Determine a área de um círculo sabendo que a circunferência desse círculo tem comprimento igual a

O comprimento da circunferência é bastante parecido com a ideia de perímetro de um polígono. Sabemos que círculo não possui lados, então, em vez de falarmos perímetro da circunferência, calculamos o comprimento dela. No entanto, ainda existem alguns autores que chamam o comprimento da circunferência de perímetro da circunferência.

Para calcular o valor do comprimento da circunferência, utilizamos a fórmula C = 2πr, em que r é o raio do círculo, e π (lê-se: pi) é uma constante, representada por esse símbolo por ser uma dízima periódica. Muitas vezes, para calcular o valor do comprimento da circunferência, utilizamos uma aproximação para a constante π, sendo comum considerá-la igual a 3,14 ou 3,1 ou até mesmo 3.

Leia também: Qual a diferença entre figuras planas e figuras espaciais?

Resumo sobre o comprimento da circunferência

• A circunferência é o contorno de um círculo.

• O comprimento da circunferência é análogo ao perímetro de um polígono.

• Para calcular o comprimento da circunferência, utilizamos a fórmula C = 2πr:

  • r → raio;

  • π → constante conhecida como pi.

• A constante π é uma dízima não periódica em que π = 3,14159265…

Para compreender o que é o comprimento da circunferência, é importante lembrar a diferença entre círculo e circunferência. O círculo é a região formada por todos os pontos que estão a uma distância menor ou igual ao raio do círculo, a circunferência é o conjunto de pontos que estão a uma distância r do centro, ou seja, é o contorno do círculo.

Entendendo o que é a circunferência, é importante ressaltar que não existe comprimento do círculo, mas sim comprimento da circunferência, que nada mais é que o comprimento do contorno do círculo.

Em polígonos esse contorno é conhecido como perímetro, e é bastante comum usar esse termo para a circunferência, ou seja, o comprimento da circunferência é chamado também de perímetro da circunferência, porém a ideia de perímetro se restringe a polígonos, então a forma correta é, de fato, comprimento da circunferência.

Para calcular o comprimento da circunferência, utilizamos a fórmula:

C → comprimento

r → raio

π → (lê-se: pi)

O número π é um número irracional e uma dízima não periódica, ele é bastante recorrente em problemas envolvendo circunferência, cilindro, cone, entre outras figuras que possem forma arredondada. Utilizamos a letra π para representá-lo pelo fato de ele ter infinitas casas decimais, vejamos algumas delas: π = 3,141592653589...

Como o π tem infinitas casas decimais, utilizamos aproximações do valor dele. Essas aproximações são escolhidas de acordo com a necessidade de precisão do valor encontrado, geralmente a mais adotada é 3,14.

Leia também: Quais são as diferenças entre círculo e circunferência?

Como calcular o comprimento da circunferência?

Conhecendo o raio ou o diâmetro da circunferência, é possível calcular o comprimento dela apenas substituindo na fórmula específica.

Exemplo 1:

Uma circunferência possui raio medindo 5 cm, calcule o comprimento dela utilizando π = 3,14.

C = 2 · π · r

C = 2 · 3,14 · 5

C = 10 · 3,14

C = 31,4 cm

Exemplo 2:

Uma piscina possui formato circular com comprimento igual a 33 metros. Utilizando π = 3, qual é o valor do raio da circunferência?

Sabemos que C = 33 metros, então, temos que:

C =  2 · π · r

33 = 2 · 3 · r

33 = 6r

6r = 33

r = 33 : 6

r = 5,5 m

Exercícios resolvidos sobre comprimento da circunferência

Questão 1 - Em panelas de pressão, é bastante comum que exista um elástico envolvendo a tampa, com o objetivo de vedar e evitar a saída do vapor durante o uso da panela. Se uma determinada tampa possui 12 cm de diâmetro, então, o comprimento desse elástico deve ser igual a:

(Use π = 3,1.)

A) 34,6 cm

B) 35,2 cm

C) 35,8 cm

D) 37,2 cm

E) 37,0 cm

Resolução

Alternativa D

Se o diâmetro é igual a 12 cm, então o raio é a metade de 12 cm, ou seja, r = 6 cm.

Então, temos que:

r = 6

π = 3,1

C =  2 · π · r

C = 2 · 3,1 · 6

C = 6,2 · 6

C = 37,2 cm

Questão 2 - (PM ES – Exatus) Para realizar o teste físico em determinado concurso da PM, os candidatos devem correr ao redor de uma praça circular cujo diâmetro mede 120 m. Uma pessoa que dá 9 voltas ao redor dessa praça percorre: (Dado: π = 3)

A) 1620 m

B) 3240 m

C) 4860 m

D) 6480 m

E) 8100 m

Resolução

Alternativa B

O raio da circunferência é igual à metade do seu diâmetro, ou seja, d = 120 : 2 = 60 m.

C =  2 · π · r

C = 2 · 3 · 60

C = 6 · 60

C = 360 m

Como serão dadas 9 voltas, então, temos que: 360 · 9 = 3240 m.

