O sol ocupa o centro da trajetória elíptica descrita pelo planeta quando este completa seu período

A primeira lei de Kepler, também conhecida como a lei das órbitas, descreve o formato das órbitas planetárias. De acordo com essa lei, as órbitas do planeta em torno do Sol são elípticas, apesar de apresentarem excentricidades muito pequenas. A descoberta dessa lei representou um grande avanço para a visão heliocêntrica do Sistema Solar.

Veja também: Estrelas são corpos negros! Confira essa e outras curiosidades astronômicas

Introdução à primeira lei de Kepler

Entre os anos de 1609 e 1618, Johannes Kepler (1571-1630), um grande astrônomo e matemático alemão, desenvolveu três leis capazes de explicar o movimento dos planetas em torno do Sol. A primeira de suas leis, a lei das órbitas, afirma que a órbita dos planetas não é circular, mas elíptica. Kepler foi capaz de determinar com grande precisão as trajetórias dos planetas, para tanto, contou com uma grande quantidade de dados cuidadosamente coletados pelo astrônomo dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601).

As leis de Kepler representaram uma grande evolução para o modelo heliocêntrico, previamente desenvolvido por Nicolau Copérnico, mas também serviram como base para a formulação da teoria da gravitação universal, de Isaac Newton.

O enunciado da primeira lei de Kepler é mostrado a seguir, confira:

“Todos os planetas movem-se ao redor do Sol em órbitas elípticas, estando o Sol em um dos focos.”

Kepler deduziu o formato das órbitas planetárias e foi capaz de determinar a excentricidade das órbitas de alguns dos planetas já conhecidos, além de prever a existência de planetas que não haviam sido observados. A excentricidade da órbita é a razão entre a distância entre os dois focos da elipse e o semieixo maior — quanto mais próximo de zero, mais circular é a órbita do planeta. No Sistema Solar, as órbitas planetárias são praticamente circulares, a excentricidade da órbita terrestre, por exemplo, tem um valor igual a 0,0167, e a órbita de Marte, 0,093.

Em órbitas elípticas, existem posições que representam a maior e a menor distância do astro até um dos focos da elipse. Tomemos como exemplo a órbita da Terra em torno do Sol: o ponto em que a Terra encontra-se mais próxima do Sol é chamado periélio, e o ponto em ela se encontra mais distante do Sol é chamado afélio.

Nas proximidades do periélio, a Terra é atraída mais fortemente pelo Sol, por isso, nessa região, a Terra desloca-se com maior velocidade e, portanto, com maior energia cinética. Quando a Terra encontra-se no periélio, sua energia cinética é mínima, entretanto, sua energia potencial gravitacional é máxima.

Resumo sobre a primeira lei de Kepler

De acordo com a 1ª lei de Kepler:

• As órbitas planetárias são elípticas.

• O Sol ocupa um dos focos da elípse.

• A posição em que a Terra encontra-se mais próxima do Sol é chamada periélio.

• A posição em que a Terra encontra-se mais distante do Sol é chamada afélio.

Veja também: Terceira lei de Kepler – conhecida como lei dos períodos

Exercícios resolvidos sobre a primeira lei de Kepler

Questão 1) (Unicamp) A primeira lei de Kepler demonstrou que os planetas se movem em órbitas elípticas e não circulares. A segunda lei mostrou que os planetas não se movem a uma velocidade constante.

PERRY, Marvin. Civilização Ocidental: uma história concisa. São Paulo: Martins Fontes, 1999, p. 289. (Adaptado)

É correto afirmar que as leis de Kepler:

a) confirmaram as teorias definidas por Copérnico e são exemplos do modelo científico que passou a vigorar a partir da Alta Idade Média.

b) confirmaram as teorias defendidas por Ptolomeu e permitiram a produção das cartas náuticas usadas no período do descobrimento da América.

c) são a base do modelo planetário geocêntrico e se tornaram as premissas cientificas que vigoram até hoje.

d) forneceram subsídios para demonstrar o modelo planetário heliocêntrico e criticar as posições defendidas pela Igreja naquela época.

