A divisão é uma das quatro operações básicas da Matemática, estando presente não só na vida estudantil, mas também no cotidiano de todos nós. Assim como a adição possui sua operação inversa, que é a subtração, a multiplicação também possui a sua operação inversa: a divisão. Show Leia também: Decomposição em fatores primos por divisões sucessivas Partes ou elementos da divisãoUm dos métodos que facilitam a compreensão do algoritmo da divisão é o chamado método da chave. Vamos primeiro entender as nomenclaturas desse método. Para isso, suponha que dividiremos um número N por um número d: N → Dividendo d → Divisor q → Quociente r → Resto Exemplo: Na divisão de 30 por 4, utilizando o método da chave, temos: 30 → Dividendo 4 → Divisor 7 → Quociente 2 → Resto O método da chave nos diz que, ao dividirmos o número 30 pelo número 4, não encontramos uma divisão exata (veja o resto 2), ou seja, ao dividirmos 30 por 4, temos 7 partes inteiras e mais 2 de resto. Dizemos que uma divisão é exata quando o resto é igual a 0. Acesse também: Divisão por divisores maiores que 10 Divisão passo a passoPara realizar uma divisão de um número N por um número d, basta aplicar o algoritmo da divisão. Inicialmente temos que imaginar um número que vezes d resulta em N ou chegue o mais próximo possível de N. Caso encontre um número que o resultado seja igual a N, a divisão pode ser realizada. Caso o número encontrado não seja igual a N, temos que subtrair N desse resultado. Veja os exemplos a seguir. Exemplo 1 - Vamos dividir o número 60 por 5. Passo 1 – Vamos primeiramente “armar” a divisão utilizando o método da chave. Passo 2 – Agora temos que descobrir um número que, multiplicado por 5, seja igual ou chegue mais o próximo de 60. Dos critérios de divisibilidade, sabemos que números terminados em 0 são divisíveis por 5. Assim, Chegamos à conclusão de que o resto da divisão é o número zero, ou seja, a divisão foi finalizada e é exata. Exemplo 2 – Vamos dividir o número 35 por 2. Passo 1 – Vamos novamente “armar” a divisão utilizando o método da chave. Passo 2 – Precisamos agora imaginar um número que, multiplicado por 2, seja igual a 35 ou chegue o mais próximo possível. Note que o resto deu um número diferente de zero, então devemos continuar a divisão. Passo 3 – Agora devemos dividir o resto da divisão pelo divisor, ou seja, dividir o número 1 por 2. Mas como o número 1 não é divisível por 2, devemos acrescentar uma vírgula no quociente e acrescentar um zero no resto. Passo 4 – Agora continuamos a divisão normalmente. Temos que imaginar um número que, multiplicado por 2, seja igual a 10, logo: Como chegamos a zero como resto do cálculo, finalizamos a divisão. Exemplo 3 – Vamos dividir o número 1440 por 3.Passo 1 – “Armar” a divisão utilizando o método da chave. Passo 2 – Precisamos agora imaginar um número que, multiplicado por 3, seja igual a 1440 ou chegue o mais próximo possível. Mas perceba que não é fácil encontrar um número que satisfaça a condição, então vamos contar da esquerda para direita, algarismo por algarismo do dividendo, até que seja possível dividir por 3. Como o número 1 não é divisível por 3, vamos pegar mais um número, assim: Passo 3 – Agora devemos “descer” o próximo número, que está na casa das dezenas, ou seja, o número 4, visto que não é possível dividir o número 2 por 3, e realizar a divisão do número 24 por 3. Passo 4 - O último passo consiste em “descer ” o último número (no caso, é o zero) e realizar a divisão. Assim, podemos concluir que o resultado da divisão de 1440 por 3 é 480. Veja também: Como encontrar o MDC por divisões sucessivas Divisão com vírgulaPara dividir dois números com vírgula, basta multiplicar o dividendo e o divisor por potências de base 10 até que a vírgula “desapareça ”da divisão. Veja o exemplo a seguir. Exemplo - Dividir 0,0006 por 0,05. Vamos primeiramente multiplicar o dividendo e o divisor por 10000. A quantidade de casas decimais que “andamos” é a quantidade de zeros que devemos colocar no número que vamos multiplicar. 0,0006 · 10000 = 6 0,05 · 10000 = 500 Assim,
Quando estudamos a divisão, vimos que grande parte das vezes essa operação não é exata, sobrando ao final do processo, um resto menor que o divisor. Naquele momento deixamos de efetuar esse complemento da operação. Ficamos com o resultado:
Agora, vamos determinar o resultado da operação, com uma aproximação na forma de número decimal. Para isso recorremos à colocação de uma vírgula após o último algarismo inteiro obtido no quociente e acrescentamos um zero no resto. A partir daí tentamos continuar a divisão. Se ainda não for possível, acrescentamos um zero ao quociente e mais outro no resto. Podemos continuar assim indefinidamente. Talvez em algum momento ocorra uma divisão exata, ou então teremos uma dízima periódica, quando um ou mais algarismos começam a se repetir no quociente. O melhor de tudo é fazer isso na prática.