Antes de começarmos a falar do comprimento da circunferência e da área de um círculo, vamos relembrar o que é cada um dos dois e por que não podemos usar um único termo para fazer referência ao círculo e à circunferência.

A circunferência é um conjunto de pontos que estão a uma mesma distância do centro. Essa distância é conhecida como raio. A circunferência é estudada pela Geometria Analítica e, em geral, em um plano cartesiano. O círculo, que é formado pela circunferência e pelos infinitos pontos que preenchem seu interior, é estudado pela Geometria Plana, pois ele ocupa um espaço e pode ter sua área calculada, diferentemente da circunferência.

Como calcular o perímetro de uma circunferência?

O perímetro é a medida do contorno de um objeto. Nos polígonos, o perímetro é dado a partir da soma de todos os seus lados. Já na circunferência o perímetro é obtido quando calculamos o seu comprimento.

Para calcular o comprimento de qualquer circunferência, precisamos conhecer a medida do raio (r). Conhecido o valor do raio, o comprimento da circunferência é dado pelo dobro do produto do raio por π (número irracional cujo valor aproximado é 3,14). Seja C o comprimento da circunferência, temos a seguinte fórmula:

C = 2·π·r

Se multiplicarmos o raio da circunferência por 2, encontraremos a medida do diâmetro (segmento de reta que intercepta dois pontos da circunferência passando pelo centro). Seja d o diâmetro, também podemos utilizar a seguinte fórmula para calcular o comprimento da circunferência:

C = π·d

Como calcular a área de um círculo?

Como já dissemos, o círculo é uma figura plana, por isso, podemos calcular sua área. Diferentemente das áreas limitadas por polígonos, não temos um valor para medidas de base ou de altura em um círculo. Por isso, para calcular a sua área, utilizamos a única informação que temos a seu respeito: o raio. A área de um círculo é dada pelo produto de π e do quadrado do raio. Seja A a área do círculo, temos a seguinte fórmula:

A = π·r²

Se o comprimento da circunferência for dado em cm, a área do círculo será dada em cm²; se o comprimento da circunferência for dado em m, a área do círculo será dada em m² e assim sucessivamente.

Por Amanda Gonçalves

Graduada em Matemática

A circunferência é uma figura geométrica plana formada pela união de pontos equidistantes, ou seja, possuem a mesma distância de um ponto fixo chamado de centro. O estudo da circunferência também está presente na geometria analítica, na qual é possível deduzir uma equação que a represente.

Embora o círculo e a circunferência sejam figuras geométricas planas com alguns elementos em comum, o que geralmente acarreta dúvidas, essas figuras apresentam diferenças importantes sobretudo no que diz respeito à dimensionalidade.

Leia também: Distância entre dois pontos – importante conceito da geometria analítica

Elementos da circunferência

Observe a circunferência:

O ponto C é chamado de centro da circunferência, e observe que os pontos A e B pertencem a ela. O segmento que une os extremos da circunferência passando pelo centro é chamado de diâmetro. Na circunferência anterior, temos então que o diâmetro é o segmento AB.

Ao dividir o diâmetro ao meio, vamos obter o raio da circunferência, ou seja, o raio (r) de uma circunferência é o segmento que une o centro e a extremidade. Nesse caso, o raio é o segmento CB. Podemos estabelecer uma relação matemática entre esses dois elementos, uma vez que o diâmetro é o dobro do raio.

d = 2 · r

Determine o raio de uma circunferência que possui diâmetro medindo 40 cm.

Sabemos que o diâmetro é o dobro do raio, assim:

Comprimento da circunferência

Considere uma circunferência que possui raio medindo r. O comprimento ou perímetro da circunferência é dado pelo produto da constante pi (π) pelo dobro do raio.

Ao calcularmos o comprimento ou perímetro de uma circunferência, estamos determinando o tamanho da linha verde no desenho anterior, e, para isso, basta substituir o valor do raio na fórmula que procede a figura.

Determine o comprimento da circunferência de raio 5 cm.

O raio da circunferência é igual 5 cm, logo, para determinar o comprimento da circunferência, devemos substituir esse valor na fórmula.

C = 2πr

C = 2(3,14)(5)

C = 6,24 · 5

C = 31,2 cm

Veja também: Construção de polígonos inscritos

Área da circunferência

Considere uma circunferência de raio r. Para calcular sua área, devemos multiplicar o quadrado do valor do raio por π.

Quando calculamos a área da circunferência, estamos determinando a medida da superfície, ou seja, toda região no interior da circunferência.

Determine a área de uma circunferência que possui raio igual 4 cm.

Temos que o raio da circunferência é igual a 4 cm, logo, podemos substituir essa medida na fórmula da área. Veja:

A = π · r2

A = 3,14 · (4)2

A = 3,14 · 16

A = 50,24 cm2

Equação reduzida da circunferência

Sabemos que uma circunferência pode ser construída pela coleção de pontos que possuem a mesma distância de um ponto fixo chamado de origem ou centro. Assim, considere um ponto fixo no plano cartesiano O(a, b). O conjunto de pontos — representado por P(x, y) — que estão à mesma distância r desse ponto fixo formará uma circunferência de raio r.