Gabarito: Letra D
Resolução:

As leis de Kepler representaram a ruptura com a visão geocêntrica do Sistema Solar, defendida pela Igreja.

Questão 2) (UEFS) A figura representa a trajetória elíptica de um planeta em movimento de translação ao redor do Sol e quatro pontos sobre essa trajetória: M, P (periélio da órbita), N e A (afélio da órbita).

O módulo da velocidade escalar desse planeta:

a) sempre aumenta no trecho MPN.

b) sempre diminui no trecho NAM.

c) tem o mesmo valor no ponto A e no ponto P.

d) está aumentando no ponto M e diminuindo no ponto N.

e) é mínimo no ponto P e máximo no ponto A.

Gabarito: Letra D

Resolução:

Quando o planeta move-se em direção ao periélio, sua energia cinética aumenta, portanto, no ponto M, ele está ganhando velocidade.

Questão 3) (FGV) Johannes Kepler (1571-1630) foi um cientista dedicado ao estudo do sistema solar. Uma das suas leis enuncia que as órbitas dos planetas, em torno do Sol, são elípticas, com o Sol situado em um dos focos dessas elipses. Uma das consequências dessa lei resulta na variação:

a) do módulo da aceleração da gravidade na superfície dos planetas.

b) da quantidade de matéria gasosa presente na atmosfera dos planetas.

c) da duração do dia e da noite em cada planeta.

d) da duração do ano de cada planeta.

e) da velocidade orbital de cada planeta em torno do Sol.

Gabarito: Letra E

Resolução:

A velocidade orbital aumenta nas proximidades do periélio, graças à aproximação entre o planeta e sua estrela.

1. (UEL-PR) Nas origens do estudo sobre o movimento, o filósofo grego Aristóteles (384 a.C.- 322 a.C.) dizia que tudo o que havia no mundo pertencia ao seu lugar natural. De acordo com esse modelo, a terra apresenta-se em seu lugar natural abaixo da água, a água abaixo do ar, e o ar, por sua vez, abaixo do fogo, e acima de tudo um local perfeito constituído pelo manto das estrelas, pela Lua, pelo Sol e pelos demais planetas. Dessa forma, o modelo aristotélico explicava o motivo pelo qual a chama da vela tenta escapar do pavio, para cima, a areia cai de nossas mãos ao chão, e o rio corre para o mar, que se encontra acima da terra. A mecânica aristotélica também defendia que um corpo de maior quantidade de massa cai mais rápido que um corpo de menor massa, conhecimento que foi contrariado séculos depois, principalmente pelos estudos realizados por Galileu, Kepler e Newton.

Com base no texto e nos conhecimentos sobre cosmogonia, é correto afirmar que a concepção aristotélica apresenta um universo:

a) acêntrico.

b) finito.

c) infinito.

d) heliocêntrico.

e) policêntrico.

Resposta correta: b.

2. Analise as afirmativas a respeito das leis de Kepler e classifique-as como verdadeiras ou falsas.

I. O Sol ocupa o centro da trajetória elíptica descrita pelo planeta quando este completa seu período.

II. A velocidade de translação da Terra em sua órbita aumenta à medida que ela se aproxima do Sol e diminui à medida que ela se afasta.

III. As áreas varridas pelos raios dos planetas são proporcionais aos tempos gastos.

Resposta: I - Falsa; II - Verdadeira; III - Verdadeira.

3. Considere o período de revolução da Terra igual a 365 dias e a área da elipse descrita pela Terra em torno do Sol com cerca de 7 ∙ 1022 m2 . Determine, justificando seu cálculo, a área varrida pelo raio vetor Sol-Terra entre 20 de outubro, à meia-noite e 31 de dezembro, à meia-noite.

Resposta: 1,4 ∙ 1022 m2

4. (Fuvest-SP) Em janeiro de 2006, a nave espacial New Horizons foi lançada da Terra com destino a Plutão, astro descoberto em 1930. Em julho de 2015, após uma jornada de aproximadamente 9,5 anos e 5 bilhões de km, a nave atinge a distância de 12,5 mil km da superfície de Plutão, a mais próxima do astro, e começa a enviar as informações para a Terra, por ondas de rádio. Determine

a) a velocidade média v da nave durante a viagem.