Começamos por dividir os dois primeiros algarismos, que formam o número ${79}$, pelo divisor ${17}$. Observando, notamos que não pode ser ${7}$ o quociente, pois a multiplicação entre ele e o divisor, ultrapassa em muito o dividendo ${79}$. É preciso baixar o valor. Iremos ver que a divisão é possível com ${4}$ no quociente, pois $\color{olive}{17\cdot 4 = 68\lt 79}$. Subtraindo ${68}$ de ${79}$, teremos no resto ${11}$. Colocamos ${4}$ no quociente, baixamos o último algarismo ${3}$ e voltamos a dividir. Temos agora $113$ dividido por ${17}$. Pelas multiplicações iremos verificar que podemos usar no máximo o número ${6}$. Fazendo $\color{olive}{17\cdot 6 = 102\lt113}$ e subtraímos esse valor do dividendo. Resta ${11}$. Como não há mais algarismos no dividendo para baixar, colocamos a vírgula no quociente, após o algarismo ${6}$ e acrescentamos um ${0}$ após o resto ${11}$. Vamos agora dividir ${110}$ por ${17}$, o que novamente nos dá ${6}$. $\color{olive}{17\cdot 6 = 102\lt 110}$. Subtraindo do dividendo, nos resta agora ${8}$. Tornamos a acrescentar mais um $0$ ao resto e voltamos a dividir, agora ${80}$ por ${17}$, onde encontramos ${4}$. $\color{olive}{17\cdot 4 = 68\lt 80}$. Subtraimos de ${80}$ e temos resto ${12}$. Com mais um ${0}$ acrescentado, temos agora ${120}$, dividido por ${17}$. O resultado é ${7}$ e $\color{olive}{17\cdot 7 = 119\lt 120}$. Subtraímos o produto do dividendo, restando agora apenas ${1}$. Se quisermos é possível continuar, mas na próxima tentativa de dividir, teremos ${1}0$ dividido por ${17}$, que não é possível. Colocaríamos um ${0}$ no quociente e acrescentaríamos outro no dividendo. Já temos no quociente três algarismos após a vírgula, o que corresponde a décimos, centésimos, milésimos. Não iremos encontrar o valor exato da divisão de qualquer maneira. Em diferentes situações poderemos precisar de mais ou menos algarismos decimais. Mas isso é assunto para outro momento. Podemos escrever $\color{navy}{(46,647)\cdot 17 \simeq 793}$ Divisão decimal exata
Começamos dividindo ${6}$ por ${4}$, obtendo ${1}$. Multiplicamos $\color{navy}{4\cdot 1 = 4\lt 6}$. Subtraimos e resta ${2}$. Baixamos o próximo algarismo, obtendo no dividendo ${27}$. Teremos no quociente o próximo algarismo ${6}$. $\color{navy}{6\cdot 4 = 24 \lt 27}$. Subtraimos e irá restar ${3}$.
