncias percorridas. Pense nesta situação: o fato de haver um automóvel estacionado em um restaurante localizado no km 320 de uma rodovia não significa que ele já tenha, efetivamente, andado 320 km. A distância que ele percorreu depende não apenas da posição em que está o veículo, mas também do ponto de onde ele partiu e de como a trajetória foi realizada. Se o automóvel tivesse saído do km 0 (quilômetro zero), andado até o km 160, retornado ao km 0 e, finalmente, ido até o restaurante no km 320, a distância percorrida por ele teria sido de 640 km. Observe abaixo as representações de algumas posições do móvel M.

Ilustrações: Fernando Monteiro

Movimento e repouso

Um objeto estará em movimento ou em repouso dependendo do referencial que tiver sido escolhido. Portanto, pode acontecer de um mesmo móvel estar em repouso em relação a um referencial e em movimento em relação a outro, como veremos a seguir.

Thinkstock/Getty Images

26 UNIDADE 1 • CINEMÁTICA ESCALAR

=PG=27=

Assim, podemos definir movimento e repouso como:

Page 6

=PG=32=

Em teste

FaÇa NO caderNO

NÃO escreva NO livrO

Três meses de teste de um novo radar em Curitiba provaram a tese de que muitos motoristas reduzem a velocidade somente para passar pelo equipamento e depois voltam a acelerar. Um sistema instalado no início de setembro [de 2014] registra a passagem dos veículos em dois pontos e calcula se, ao percorrer o trecho, foi excedido o limite permitido para a via. Para cada motorista flagrado apenas no radar fixo, outros quatro foram flagrados na análise de velocidade média. Foram registrados carros que circularam a mais de 120 quilômetros por hora. [...]

Os equipamentos estão instalados na avenida Fredolin Wolf, na região entre Santa Felicidade e Pilarzinho. No trecho, o veículo passa por dois radares fixos, distantes 950 metros um do outro. Se levar menos do que 57 segundos para percorrer o trecho é porque esteve, em algum momento, acima dos 60 km/h permitidos para a via. [...]

Contudo, alguns motoristas chegaram a passar com o dobro da velocidade permitida. Chama a atenção o caso de um veículo que passou no primeiro ponto fixo a 56 km/h e no segundo a 34 km/h, mas percorreu o trecho com velocidade média de 117 km/h. Sendo assim, ele deve ter passado dos 150 km/h em algum ponto do percurso – velocidade incompatível com uma via urbana.

EM TESTE

Equipamento instalado em Santa Felicidade analisou os carros que passaram por dois pontos fixos e calculou se a velocidade média foi ultrapassada.

AGP

Disponível em: . Acesso em: 8 out. 2015.

Page 7

FAÇA NO CADERNO

NÃO ESCREVA NO LIVRO

EP1. O livro de Física que está à sua frente se encontra em repouso, em relação a você, para que a leitura desta questão possa ser realizada. Mas esse mesmo livro, agora, está em movimento em relação a algum outro referencial. Cite alguns desses referenciais. 

Resposta nas Orientações Didáticas.

EP2. Imagine-se caminhando em uma calçada, de mãos dadas com alguém. Os passos estão sincronizados e vocês avançam no mesmo ritmo. Nessa situação, podemos afirmar que: 

a) tanto você como essa pessoa estão em movimento em relação à rua; 

b) você está em repouso em relação a esse alguém; 

c) a pessoa está em repouso relativamente a você; 

d) um poste de iluminação da rua está em movimento em relação a vocês dois; 

e) todas as afirmativas anteriores estão corretas. X

EP3. Se um móvel A estiver em movimento em relação a um móvel B, que, por sua vez, permanece em repouso em relação a um móvel C, então qual será o estado cinemático (movimento ou repouso) de C relativamente a A?

C estará em movimento em relação a A.

EP4. Qual será o deslocamento total de um automóvel que parte de um hotel, no km 78 de uma rodovia, leva os hóspedes até uma fazenda de gado, no km 127 dela, e depois retorna ao local de saída? Deslocamento total nulo.

EP5. O esquema apresentado a seguir mostra a trajetória de um automóvel de passeio realizada em várias etapas:

• 1ª etapa: do restaurante R até o parque temático P;

• 2ª etapa: de P até o aeroporto A;

• 3ª etapa: de A até o hotel resort H;

• 4ª etapa: de H até o marco zero (km 0).

Fernando Monteiro

–80 A

–40 H

70 P s (km)

De acordo com o exposto, calcule: 

a) o deslocamento total, de R até o marco zero; −30 km 

b) a distância percorrida na soma das 4 etapas. 270 km

EP6. (IFSP-SP) Em um trecho retilíneo de estrada, dois veículos, A e B, mantêm velocidades constantes

vA = 14 m/s e vB = 54 km/h.

Sobre os movimentos desses veículos, pode-se afirmar que 

a) ambos apresentam a mesma velocidade escalar. 

b) mantidas essas velocidades, A não conseguirá ultrapassar B. X 

c) A está mais rápido do que B. 

d) a cada segundo que passa, A fica dois metros mais distante de B. 

e) depois de 40 s, A terá ultrapassado B.

