Os números complexos formam um conjunto numérico que é mais abrangente que os números reais. Eles surgiram após inúmeros estudos, sobretudo após tentativas de se resolver equações do segundo e do terceiro grau. Nessa época, os matemáticos se depararam raízes quadradas de números negativos, que não podem ser expressas no conjunto dos números reais. Assim, os matemáticos passaram a denotar essas raízes usando a letra “i”. A base principal foi adotar . Show
DefiniçãoQuando vamos solucionar equações do tipo , nos deparamos com . Como não existe raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais, convencionou-se utilizar a notação para representar esse número negativo. Com isso, o resultado da equação anterior seria . Esse número “i” é conhecido como unidade imaginária. Assim, um número complexo, que chamamos de Z, tem a forma , Chamamos o número a de parte real, Re(Z) = a, e b de parte imaginária, Im(Z) = b. Esta notação é chamada de forma algébrica. Adição de números complexosA adição de números complexos é realizada através da adição dos termos semelhantes, ou seja, somamos as partes reais de cada número e depois as partes imaginárias. Sejam e dois números complexos, tais que: e . Definiremos a adição de e da seguinte forma:
Exemplo: Se e a soma será:
Subtração de números complexosA subtração de números complexos é análoga à adição. Calculamos a diferença entre as partes reais de cada número e depois as partes imaginárias. Sejam e dois números complexos, tais que: e . Definiremos a subtração de e da seguinte forma:
Exemplo: Se e a diferença será:
Multiplicação de números complexosPara multiplicar números complexos utilizamos o mesmo método adotado na expansão de um produto notável, multiplicando cada termo do primeiro fator por todos os membros do segundo fator. Assim: Sejam e dois números complexos, tais que: e . Definiremos a multiplicação de e da seguinte forma:
Exemplo: Se e o produto será:
Divisão de números complexosPara dividir números complexos multiplicamos o dividendo e o divisor pelo conjugado do divisor. O conjugado de um número complexo será . Sempre que multiplicamos um número complexo pelo seu conjugado, o denominador será um número real. Sejam e dois números complexos, tais que: e Definiremos a divisão de e da seguinte forma:
Exemplo Se e a divisão será:
Argumento e módulo de um número complexoPodemos representar um número complexo em um sistema de coordenadas. Esse sistema de coordenadas é chamado de Plano de Argand-Gauss. É composto por dois segmentos de reta perpendiculares. O segmento horizontal comporta as partes reais dos números complexos e o segmento vertical, as partes imaginárias. Como exemplo, observe como será representado o número complexo no Plano de Argand-Gauss: O segmento de reta OZ é chamado de módulo do número complexo, representado por |z|. Na figura abaixo, o ângulo entre o eixo Ox e o segmento OZ é chamado de argumento de Z, representado por . Argumento de ZNo Triângulo retângulo formado pelos vértices OâZ, temos que:
Sendo o argumento de Z. Para encontrar o argumento de Z, podemos utilizar ou . Módulo de ZAplicando o teorema de Pitágoras teremos:
Então:
Forma trigonométrica de um número complexoCada número complexo pode ser expresso em função do seu módulo e argumento. Quando isso acontece dizemos que o número complexo está na forma trigonométrica ou polar. Considere o número complexo , em que z ≠ 0, Como vimos anteriormente:
Substituindo os valores de a e b no complexo .
Produto de números complexos na forma polarConsidere dois números complexos na forma polar:
O produto entre será:
Assim, para multiplicar dois números complexos na forma polar, basta multiplicar seus módulos e somar seus argumentos. Exemplo: Se e :
Potência de um número complexoComo vimos anteriormente, para multiplicar números complexos, basta multiplicar seus módulos e somar seus argumentos. Se multiplicarmos um número complexo Z por ele mesmo n vezes, teremos:
e
Assim, elevando Z a uma potência n, teremos que:
Exemplo: Calcular , sendo .
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