Resposta: Aproximadamente 17,5 km/s.

b) o intervalo de tempo Δt que as informações enviadas pela nave, a 5 bilhões de km da Terra, na menor distância de aproximação entre a nave e Plutão, levaram para chegar em nosso planeta.

Resposta: 1,7 ∙ 104 s

c) o ano em que Plutão completará uma volta em torno do Sol, a partir de quando foi descoberto.

Note e adote:

Velocidade da luz = 3 ∙ 108 m/s

Velocidade média de Plutão = 4,7 km/s Perímetro da órbita elíptica de Plutão = = 35,4 ∙ 109 km

1 ano = 3 ∙ 107 s

Resposta: Ano 2181.

207

3. Lei da Gravitação universal

Newton, assim como Kepler, acreditava que alguma força deveria agir sobre os planetas, cujas trajetórias eram elípticas; se assim não fosse, suas trajetórias seriam retilíneas.

Ele supôs que a força exercida sobre os planetas deveria estar dirigida para um ponto fixo central na direção do Sol e que essa força seria semelhante à força que atrai os objetos nas proximidades da Terra.

Para testar essa hipótese, Newton calculou a aceleração centrípeta da Lua e obteve um valor muito pequeno, comparado com a aceleração de 9,8 m/s2 da queda de um objeto (hoje sabemos que a aceleração centrípeta da Lua vale aproximadamente 0,0027 m/s2). Isso o levou a pensar sobre qual seria a explicação para a aceleração decrescer à medida que a distância aumenta. Então, ele concentrou sua atenção em descobrir como seriam as forças entre a Terra e a Lua.

Observação: Representações fora de escala e em cores-fantasia. Fim da observação.

LEGENDA: Órbita da Lua muito alongada devido ao desenho em perspectiva.

O sucesso de sua formulação originou-se da associação de seus questionamentos com a 3ª lei de Kepler. Newton concluiu então que dois corpos se atraem reciprocamente com uma força gravitacional cuja intensidade é diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles.

O sucesso dessa descoberta foi tão grande que a fórmula matemática que expressa tal ideia passou a se chamar lei da Gravitação universal:

CRÉDITO DAS ILUSTRAÇÕES: Editoria de Arte

F = G Mm/d2

em que:

- G: constante de gravitação universal;

- d: distância entre os centros dos dois corpos;

- F: intensidade da força gravitacional.

Sob a ação da força gravitacional os planetas deslocam-se em torno do Sol, e a Lua e os satélites artificiais deslocam-se em torno da Terra. Em cada caso, sempre há pelo menos um par de forças com direção que passa pelo centro dos dois corpos, e sentidos contrários.

O valor da constante G, chamada constante de gravitação universal, não depende dos corpos, do meio que os envolve, nem da distância entre eles, mas apenas do sistema de unidades utilizado; no SI, G = 6,67 ∙ 10-11 N ∙ m2/kg2. A primeira medida dessa constante foi realizada em 1798 por Henry Cavendish (1731-1810)

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3ª edição

São Paulo - 2016

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Copyright © José Roberto Bonjorno, Clinton Marcico Ramos, Eduardo de Pinho Prado, Valter Bonjorno, Mariza Azzolini Bonjorno, Renato Casemiro, Regina de Fátima Souza Azenha Bonjorno

Diretor editorial: Lauri Cericato

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Editores assistentes: Yara Valeri Navas, Eduardo Oliveira Guaitoli

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Projeto gráfico: Aurélio Camilo e Eduardo Benetorio

Projeto de capa: Bruno Attili

Foto de capa: Thais Falcão/Olho do Falcão Modelos da capa: Andrei Lopes, Angélica Souza, Beatriz Raielle, Bruna Soares, Bruno Guedes, Caio Freitas, Denis Wiltemburg, Eloá Souza, Jardo Gomes, Karina Farias, Karoline Vicente, Letícia Silva, Lilith Moreira, Maria Eduarda Ferreira, Rafael Souza, Tarik Abdo, Thaís Souza

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Navegue nesta página:

• Sistema Internacional de Unidades (SI)

O SI estabelece sete unidades de base, cada uma delas correspondente a uma grandeza. No primeiro momento, no estudo da Mecânica, interessa-nos apenas as três primeiras unidades de base das informações ao lado e suas unidades derivadas.