EP7. Converta os valores das seguintes velocidades para m/s: 

a) 360 km/h 100 m/s 

b) 24 cm/s 0,24 m/s

c) 4 500 m/min 75 m/s 

EP8. Em janeiro de 2009, a intensidade inaudita das chuvas provocou vários cataclismos no Sudeste brasileiro. Na rodovia BR 101, uma das quedas de barreira provocou um congestionamento ao longo de um trecho de 4,8 km, fazendo com que os veículos despendessem, em média, 1 h 36 min (ou 1,6 h) para atravessá-lo. Em condições normais, o mesmo trecho teria sido percorrido a uma velocidade média de 60 km/h. 

a) Qual foi a velocidade média, em km/h, desenvolvida pelos veículos durante o congestionamento? 3 km/h 

b) Quanto tempo, em min, seria gasto normalmente para perfazer o trecho? 4,8 min (ou 4 min 48 s)

EP9. Quando o navegador Amyr Klink cruzou o oceano Atlântico em um barco a remo projetado pelo IPT (Instituto de Pesquisas Tecnológicas), no ano de 1984, ele percorreu uma distância de cerca de 7 000 km, em um tempo de aproximadamente 100 dias. Calculando a sua velocidade média em m/s e km/h, temos por volta de: 

a) 0,81 m/s ou 2,92 km/h. X 

b) 4,86 m/s ou 17,50 km/h. 

c) 0,49 m/s ou 1,76 km/h. 

d) 1,62 m/s ou 5,83 km/h. 

e) 0,99 m/s ou 3,56 km/h.

EP10. O esquema a seguir representa a fotografia estroboscópica (uma sobreposição de fotografias de um móvel feitas em intervalos iguais de tempo, utilizando um flash múltiplo) de um móvel tirada em intervalos de tempo de 0,1 s. Determine a velocidade escalar média do móvel, que se desloca para a direita, em m/s e km/h. 30 m/s ou 108 km/h 

Page 8

1. Comparem t1 para os dois objetos e depois comparem t2 para os dois objetos: há diferença?

2. Comparem t1 e t2, para qualquer objeto: o que vocês en contraram?

3. A que conclusão vocês chegaram: as bolas se deslocam sempre em movimento uniforme ou em movimento uniformemente acelerado? Justifiquem. 

4. O que vocês podem dizer sobre a aceleração nos três experimentos? 

5. O que acontece com t1 à medida que a inclinação aumenta? Acontece o mesmo com t2? 

6. Se vocês desejassem saber a relação matemática entre os valores de tempo e as respectivas inclinações, o que deveria ser feito?

7. Os resultados que vocês obtiveram confirmaram suas hipóteses preliminares? Em caso afirmativo, o que vocês acham que deixaram de considerar? 

Ver Orientações Didáticas.

Page 9

Descreva cada uma das situações retratadas pelas funções horárias. Ressalte que essas expressões não informam a posição inicial do móvel na trajetória.

Exercícios resolvidos

ER3. No diagrama 1 mostrado na página 53, qual é a aceleração média no intervalo de tempo considerado?

Resolução:

A aceleração média é dada por:

 ⇒ am = 0,8 m/s2

ER4. Uma partícula eletrizada, deslocando-se em MUV, obedece à função horária v = –6 + 8 · t (SI). Determine: 

a) v0 (velocidade inicial) e a (aceleração escalar); 

b) v (velocidade), quando t = 2 s; 

c) t (instante) em que o movimento muda de sentido.

Page 10

a) Quando t = 0, v0 = –1 m/s. Como há variação da velocidade escalar de ∆v = 1 m/s a cada ∆t = 0,5 s, a aceleração escalar do MUV é:

Desse modo, v(t) = –1 + 2 · t (SI). 

b) Sendo s0 = 3 m e a = 2 m/s2, então:

 s(t) = 3 – t + t² (SI)

ER10. Dois móveis, A e B, encontram-se em uma mesma posição, no instante t = 0. O móvel A mantém uma velocidade escalar constante de 10 m/s. O móvel B parte do repouso em t = 0 e mantém uma aceleração escalar constante de 0,2 m/s2. Sabendo-se que ambos percorrem a mesma trajetória, indo no mesmo sentido, determine:

a) o instante em que B alcança A;

b) a velocidade escalar de B no instante em que estiver ultrapassando A;

c) a velocidade escalar de B em relação a A no item anterior.

Resolução: 

a) No instante inicial t0 = 0:

Ilustrações: Fernando Monteiro 

Pouco depois, A segue à frente de B e vai aumentando a distância relativa até o momento em que B atinge a velocidade de 10 m/s: 

62 UNIDADE 1 • CINEMÁTICA ESCALAR

=PG=63=

s0A = s0B; vA = 10 m/s; v0B = 0

aB = 0,2 m/s2 

Em MU, sA

= s0A + v · t.

sA = s0A + 10 · t

Em MUV, sB = s0B + v0 · t + .

sB = s0B + 0,1 · t2 (SI)

Quando B alcança A, sA = sB:

s0A + 10 · t = s0B + 0,1 · t2 , e, como s0A = s0B, então 10 · t = 0,1 · t2 ⇒ 0,1 · t2 – 10 · t = 0, portanto t = 0 ou t = 100 s.

Como t = 0 é o instante da partida, conclui-se que B alcança A quando t = 100 s.

Observe que, nesse caso, desconsiderou-se t = 0 porque nesse instante os dois móveis já estavam juntos, enquanto, em t = 100 s, B alcança A.

b) vB = v0B + aB · t = 0,2 · t (SI)

Quando t = 100 s:

vB = 0,2 · 100 = 20 ⇒ vB = 20 m/s

c) Velocidade escalar relativa de B em relação a A:

vBA = vB – vA = 20 – 10 = 10 ⇒ vBA = 10 m/s

ER11. Uma partícula parte C do ponto A e atinge o ponto B, em MU, com velocidade de 10 m/s, em A 0,3 s. A partir do ponto B, ela é retardada de maneira uniforme a 20 m/s2, em valor absoluto, até parar no ponto C. Calcule o espaço de A a C.