O próximo algarismo do quociente será ${7}$ e $\color{navy}{7\cdot 4 = 28\lt 30}$. Subtraindo do dividendo, resta ${2}$. Acrescentamos outro ${0}$ ao resto e teremos agora ${20}$ dividido por ${4}$. O algarismo no quociente será ${5}$. Multiplicamos $\color{navy}{5\cdot 4 = 20}$. Subtraindo do dividendo, sobra agora resto ${0}$, indicando que a divisão, embora decimal, deu exata, pois não sobrou resto. Aqui podemos dizer que $\color{navy}{(16,75)\cdot 4 = 67}$ Outro exemplo de divisão decimal exata: $\color{navy}{(3456)\div (25) = ?}$ Vamos a mais uns exemplos. $\color{brown}{12\div 45 = ?}$ Observamos que o dividendo é menor que o divisor e portanto, não teremos nenhum algarismo na parte inteira. Nesse caso vamos colocar $0$ na parte inteira, seguido de vírgula e acrescentar $0$ à direita do dividendo. Assim passamos a dividir $120$ por $45$. O máximo que podemos colocar no quociente é $2$. Multiplicando $\color{olive}{2\cdot (45) = 90\lt 120}$. Subtraimos e resulta resto $30$.
Acrescentamos novamente um ${0}$ e tornamos a dividir ${300}$ por ${45}$, resultando o mesmo no quociente e resto. Estamos diante de uma divisão que resulta em uma dízima periódica, isto é sempre irá sobrar resto ${30}$ e o algarismo ${6}$ irá se repetir no quociente sem parar. Neste caso temos uma dízima composta, pois o primeiro algarismo não faz parte do período, isto é, não se repete. $\color{brown}{(0,266…)\cdot (45) = 12}$. Vejamos um exemplo de dízima simples, onde todos os algarismos se repetem na mesma ordem. $\color{olive}{10\div 7 = ?}$ Dividindo ${10}$ por ${7}$, obtemos ${1}$ e o resto é ${3}$. Colocamos vírgula no quociente e acrescentamos um ${0}$.
O número ${40}$ dividido por ${7}$, nos dá no quociente o algarismo ${5}$. Multiplicando temos $\color{olive}{5\cdot 7 = 35\lt 40}$. O resto ao subtrair, será ${5}$ e acrescentamos a ele um ${0}$. Ao acrescentar ${0}$ ao resto, obtivemos o número ${50}$. Na divisão, resulta o algarismo ${7}$ no quociente. Multiplicando e subtraindo, temos resto ${1}$. Acrescentando ${0}$, vamos para mais uma divisão. O número ${1}$, acrescido de um ${0}$, dividido por ${7}$, nos fornece mais um algarismo ${1}$ no quociente e o resto volta a ser ${3}$. Notamos que começa aí a repetição dos algarismos. Embora na parte decimal, neste caso, o algarismo ${1}$ apareça no final, ele é o primeiro do período. Se estivéssemos dividindo $\color{olive}{1\div 7 =?}$, começaríamos por um ${0}$, seguido de vírgula. Todos os números que tenham por algarismo inicial ${1}$, seguido de um ou mais zeros, precedidos de um ou mais zeros, depois da vírgula, ao serem divididos por ${7}$, resultam na mesma sequência periódica de algarismos. O que muda é a posição da vírgula. Assim: $\color{navy}{(0,001)\div 7 = 0,000142857…}$ $\color{navy}{(0,01)\div 7 = 0,00142857…}$ $\color{navy}{(0,1)\div 7 = 0,0142857…}$ $\color{navy}{(1)\div 7 = 0,142857…}$ $\color{navy}{(10)\div 7 = 1,428571…}$ $\color{navy}{(100)\div 7 = 14,2857…}$ $\color{navy}{(1000)\div 7 = 142,857…}$ Essa situação é bastante comum e é útil em diversas ocasiões. Neste exemplo usei de propósito uma divisão que resultou em um período longo (seis algarismos). Há outros com períodos menores e estes são em maior número.
Se tiver dúvidas sobre algum exercício ou de outros exercícios semelhantes encontrados em outras fontes, peça ajuda que não há problema. Estou à disposição. Curitiba, 03 de outubro de 2019 Décio Adams [email protected] [email protected] [email protected] www.facebook.com/livros.decioadams www.facebook.com/decio.adams www.facebook.com/decioadams.matfisonline @AdamsDcio Telefone: (41) 3019-4760 Celular e WhatsApp: (41) 99805-0732 |