Mesmo não fazendo parte do SI, frequentemente encontramos outras unidades sendo empregadas em determinadas medições. Por exemplo, é mais adequado medir a distância entre duas cidades em quilômetros do que em metros.

Tabela: equivalente textual a seguir.

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1. Existe no Brasil alguma pesquisa sendo desenvolvida no campo da nanotecnologia, pela Física ou pela Química? Faça uma pesquisa e apresente para a sala.

Resposta pessoal. No Brasil, a área de nanotecnologia está em evidência, principalmente nas indústrias farmacêutica, alimentícia, automobilística e também na indústria da produção de cosméticos, na qual atuam pesquisadores de diversas áreas, entre eles muitos físicos e químicos.

Fim do complemento.

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EXPERIMENTO

A medida do tempo

Todos os relógios funcionam seguindo um princípio semelhante, que consiste em contar um ciclo regular que nos permite medir o tempo.

Observado inicialmente por Galileu, no século XVI, o pêndulo simples é um dispositivo cuja periodicidade de oscilação pode ser usada como base para contar o tempo. Isso significa que o pêndulo simples completa um movimento oscilatório, gastando sempre o mesmo intervalo de tempo (período).

Para construir e verificar a periodicidade de um pêndulo simples, você precisará de:

Material

✓ mesa

✓ 1 porca de parafuso suficientemente pesada para que, ao ser amarrada na extremidade da linha, mantenha a linha esticada

✓ fita adesiva, uma régua e uma folha de papel sulfite

✓ cronômetro, que pode ser de relógio de pulso ou de telefone celular

Na folha de papel sulfite, trace com a régua um segmento de reta com 8 cm de comprimento, marcando o seu centro. Nomeie as extremidades dessa reta com as letras A e B e o centro com a letra O.

Com a porca amarrada em uma das extremidades da linha, efetue a montagem descrita a seguir, posicionando a folha de papel sulfite no chão de modo que a porca paire sobre o ponto O marcado na folha. A porca não deve encostar na folha de papel, mas deve estar o mais próximo possível.

Afaste a porca até que fique sobre o ponto A e abandone-a. A porca iniciará um movimento oscilatório em torno do ponto O indo e voltando do ponto A até o ponto B.

Procedimento

1) Usando o cronômetro, meça o tempo necessário para que a porca complete uma oscilação completa partindo do ponto A e retornando ao mesmo ponto. Repita esse procedimento mais duas vezes anotando os resultados obtidos.

2) Abandonando novamente a porca do ponto A, meça o tempo total para que ocorram 10 oscilações completas. Anote o resultado obtido.

CRÉDITO DAS ILUSTRAÇÕES: Editoria de Arte

Agora responda

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1. Você está dentro de um táxi que está parado num semáforo. Ao lado há outro táxi também parado. De repente, você nota que a posição relativa entre os dois carros começa a se alterar, o que lhe dá a sensação de movimento. Qual dos veículos está se movimentando?

Resposta: Em relação ao solo, movimenta-se o táxi que tiver sua posição alterada, mas entre eles os dois estarão em movimento.

2. A trajetória descrita pela válvula do pneu de uma bicicleta vista por um observador na calçada é uma curva chamada cicloide (linha vermelha na ilustração a seguir).

Observação: Representação fora de escala e em cores-fantasia. Fim da observação.

a) Qual é a forma da trajetória dessa válvula, vista pelo ciclista ao desviar a cabeça lateralmente e observar a roda?

Resposta: Circunferência.

b) Qual é a forma da trajetória de um ponto no eixo da roda, vista pelo observador na calçada? E pelo ciclista?

Resposta: Para um observador na calçada, é uma reta; para o ciclista, um ponto.

3. (UFRJ) Heloísa, sentada na poltrona de um ônibus, afirma que o passageiro sentado à sua frente não se move, ou seja, está em repouso. Ao mesmo tempo, Abelardo, sentado à margem da rodovia, vê o ônibus passar e afirma que o referido passageiro está em movimento.