Page 11

EP16. No diagrama, mostram-se as posições de dois móveis (M e T) transitando sobre a mesma trajetória.

=PG=67=

a) Ambos os móveis partem do mesmo local. 

b) O móvel T acaba ultrapassando o móvel M. 

c) No início, M estava mais rápido que T. 

d) A ultrapassagem acontece pouco antes do instante 20 s. 

e) Os móveis se encontram na posição 80 m. 

f) No instante 10 s, o móvel M estava à frente de T e a distância entre eles era menor que 40 m.

EP17. Um veículo está a 45 m de um semáforo quando este muda para amarelo. Se o motorista conseguir acionar o freio imediatamente, aplicando uma desaceleração constante de 10 m/s2, calcule com que velocidade máxima o veículo deverá estar andando, a fim de que ele pare no semáforo. Dê a resposta em m/s e em km/h. 30 m/s ou 108 km/h

EP18. Em uma corrida de automóveis, um competidor se aproxima de uma curva a 180 km/h. Acionando o freio com um retardamento constante, ele consegue reduzir a velocidade do veículo para 108 km/h, tendo andado com isso uma distância de 160 m. Calcule a intensidade da aceleração aplicada. −5 m/s2

EP19. No diagrama v × t abaixo, a área colorida tem um valor numericamente igual ao deslocamento efetuado pelo móvel. Então, se a aceleração for igual a 5 m/s², determine: 

a) o deslocamento; 160 m 

b) o valor de x. 8 s

Page 12

=PG=73=

a) Até que instante, contado a partir do abandono, a pedra continua subindo? 

b) Qual é a altura máxima atingida pela pedra em relação ao solo? 

c) Em que instante, contado a partir do abandono, ela chega ao solo?

Resolução: 

1. 
   No instante em que é largada (t = 0), a pedra tem a mesma velocidade do balão, movendo-se para cima. Vale tomar bastante cuidado na identificação da velocidade inicial do móvel, pois, mesmo havendo uma queda livre durante o trajeto, isso não garante que ele parta sempre do repouso. Então, mesmo que se diga que “a pedra é abandonada”, a sua velocidade inicial dependerá da velocidade do “veículo” de onde é solta (no nosso caso, o balão). Convencionando o sentido da trajetória como positivo para cima:
   

1. Na altura máxima, t = 2 s:

hmáx = 80 + 20 · 2 – 5 · 22 ⇒ hmáx = 100 m

c) No solo, h = 0:

h = h0 + v0 · t –

0 = 80 + 20 · t – 5 · t2 ⇒ t2 – 4 · t – 16 = 0

t – 2,5 s (não é possível) ou t 6,5 s

ER4. Um indivíduo abandona uma pedra na boca de um poço sem água. Sabendo que ela gasta 6,0 s até alcançar o fundo do poço e que a velocidade do som no ar é de 340 m/s, calcule, desprezando os efeitos do ar e com g = 10 m/s2:

a) a profundidade do poço;

b) o intervalo de tempo desde o abandono da pedra até a chegada do som (do impacto no fundo) ao ouvido do indivíduo (na boca do poço).

Resolução: 

a) A pedra cai no poço em movimento acelerado; vamos atribuir o sentido da trajetória como positiva para cima; assim:

h0 = 0

v0 = 0

a = –g

No fundo do poço, t = 6,0 s:

h = h0 + v0 · t – 

h = 0 + 0 · 6,0 –

A profundidade do poço é de 180 m .

b) O som é uma onda que se propaga em meios materiais, como no ar, por exemplo. Essa propagação se faz em todas as direções, em movimento uniforme, com uma velocidade que depende do meio material; no ar, ela é de 340 m/s. Assim, a onda sonora tem que vencer os 180 m de profundidade do poço:

Portanto, o tempo total é:

∆ttot = ∆tdesc (pedra) + ∆tsub (som)  6,00 + 0,53  ∆ttot  6,53 s

CAPÍTULO 4 • LANÇAMENTO VERTICAL 73

=PG=74=

Page 13

A força que a vara aplica no atleta o impulsiona na vertical e para cima.

=PG=79=

Capítulo 5 Vetores 

Capítulo 6 Grandezas vetoriais 

Capítulo 7 Movimento circular 

Capítulo 8 Composição de movimentos 

Capítulo 9 Lançamentos oblíquo e horizontal

Sinto muito, João, mas identificamos em você uma influência negativa.

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Mark/Cartoonstock

Sinto muito, João, mas identificamos em você uma influência negativa.

A melhor representação da grandeza vetorial é a flecha. Ela indica informações sobre a intensidade do esforço no arco, direção e sentido do movimento.

Page 14

Livro

Enciclopédia do Estudante – Física pura e aplicada: dos modelos clássicos aos quanta

Alvaro Csapo Tavalera et al. Moderna.

Enciclopédias são obras de referência, assim como os dicionários. Você deve recorrer a elas sempre que necessitar de informações objetivas em uma primeira aproximação sobre determinado assunto. As obras de referência são, em essência, diferentes dos livros-texto que você usa na escola, porque elas não têm a preocupação de desenvolver conceitos. Por esse motivo, em geral, não estudamos pelas enciclopédias, mas as consultamos.