Note que os pontos da forma P(x, y) estão todos à mesma distância do ponto O(a, b), isto é, a distância entre os pontos O e P é igual ao raio da circunferência, assim:

Na equação reduzida, note que os números a e b são as coordenadas do centro da circunferência e que r é a medida do raio.

Determine as coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência que possui equação:

a) (x – 2)2 + (y – 6)2 = 36

Comparando essa equação com a equação reduzida, temos:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

(x – 2)2 + (y – 6)2 = 36

Veja que a = 2, b = 6 e r2 = 36. A única equação a resolver-se é:

r2 = 36

r = 6

Portanto, a coordenada do centro é: O(2, 6) e o comprimento do raio é 6.

b) (x – 5)2 + (y + 3)2 = 121

De maneira semelhante, temos:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

(x – 5)2 + (y + 3)2 = 121

a = 5

– b = 3

b = –3

Enquanto o valor do raio é dado por:

r2 = 121

r = 11

c) x2 + y2 = 1

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

x2 + y2 = 1

Observe que x2 = (x + 0)2 e y2 = (y + 0)2 . Assim temos que:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

(x + 0)2 + (y + 0)2 = 1

Portanto, a coordenada do centro é O(0, 0) e o raio é igual 1.

Acesse também: Como encontrar o centro de uma circunferência?

Equação geral da circunferência

Para determinar a equação geral da circunferência, devemos desenvolver a equação reduzida dela. Assim, considere uma circunferência que possui centro nas coordenadas O(a, b) e raio r.

Inicialmente, desenvolveremos os termos elevados ao quadrado utilizando-nos dos produtos notáveis; em seguida, passaremos todos os números para o primeiro membro; e, por fim, juntaremos os termos com coeficiente literal igual, isto é, os que possuem letras iguais. Veja:

Determine as coordenas do centro e a media do raio da circunferência que possui equação:

a) x2 + y2 – 4x – 6y + 4 + 9 – 49 = 0

Para determinar o raio e as coordenadas da circunferência que possui essa equação, devemos compará-la com a equação geral. Veja:

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0

x2 + y2 – 4x – 6y + 4 + 9 – 49 = 0

Das comparações em verde, temos que:

2a = 4

a = 2

ou

a2 = 4

a = 2

Das comparações em vermelho, temos que:

2b = 6

b = 3

ou

b2 = 9

b =3

Assim, podemos afirmar que o centro possui coordenada O(2 , 3). Agora, comparando o valor de r, temos:

r2 = 49

r = 7

Portanto, o raio da circunferência tem comprimento igual a 7.

b) x2 + y2 – 10x + 14y + 10 = 0

De maneira semelhante, vamos comparar as equações:

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0

x2 + y2 – 10x + 14y + 10 = 0

2a = 10

a = 5

Determinando o valor de b:

–2b = 14

b = – 7

Observe agora que:

a2 + b2 – r2 = 10

Como sabemos os valores de a e b, podemos substituí-los na fórmula. Veja:

a2 + b2 – r2 = 10

52 + (–7)2 – r2 = 10

25 + 49 – r2 = 10

74 – r2 = 10

– r2 = 10 – 74

(–1) – r2 = –64 (–1)

r2 = 64

r = 8

Portanto, as coordenadas do centro são O (5, –7) e o raio tem comprimento igual a 8.

Diferenças entre circunferência e círculo

A diferença entre uma circunferência e um círculo diz respeito ao número de dimensões de cada elemento. Enquanto a circunferência possui uma dimensão, o círculo possui duas.

A circunferência é uma região no plano formada por pontos todos equidistantes de um ponto fixo chamado de origem. O círculo é constituído por toda região no interior da circunferência. Veja em imagens a diferença:

Veja também: Comprimento da circunferência e área do círculo

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Uma circunferência possui perímetro igual a 628 cm. Determine o diâmetro dessa circunferência (adote π = 3,14).

Resolução

Como o perímetro é igual a 628 cm, podemos substituir esse valor na expressão de comprimento da circunferência.

Questão 2 – Duas circunferências são concêntricas se elas possuem o mesmo centro. Sabendo disso, determine a área da figura em branco.

Resolução

Veja que, para determinar a área da região em branco, devemos determinar a área do círculo maior e, em seguida, a do círculo menor em azul. Veja também que se retirarmos o círculo azul sobra somente a região que desejamos, portanto, devemos subtrair essas áreas. Veja:

AMAIOR = π r2

AMAIOR = (3,14) · (9)2

AMAIOR = (3,14) · 81

AMAIOR = 254,34 cm2

Vamos calcular agora a área do círculo em azul:

AMENOR = π r2

AMENOR = (3,14) · (5)2

AMENOR = (3,14) · 25

AMENOR = 78,5 cm2

Assim, a área em branco é dada pela diferença entre a área maior e a área menor.

ABRANCO = 254,34 – 78,5

ABRANCO = 175,84 cm2

Por Robson Luiz

Professor de Matemática