A Teoria dos Conjuntos estuda como selecionar, agrupar e classificar elementos. Nesta aula, você compreenderá os conceitos de conjuntos e subconjuntos. Além disso, verá seus elementos e suas representações através de chaves e diagrama de Venn. Por fim, conseguirá resolver problemas que envolvem relações de pertinência ou relações de inclusão. Show A teoria dos conjuntos no dia a diaPrimeiramente, vamos observar como a teoria dos conjuntos numéricos está presente em nossas rotinas. Em nossa rotina, temos a tendência de selecionar coisas para depois organizar. Em geral, agrupamos nossos pertences por uma característica que eles têm em comum. Além disso, classificamos ou damos nome a esses grupos. Um exemplo: algumas pessoas organizam seus materiais escolares agrupando canetas, lápis, lapiseiras em um estojo. Esse estojo pode ser um conjunto de materiais de escrever. Figura 1 – Separamos lápis e canetas em um estojo. A foto mostra estojo com lápis de cor e outro com canetas coloridas. Veja como fazer ótimos resumos de mão no nosso vídeo!Do mesmo modo, colocamos diversos cadernos em uma pilha e livros em outra. Assim, organizamos nossos materiais em diversos conjuntos. Com isso podemos afirmar que: Um conjunto é um agrupamento de elementos. Introdução à Teoria dos ConjuntosVeja agora com o professor Lucas Borguezan um resumo de introdução que vai ajudar você no domínio desta matéria. As dicas do professor Lucas:
A simbologia do que pertence, ou não pertenceOs conjuntos normalmente são representados por letras maiúsculas e os elementos são delimitados por chaves ou diagrama de Venn. Em primeiro lugar, vamos ver alguns exemplos de conjuntos representados através de chaves: Cores primárias: C = {amarelo, azul, vermelho} Dinheiro brasileiro: D = {centavos, real} Flores: F = {rosa, violeta, sempre-viva, amarílis, cravo, …} Sob o mesmo ponto de vista, vamos ver agora exemplos de representação de conjuntos com diagrama de Venn. Esse diagrama é facilita a visualização da teoria dos conjuntos: Fonte: Autor desconhecido (Creative Commons)O diagrama de Venn é uma linha fechada que pode ter qualquer forma. Ele serve para delimitar os elementos. Conjuntos especiais:Bem como a representação através de chaves e o diagrama de Venn, você precisa entender dois tipos de conjuntos especiais: a) Conjunto vazio: é um conjunto sem elementos e é representado por { } ou ∅. b) Conjunto unitário: é um conjunto que tem um único elemento. Ex: A = {10}. Além disso, é importante que você saiba que existe uma relação entre conjuntos e elementos que denominamos Relação de Pertinência. Relação de PertinênciaAntes de mais nada, vamos definir o que é relação de pertinência. Essa relação analisa se um elemento pertence ou não a um conjunto. Quer um exemplo? Vamos construir um conjunto de números naturais ímpares menores que 20: Sabemos que os números naturais são aqueles que usamos para a contagem: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 … Esse é um conjunto infinito. Tirando os números ímpares menores que 20, temos um novo conjunto que vamos chamar de I: I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} Até agora, selecionamos, agrupamos e classificamos. Se alguém perguntar a você se o número 10 pertence ao conjunto I, o que você responderia?
Os Conjuntos NuméricosAcompanhe com o professor Lucas a introdução aos Conjuntos Numéricos. As dicas do Lucas sobre os Conjuntos Numéricos:
Linguagem matemática dos conjuntos numéricosAssim como a compreensão da simbologia dos conjuntos, é necessário que você saiba sua linguagem matemática. Como podemos escrever a frase 10 não pertence ao conjunto I na linguagem matemática? Podemos escrever essa expressão: 10 ∉ I. O símbolo ∉ indica não pertence. Sob o mesmo ponto de vista, como podemos escrever, na linguagem matemática, a frase 13 pertence ao conjunto I? Escrevemos assim: 13 ∈ I. O símbolo ∈ significa pertence. O que são subconjuntos?Vamos falar da Relação de Inclusão propriamente dita? Anteriormente, temos que mostrar o que é um subconjunto. Em primeiro lugar, para entender o que são subconjuntos, observe o exemplo anterior (aquele que vimos no item Relação de Pertinência). Vamos definir que o conjunto dos números naturais é o conjunto a ser analisado. Dessa forma, o conjunto dos números pares e o conjunto dos números ímpares são subconjuntos do conjunto dos números naturais. Logo, subconjuntos são pequenos conjuntos formados com os elementos do conjunto maior que denominamos Universo. De acordo com o que vimos acima, vamos representar esses conjuntos em linguagem matemática: a) Conjunto dos números naturais: N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9…} b) Conjunto dos números pares: P = { 0, 2, 4, 6 …} c) Conjunto dos números ímpares: U = {1, 3, 5, 7, 9…} d) Conjunto dos números ímpares menores que 20: I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} Os conjuntos dos itens b) c) d) são subconjuntos do conjunto dos números naturais. E são apenas alguns exemplos dos infinitos subconjuntos que se originam do conjunto maior. Relação de Inclusão – teoria dos conjuntosA Relação de Inclusão analisa se subconjuntos estão dentro de outros conjuntos maiores. Primeiramente, vamos aprender quais são os símbolos usados nas relações de inclusão são: a) Contido: ⊂ b) Não está contido: ⊄ c) Contém: ⊃ d) Não contém: ⊅ Agora, vamos resolver dois tipos de problemas sobre teoria dos conjuntos que apareceram em provas de vestibulares: 1. (F. C. Chagas) Se A = {∅, 3, {3}, {2, 3}}, então:a) {2, 3} ⊂ A b) 2 ∈ A c) ∅ ∉ A d) 3 ⊂ A e) {3} ∈ A Antes de mais nada, para resolver esse tipo de questão, temos que analisar todos os dados do problema. O primeiro dado muito importante é o conjunto dado no enunciado: A = {∅, 3, {3}, {2, 3}} Note que temos elementos desse conjunto que são conjuntos menores. Dizemos que {3} e {2, 3} são elementos de A, logo só podemos usar a relação de pertinência entre eles e o conjunto A. O símbolo ∅ indica o conjunto vazio. a) {2, 3} ⊂ A é falsa, porque {2, 3} é elemento de A e não é subconjunto de A. O sinal ⊂ indica uma relação de inclusão que é usada entre conjunto e subconjunto. b) 2 ∈ A é falsa, porque não tem elemento 2 no conjunto A. c) ∅ ∉ A é falsa, porque o elemento vazio pertence ao conjunto A. d) 3 ⊂ A é falsa, porque não usamos sinal de inclusão entre elemento e conjunto. O correto é 3 ∈ A. e) {3} ∈ A está correta, pois {3} é elemento do conjunto A. Fazer esse tipo de análise para resolver esse tipo de problema pode te ajudar muito. Lembre-se de fazer isso para resolver questões que envolvem conjuntos, elementos, subconjuntos. Essa análise também é útil para resolver questões que envolvem símbolos das relações de Pertinência e as relações de Inclusão. Para reforçar essa ideia de Relações acesse nossa aula escrita sobre esse assunto.Quer outro exemplo? 2. (UFGO) Nas sentenças abaixo, assinalam-se com V as sentenças verdadeiras e com F as falsas:{2} ∈ {0, 1, 2} ∅ ⊂ {5, 6, 7} ∅ ∈ {∅, 4} 5 ∈ {3, {5, 1}, 4} {5, 6} ⊃ {5, 6, 7} Nesta ordem, a alternativa CORRETA é: a) F, V, V, F, F b) V, F, F, V, F c) F, V, V, F, V d) V, F, F, V, V A resolução desse tipo de problema é mais elaborada. Temos que analisar cada afirmação uma a uma: Para essa afirmação, temos que analisar se {2} está dentro do conjunto {0, 1, 2}. Com isso, percebemos que o elemento 2 está no conjunto, mas {2} não está, então é F. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, logo está contido no conjunto {5, 6, 7}. A afirmação é V. O conjunto vazio aparece como elemento desse conjunto, então podemos usar o símbolo de pertence. A afirmação é V. Essa afirmação é falsa porque não tem elemento 5 no conjunto. O que temos como elemento do conjunto é {5, 1}. A afirmação é F. O símbolo contém é usado quando o primeiro conjunto tem um número de elementos maior que o segundo. Além disso, o segundo conjunto deve ter elementos no primeiro conjunto. Logo, a afirmação é F. A alternativa correta é a alternativa a. Vídeo sobre teoria dos conjuntosPara finalizar, assista ao vídeo abaixo, em que o professor Lucas Borguezan, do canal do Curso Enem Gratuito, explica sobre esse assunto! Em conclusão, nesta aula você aprendeu que a teoria dos conjuntos vem do modo como selecionamos, classificamos, agrupamos as coisas (objetos, pessoas, etc). Além disso, você compreendeu que conjunto é um agrupamento de elementos e como podemos representar esses conjuntos. Por fim, apresentamos o conjunto vazio, unitário, as relações de pertinência e as relações de inclusão. Exercícios1. Sendo A = {1, 2, {1}, {2, 3}}, qual das proposições abaixo é FALSA? a) 1 ∈ b) {3} ∈ c) {1} ∈ d) A possui quatro elementos. e) {1, 2, 3} ∈ 2. Dado o conjunto A = {1, {2}, 2}, qual das relações abaixo é FALSA? a) {2} ∈ A b) {1} ∈ A c) {1, 2} ⊂ A d) {2} ⊂ A e) {2, {2}} ⊂ A 3. (Mack – SP) Dado o conjunto A = {3, {3}} e as proposições: I. 3 ∈ A II. {3} ⊂ A III. {3} ∈ A Então: a) apenas as proposições I e II são verdadeiras b) apenas as proposições II e III são verdadeiras c) apenas as proposições I e III são verdadeiras d) todas as proposições são verdadeiras e) nenhuma proposição é verdadeira Gabarito: 1.B 2.B 3.D Compartilhe: |