Hoje há enciclopédias ricamente ilustradas, organizadas por temas ou por ordem alfabética, atualizadas constantemente, nacionais ou traduzidas, e dirigidas a públicos-alvo específicos. Se você precisa de respostas rápidas para suas dúvidas (por exemplo, como são os gráficos dos movimentos variados), pode procurar uma obra de referência em ciências exatas para o Ensino Médio. A biblioteca da escola em que você estuda deve ter enciclopédias com esse fim. A Enciclopédia do Estudante é composta de vinte volumes, divididos por assunto. O volume 10 trata de Física pura e aplicada.

Verifique as partes que compõem o volume e o glossário. As cores das páginas ajudam a encontrar as diversas partes. Procure no sumário: onde estão as informações de como são os gráficos dos movimentos variados?

CAPÍTULO 4 • LANÇAMENTO VERTICAL 75

=PG=76=

Page 15

1. E então, você descobriu por que motivo uma mesma palavra é usada em contextos tão distintos? Compare esses significados: o que eles apresentam em comum?

2. Procure descobrir se o termo vetor é usado em outros contextos: você verá que ele também é utilizado no campo da Informática. 

Professor, veja Orientações Didáticas.

82 UNIDADE 2 • CINEMÁTICA VETORIAL

=PG=83=

Imagine uma situação em que nos deslocamos de um ponto A para B e em seguida de B para C, conforme o esquema:

A soma dos dois deslocamentos parciais configura aquilo que chamamos de deslocamento resultante, que é equivalente ao deslocamento realizado diretamente de A para C:

Quando duas pessoas empurram um objeto fazendo esforços com direções e intensidades distintas, a força resultante faz com que ele se movimente na direção apontada pelo vetor verde:

O vetor verde representa o esforço que substituiria os dois esforços parciais produzindo o mesmo efeito que eles.

Pensemos, agora, em termos de deslocamentos parciais. Pode-se deslocar o objeto em uma direção (na do “esforço maior”) e, depois, em outra (na do “esforço menor”), chegando a uma posição final.

Observe que, se a ordem dos deslocamentos parciais sofresse uma inversão, o efeito seria o mesmo, isto é, o objeto chegaria à mesma posição final:

Somando esforços de intensidades e direções diferentes, é possível levar uma estante a qualquer ponto de uma sala. 

O que estamos fazendo aqui é combinar grandezas de um mesmo tipo, buscando com isso obter um resultado final. Talvez essa articulação possa ser uma soma. Observe que, assim como a adição de números reais, trata-se de uma operação comutativa: trocamos a ordem da aplicação dos esforços e o resultado se mantém o mesmo.

Mas, sendo os vetores objetos matemáticos de natureza distinta dos números, eles poderiam ser operados do mesmo modo?

CAPÍTULO 5 • VETORES 83

=PG=84=

Observe o triângulo na figura 1, ao lado.

Pela lei dos cossenos, podemos escrever que a medida do lado r em função de a, b e α é:

r2 = a2 + b2 – 2 · a · b · cos 

Page 16

=PG=80=

5 Vetores

Uma das cidades históricas mais conhecidas do país é Ouro Preto, MG. Essa cidade de casarões e igrejas barrocas é, por determinação do comitê mundial da Unesco, um Patrimônio Cultural da Humanidade.

No mapa, são mostradas rotas aéreas, demarcadas a partir do Aeroporto Internacional Tancredo Neves, em Confins, nas proximidades de Belo Horizonte, tendo como destino algumas cidades brasileiras, inclusive a própria Ouro Preto.

No roteiro turístico, estão indicadas as seguintes distâncias:

• Belo Horizonte-Ouro Preto: 100 km

• Brasília-Ouro Preto: 840 km

• São Paulo-Ouro Preto: 686 km Note que as setas traçadas no mapa indicam:

• a direção da trajetória aérea tendo como referências os pontos cardeais: N, S, L e O;

• o sentido com que as aeronaves trafegam pelos ares: de Belo Horizonte a Manaus, Belém, Porto Alegre etc.;

• a distância entre os aeroportos: medindo o comprimento da seta e utilizando a escala apresentada no mapa, podemos calcular grosso modo a distância entre eles.

Page 17

NÃO escreva no livro

Exercícios propostos 

EP1. Por que a queda livre é considerada um movimento retilíneo uniformemente variado?

Porque sua trajetória é vertical (portanto, retilínea) e a aceleração (gravitacional) é constante.

EP2. No ponto mais alto de uma trajetória vertical percorrida por uma bola de vôlei, a aceleração imposta a ela vale:

a) zero. 

b) o mesmo valor da aceleração gravitacional local. X 

c) zero, mas no instante seguinte muda para –10 m/s2. 

d) uma intensidade indefinida.

e) uma medida em módulo que depende da velocidade inicial da bola.

EP3. Uma garota deve ser lançada para cima utilizando uma cama elástica para atingir determinada altura, num local onde a intensidade de aceleração gravitacional é igual a 10 m/s2. Responda:

a) Como a garota deve iniciar o movimento de subida para que possa retornar à cama na descida?

Deve iniciar o movimento com certa velocidade de subida na direção vertical, para que possa descer também na vertical. A velocidade inicial depende de o quanto a cama esteja esticada no instante da impulsão.

b) Para chegar à altura de 7,2 m em relação à cama, com que velocidade ela deve começar? 12 m/s

c) No item anterior, depois de quanto tempo, a partir do início da subida, a garota volta à cama? 2,4 s

EP4. Um vulcão pode chegar a projetar lavas quentes até uma altura superior a 1 km. Nesse caso, qual deve ser a velocidade vertical das lavas? (Dado: g = 10 m/s².) Deve ser maior que 142 m/s.

EP5. Do alto de uma ponte, a 20 m do nível da água, é solta uma lata de refrigerante em situação de repouso. Ela cai sobre um barquinho que vai rio abaixo com velocidade de 0,8 m/s. No momento em que a lata inicia sua queda livre, o barquinho deve estar localizado a que distância do ponto de impacto? Considere o barco um ponto material e suponha que ele navegue em linha reta. Dado: g = 10 m/s2. A 1,6 m do ponto de impacto.

EP6. Uma carteira com documentos e dinheiro é solta da sacada do 10º andar de um prédio comercial e cai em queda livre. Depois de 1 s de queda, ela passa pelo alpendre do andar imediatamente abaixo. Então, após quanto tempo a carteira estará passando em frente à sacada do 6º andar? Dado: g = 10 m/s2. 

EP7. Quando dizemos que um objeto é solto a determinada altura, geralmente entendemos que ele parte do repouso. Mas, como todo movimento depende de um ponto de referência, devemos atentar para isso, por exemplo, quando um objeto for abandonado de um móvel que esteja em locomoção, pois a velocidade inicial do objeto será igual à do deslocamento do móvel, no instante em que ele for solto. Ou seja, a velocidade de um móvel dependerá sempre do referencial considerado.

Então, com base nessa informação conceitual, resolva a seguinte situação-problema: a uma altura de 40 metros do solo, um telefone celular escapa da mão de uma pessoa que estava tirando fotografias digitais da paisagem, de um balão que subia na vertical, a 10 m/s. A pessoa vê o seu aparelho cair em relação a ela, e instantes depois observa o choque do celular com o chão. 

Considerando g = 10 m/s2:

a) Qual é a altura máxima atingida pelo aparelho em relação ao chão, antes de começar a precipitar-se? 45 m 

b) Quanto tempo depois de escapulir da mão da pessoa o aparelho foi de encontro ao chão? 4 s

EP8. Um balão desce verticalmente, em MU, a 18 km/h. Quando ele está a 100 m do solo, o piloto larga um saco de areia que tomba com uma resistência do ar desprezível. Considerando g = 10 m/s2, determine, em relação ao saco de areia:

a) o tempo despendido para atingir o solo, após o abandono; 4 s

b) a velocidade com que ele atinge o solo. 45 m/s

Page 18

Figura 2:  é o ângulo compreendido entre as direções dos vetores  e .

Assim, define-secomo vetor resultante ou vetor-soma de  e .

Notação: = +

Por extensão, a notação para a soma de vetores , ...   é 

Veja que não é equivalente a r = a + b; isto é, não se somam vetores do mesmo modo como se adicionam números reais. Então como poderíamos obter o módulo do vetor resultante? Basta seguir o raciocínio efetua do anteriormente e aplicar a lei dos cossenos: 

Como  = b, fazendo as substituições temos:

r² = a² + b² – 2 · a · b · cos 

Vejamos agora como adequar essa expressão à situação em que os três vetores têm a mesma origem.  

Nesta figura,  é o ângulo entre os vetores  e , na origem; 0 ≤  ≤ 180º. 

Na construção, traçamos segmentos de retas paralelas aos vetores  e . Assim, o vetor resultante é representado pela diagonal do paralelogramo cuja origem é a mesma dos vetores-parcela. Essa é a regra do paralelogramo, com a qual se efetua a soma “gráfica” de dois vetores.

O paralelogramo é um quadrilátero de lados opostos paralelos.

Operando com mais de dois vetores

A lei dos cossenos e a regra do paralelogramo facilitam a obtenção do vetor resultante na adição de dois vetores-parcela. Veja a seguir como efetuar a soma de mais de dois vetores.

Vamos considerar dois casos: quando todos os valores apresentam a mesma direção e quando ao menos um deles apresenta direção distinta. Qualquer que seja a situação, a notação vetorial é a mesma:

84 UNIDADE 2 • CINEMÁTICA VETORIAL

=PG=85=

Suponhamos que  meça 2 unidades, meça 3 unidades e , 1,5 unidade. Adotando-se o sentido positivo para a direita, os valores algébricos para esses vetores serão . O valor algébrico do vetor-soma será:

r = a + b – c = 2 + 3 – 1,5 = +3,5

Como o resultado é positivo, concluímos que o vetor-soma aponta para a direita. Você pode confirmar esse fato somando os vetores dois a dois:

O vetor resultante da adição de dois vetores de direção e sentido iguais é um segmento orientado cuja origem coincide com a origem do primeiro vetor e sua extremidade final é a mesma do segundo.

O vetor resultante da soma de dois vetores de mesma direção e sentidos opostos é um vetor cuja origem é a mesma do primeiro vetor e sua extremidade coincide com a do segundo.

b) Quando a direção dos vetores-parcela não é a mesma, pode-se obter o vetor resultante construindo um polígono fechado, ligando os vetores consecutivamente; o vetor resultante é tal que sua origem coincide com a do primeiro vetor-parcela e sua extremidade final é a mesma do último vetor-parcela, “fechando-se” assim o polígono. Observe o exemplo no quadro reticulado:

Page 19

Fonte: IBGE. Atlas Geográfico e Escolar. Rio de Janeiro: IBGE, 2002.

No capítulo 3, fizemos uso de setas para representar deslocamentos, velocidades e acelerações. Veja novamente:

Esses três objetos deslocam-se com a mesma intensidade de velocidade, mas cada um segue uma direção distinta.

Das antigas rosas dos ventos que ilustravam as cartas de navegação portuguesas (à esquerda) às modernas representações da direção norte (acima), todos os mapas devem ter a indicação das direções dos pontos cardeais.

The Bridgeman Library/ GrupoKeystone/Royal Geographical Society,

80 UNIDADE 2 • CINEMÁTICA VETORIAL

=PG=81=

Siga em frente

Observe a ilustração a seguir. Os automóveis A e B deslocam-se na mesma direção, horizontal, e com o sentido orientado da esquerda para a direita. Pelo tamanho da seta que representa a velocidade de A, somos informados de que sua velocidade é maior que a de B.

O veículo A alcança o B?

Fazendo uso desses recursos, algumas placas de regulamentação e sinalização de trânsito indicam por onde os veículos deverão trafegar. Observando esses sinais, compreendemos em que direção e sentido os veículos deverão se locomover.

Vetor

Segmento orientado: direção, sentido e módulo

Segmento orientado é um segmento de reta com o sentido de orientação especificado. Dados os dois extremos de um segmento orientado, há duas possibilidades de determinação: 

Observe a notação: denota um segmento orientado com origem em A e extremidade final em B; BA denota um segmento orientado com origem em B e extremidade final em A.

1

Percorrer a partir de A ou de B implica escolher ou , ou seja, implica escolher um sentido. Assim, como já vimos anteriormente, o sentido é uma das maneiras de percorrer um segmento qualquer.

A direção é o atributo definido pela reta-suporte do segmento orientado. Retas e segmentos paralelos possuem a mesma direção. As retas r, s e t, na ilustração ao lado, e os vários segmentos orientados contidos nessas retas têm todos a mesma r direção.

Segmentos orientados cujas retas-suporte são paralelas apresentam a mesma direção. 

Observe que os segmentos orientados 1 e 3 têm o mesmo sentido, contrário ao dos segmentos 2 e 4. Os demais pares que possuem orientações opostas são: 1 e 2, 1 e 4, 2 e 3, 3 e 4. Nessa perspectiva, podemos entender sentido como a orientação adotada em certa direção.

CAPÍTULO 5 • VETORES 81

=PG=82=

O módulo é o comprimento do segmento orientado (observe ao lado).

Quando a origem e a extremidade de um segmento orientado coincidem, temos um segmento nulo, cujo módulo é zero; para segmentos nulos não se definem sentido nem direção.

Com as noções geométricas apresentadas, é possível entender o que é um vetor.

Vetor é um ente matemático representado por um segmento de reta com direção, sentido e módulo. Ele é utilizado na Física para representar as grandezas vetoriais. 

Segmentos orientados de direção e módulo iguais e sentidos opostos. Observe a notação: o módulo do vetor  é .

Uma observação: as grandezas escalares, diferentemente das vetoriais, são grandezas que não são associadas às noções de direção e de sentido. Bastam somente o módulo e a unidade de medida.

O vetor geralmente é nomeado por uma letra que simboliza a grandeza representada por ela.

Também é comum denotarmos o módulo de um vetor a como a; assim,  = a.

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=PG=77=

Professor, o importante é que os estudantes se conscientizem da necessidade da economia de água em qualquer situação ou local.

a) Qual é a razão entre as distâncias y e x? 3, pois x + y = 4x

b) Em um dia de gotejamento, qual é a ordem de grandeza do volume, em litros, de água desperdiçada? 101 L, pois 144 000 · 50 · 10−6 L = 7,2 L então, a ordem de grandeza é de 101 L. 

c) O índice de Desenvolvimento Humano (IDH) foi criado pelo Programa das Nações Unidas para o Desenvolvimento (PNUD) em 1990. É uma medida das condições básicas de vida de uma sociedade, com ênfase em quesitos que podem ser amplamente comparados para a maior parte dos países do mundo quanto maior o IDH, melhores as condições de vida. Em 2011, o Brasil conseguiu o 84º lugar. Aqui, a média de consumo de água é de 148,5 litros por dia, por habitante, segundo o Sistema Nacional de Informações sobre Saneamento, do Ministério das Cidades (SNIS: www.pnud.org. br). Faça uma estimativa do consumo de água em sua casa, por dia — não se esqueça da água gasta com a alimentação e limpeza em geral. A partir desse valor, compare o gasto individual de água na sua casa com o consumo médio nacional.

Resposta pessoal.

EP10. (ITA-SP) Uma bola é lançada horizontalmente do alto de um edifício, tocando o solo decorridos aproximadamente 2 s. Sendo de 2,5 m a altura de cada andar, o número de andares do edifício é:

Dado: g = 10 m/s2. 

a) 5 

b) 6 

d) 9 

EP11. (UFSM-RS) A castanha-do-pará (Bertholletia excelsa) é fonte de alimentação e renda das populações tradicionais da Amazônia. Sua coleta é realizada por extrativistas que percorrem quilômetros de trilhas nas matas, durante o período das chuvas amazônicas. A castanheira é uma das maiores árvores da floresta, atingindo facilmente a altura de 50 m. O fruto da castanheira, um ouriço, tem cerca de 1 kg e contém, em média, 16 sementes. Baseando-se nesses dados e considerando o valor padrão da aceleração da gravidade 9,81 m/s², pode-se estimar que a velocidade com que o ouriço atinge o solo, ao cair do alto de uma castanheira, é de, em m/s, aproximadamente,

a) 5,2  

c) 20,4

e) 98,1 

A seta indica o sentido da velocidade e o da aceleração dessa caminhonete. Ao passar pelo ponto P, indicado na figura, um passageiro, na carroceria do veículo, lança uma bola para cima, verticalmente em relação a ele.

Despreze a resistência do ar. Considere que, nas alternativas abaixo, a caminhonete está representada em dois instantes consecutivos. Indique a alternativa em que está mais bem representada a trajetória da bola vista por uma pessoa, parada, no acostamento da estrada. b

a)

c)

d)

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FaÇa NO caderNO

NÃO escreva NO livrO

Examinando a queda livre e o reflexo motor

Reflexo motor é a reação do nosso corpo a algum estímulo visual, auditivo ou sensorial recebido. O tempo de reação a esses estímulos é importantíssimo em atividades que exigem atenção e envolvem risco, como quando lidamos com objetos cortantes, quentes, ou ainda quando estamos dirigindo. Por isso não podemos praticar qualquer atividade que exija atenção depois de beber ou mesmo após ingerir algum medicamento. E, então, como está o seu tempo de reação?

Material

• uma régua

Procedimento

Peça a um colega que segure uma régua verticalmente. A extremidade da régua que marca o início das medidas de comprimento deve estar entre seus dedos polegar e indicador, mas você não pode tocá-la. Sem avisá-lo, o colega deverá soltar a régua e você terá que segurá-la com a mão cujos dedos estavam próximos à extremidade superior da régua, como na figura.

Veja quantos centímetros a régua se deslocou para baixo até que você conseguisse pegá-la entre os dedos. Essa distância vai informar, indiretamente, qual foi o seu tempo de reação. Veja como: devemos considerar a caída da régua como uma queda livre, em que a marca “zero centímetro” se afasta de seus dedos obedecendo à lei horária

h = h0 + v0 · t + , a trajetória está orientada para baixo, v0 = 0 e h0 = 0. 

Troque de posição com o colega e calcule o tempo de reação dele.

Discussão

De acordo com as premissas acima, responda: 

1. Qual foi o estímulo externo e como se deu a sua reação? 

2. Qual foi a distância h, isto é, o deslocamento efetuado pela régua até você segurá-la? 

3. Qual foi o tempo decorrido até você conseguir segurar a régua?

Faça a mesma experiência várias vezes e obtenha um valor médio de seu tempo de reação. Compare o seu tempo de reação com o dos seus colegas.

Ver Orientações Didáticas. 

O esquema mostra dois momentos de um experimento de reflexo motor. Se a régua tem 30 cm, qual foi a distância h, aproximadamente?

Sérgio Dotta Jr.

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Vetor

FaÇa NO caderNO

NÃO escreva NO livrO

O termo vetor aparece em muitos contextos. Vamos ver o significado que ele tem para a Biologia, a Bioquímica e para a indústria bélica.

Etimologia: lat. vector, óris, ‘o que arrasta ou leva’.

Todo ser vivo é capaz de transmitir de forma ativa (estando ele mesmo infectado) ou passiva um agente infeccioso (parasita, bactéria ou vírus).

Diz-se de ou molécula de ADN circular, à qual um gene pode ser adicionado, de tal forma que a célula passa a apresentar as características contidas no gene adicionado e a transmiti-las para as gerações subsequentes.

Aeronave ou míssil que porta um artefato nuclear.

Houaiss, Antonio. Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa. Rio de Janeiro: Objetiva, 2009 (adaptado).

Page 23

=PG=78=

2

Cinemática vetorial

Vimos, nos capítulos anteriores, a descrição das grandezas cinemáticas e a dependência entre essas grandezas em um objeto em movimento. Essa descrição se deu com algumas ferramentas matemáticas bem conhecidas, como a resolução de equações e a análise de gráficos.

Nesta unidade vamos ampliar significativamente esses recursos lançando mão de uma nova ferramenta, pois as que conhecemos até o momento não dão conta de descrever situações como a seguinte: “um objeto lançado de 1 m de altura com velocidade de 1 m/s alcançará o solo em qualquer instante entre 0,73 s e 2,73 s — você pode comprovar esses valores assumindo que o objeto é lançado para baixo e para cima, respectivamente; mas será possível que ele chegue, por exemplo, em 2,0 s exatos?”. Se assumirmos que o objeto foi lançado em uma direção que não é horizontal nem vertical, é razoável pensar que essa velocidade o leva a se mover em outras direções além da vertical. Tal suposição amplia consideravelmente nossas possibilidades porque agora precisamos de mais de um eixo para representar possíveis deslocamentos desse objeto. E é dessa necessidade que nasce a nossa ferramenta, o vetor.

A ideia não é nova: na virada do século XVII, Galileu Galilei já havia mostrado ser possível analisar um movimento observando apenas uma parte ou direção. No século XVIII, Gauss e Euler esbarraram nos vetores ao descrever uma nova classe de objetos matemáticos, os números complexos; contudo, a maneira correta de representar e operar números que carregam mais informação além de sua intensidade é devida a William Hamilton e Hermann Grassmann, no século XIX, ao criarem o cálculo vetorial.

Apesar de os vetores terem sido elaborados com uma motivação puramente matemática, tal criação serviu admiravelmente para a manipulação de grandezas físicas. Com esse recurso, vamos estudar as grandezas cinemáticas que podem ser representadas por vetores (você saberia adiantar quais são?) e como elas se relacionam em movimentos circulares e lançamentos oblíquos, como o lançamento de uma bala de canhão.

A força que a vara aplica no atleta o impulsiona na vertical e para cima.

Thinkstock/Getty Images

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• se n = 0, o vetor-produto será um vetor nulo ();

• || = |n| · ||.

Veja alguns exemplos de vetores-produto, dado  tal que || = 20. 

Se = 3 · v, então || = 3 · || = 60.

Se = –0,5 · , então || = |–0,5| · || = 10.

86 UNIDADE 2 • CINEMÁTICA VETORIAL

=PG=87=

Vimos que, apesar de a soma de vetores ser efetuada de um modo distinto da adição de números reais, ambas as operações apresentam o mesmo “mecanismo” de cálculo.

Vamos usar outra característica comum aos dois objetos matemáticos para realizar a subtração de vetores.

Para números reais, subtrair dois deles é o mesmo que somar um ao oposto do outro:

m – n = m + (–n)

O mesmo ocorre com a soma de dois vetores. Para quaisquer vetores  e ,

em que – é o vetor oposto de .

Assim, estabelecemos a subtração entre vetores “transformando-a” em uma adição. Para isso, o vetor que é subtraído tem seu sentido invertido, antes de ser somado ao outro. O vetor resultante, nesses casos, é nomeado como vetor-diferença.

Obtenção do vetor-diferença e seu módulo

Considerando que – = + (–), basta inverter o sentido do vetor  e somá-los normalmente:

• Pela regra do paralelogramo:

• Pela regra do polígono fechado:

Módulo do vetor-diferença:

Sendo = – = + (–), então

|r|2 = ||2 + ||2 + 2 · || · |–| · cos  ⇒ r2 = a2 + b2 + 2 · a · b · cos  

Se || = a = 2, |–|= b = 4 e  = 120°, então r2 = 22 + 42 + 2 · 2 · 4 · cos 120° ⇒ 

⇒r2 = 4 + 16 + 14 · (–0,5) = 12 ⇒ r = 

Observe que a subtração não é uma operação comutativa: em geral, – ≠  – .

Vejamos um exemplo:

1 e 2 são vetores de mesma direção, mas de sentidos opostos.

Decomposição de um vetor

Um vetor pode ser decomposto, quando necessário, em dois vetores componentes, 1 e 2, perpendiculares entre si, de modo que se tenha:

(representação da soma vetorial) e

v 2 = v21 + v22 (módulo)

Podemos adotar um sistema de coordenadas cartesianas em que os vetores componentes sejam projeções do vetor  nos eixos x e y.

CAPÍTULO 5 • VETORES 87

=PG=88=

Observe: 

Na Física, a decomposição de vetores é particularmente importante quando desejamos estudar algum aspecto específico de uma grandeza vetorial, como nos deslocamentos.

Page 25

ER1. Vamos ver como a direção e o sentido dos vetores-parcela somados determinam o vetor resultante. Para isso, vamos somar dois vetores,  e , de módulos  = b = 3, em quatro situações.

Resolução:

1ª)  e  têm mesma direção e mesmo sentido. Neste caso,  = 0º e cos  = 1.

r² = 4² + 3² + 2 · 4 · 3 · 1 = 49 ⇒ r = 7

Esse é o único caso em que o módulo do vetor resultante é a soma dos módulos dos vetores-parcela, cuja direção e cujo sentido são os mesmos dos vetores-parcela.

2ª)  e  têm a mesma direção e sentidos opostos.

Aqui,  = 180º e cos  = –1.

Usando novamente a lei dos cossenos para calcular o módulo do vetor resultante:

|r|2 = |a|2 + |b|2 + 2 · |a| · |b| · cos  

r² = 4² + 3² + 2 · 4 · 3 · (–1) = 1 ⇒ r = 1

Nesse caso, o módulo do vetor resultante é a diferença entre os módulos dos vetores-parcela; a direção é a mesma dos vetores-parcela e o sentido coincide com o do vetor de maior módulo.

CAPÍTULO 5 • VETORES 85

=PG=86=

3ª)  e  são perpendiculares:  = 90º e cos  = 0

Como podemos observar, a construção obedece à regra do paralelogramo (o retângulo é um paralelogramo).

Lei dos cossenos: 

r² = 4² + 3² + 2 · 4 · 3 · 0 = 25 ⇒ r = 5

Observe que, nesse caso, a lei dos cossenos reduz-se ao teorema de Pitágoras:

r² = a² + b²

4ª)  e  formam um ângulo de 60º:

Do que vimos até aqui, podemos afirmar que o módulo da soma de dois vetores quaisquer  e , com a > b, estará sempre entre |a| – |b| (θ = 180º) e |a| + |b| (θ = 0º).

ER2. Dois vetores,  e , de módulos iguais a 8 e 5, respectivamente, formam entre si um ângulo de 120º.

a) Represente graficamente o vetor resultante desses vetores, usando as regras do paralelogramo e do polígono fechado. 

b) Calcule o módulo do vetor resultante.

Resolução: || = 8; || = 5;  = 120º

a) Soma pela regra do paralelogramo:

Soma pela regra do polígono fechado: 

b) Módulo da resultante:

||² = r² = a² + b² + 2 · a · b · cos  

r² = 8² + 5² + 2 · 8 · 5 · cos 120º

r² = 64 + 25 + 2 · 8 · 5 · = 49 ⇒ r = 7

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ER4. Observe o vetor  no quadro reticulado. Represente o vetor – e encontre  tal que 

Resolução: 

– = –1 ·   =  ⇒ – tem o mesmo módulo de .

– = –1 ·  ⇒ – tem sentido oposto ao de .

O vetor – é o vetor oposto de .

Observe que a origem de  e a extremidade final de – coincidem, logo,  é um vetor nulo.

ER5. Dados os vetores  e  da figura, obtenha o vetor-diferença de 3 ·  – 2 ·  e calcule o seu módulo.