Observação: Representação fora de escala e em cores-fantasia. Fim da observação.

CRÉDITO DAS ILUSTRAÇÕES: Paulo César Pereira

De acordo com os conceitos de movimento e repouso usados em Mecânica, explique de que maneira devemos interpretar as afirmações de Heloísa e Abelardo para dizer que ambas estão corretas.

Resposta: Movimento e repouso dependem do referencial. Heloísa usou como referencial o ônibus, e Abelardo usou o solo.

4. Posição em uma trajetória

No estudo do movimento de um ponto material sobre uma trajetória são observadas as posições ocupadas por ele ao se deslocar.

Observação: Representação fora de escala e em cores-fantasia. Fim da observação.

CRÉDITO: Editoria de Arte

Quando viajamos por uma estrada, é comum haver placas indicando a quilometragem de cada ponto da via, que servem para nos localizarmos durante o percurso. A informação contida nas placas se refere à distância do ponto onde elas estão fixadas até o ponto definido como origem, que pode ser o centro da capital do estado, no caso das rodovias radiais estaduais. No exemplo acima, a placa com a indicação km 15 informa que a distância desse ponto até o centro da capital do estado em que essa rodovia foi construída é de 15 quilômetros.

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De forma geral, para determinar a posição do corpo na trajetória num determinado instante, medimos a distância sobre a trajetória, do ponto onde ele está até o ponto considerado como origem O. Essa medida algébrica indica a posição do corpo e é representada pela letra s (do inglês space).

Observação: Representação fora de escala e em cores-fantasia. Fim da observação.

Por exemplo, na trajetória a seguir, temos:

A posição do carro no instante t = 14 h é s = 80 km.

Repare que os valores crescentes das posições a partir da origem indicam um sentido crescente nessa rodovia.

5. Função horária

A Cinemática se restringe apenas a descrever o movimento. Isso é possível com a escolha adequada de um referencial e, com base nele, com o registro matemático de grandezas como posição, velocidade e aceleração no decorrer do tempo.

A função horária das posições é uma sentença matemática que relaciona as sucessivas posições de um corpo com o passar do tempo.

Como exemplo, vamos considerar uma pessoa que se encontra a 20 m da casa onde mora (origem da trajetória). Considere a pessoa caminhando depressa, com velocidade constante de 2 m/s, no sentido contrário de sua casa e com a numeração dos imóveis aumentando. Qual é a sua posição após 5 s de movimento?

Como sua velocidade é constante e de 2 m/s, em 5 s, ela percorre 10 m e, como saiu da posição 20 m, após 5 s encontra-se a 30 m da casa. Matematicamente, podemos determinar as posições com o passar do tempo pela função horária: s = 20 + 2t (s em metros e t em segundos).

Vamos determinar as posições referente a esse movimento, para o intervalo de tempo desde t = 0 até t = 5 s.

A cada valor atribuído a t, calculamos, por meio da função indicada, o valor correspondente de s. Sendo s = 20 + 2 ∙ t, temos:

t = 0 ⇒ s = 20 + 2 ∙ 0 = 20 m

t = 1 s ⇒ s = 20 + 2 ∙ 1 = 22 m

t = 2 s ⇒ s = 20 + 2 ∙ 2 = 24 m

t = 3 s ⇒ s = 20 + 2 ∙ 3 = 26 m

t = 4 s ⇒ s = 20 + 2 ∙ 4 = 28 m

t = 5 s ⇒ s = 20 + 2 ∙ 5 = 30 m

Observação: Representação fora de escala e em cores-fantasia. Fim da observação.

CRÉDITO DAS ILUSTRAÇÕES: Paulo César Pereira

Tabela: equivalente textual a seguir.

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A característica básica do movimento uniforme é que a velocidade escalar instantânea do móvel permanece constante no decorrer do tempo. A consequência direta desse fato é que o móvel percorre distâncias iguais em intervalos de tempo iguais.

CRÉDITO: Editoria de Arte

Carro em MU a 60 km/h.

Boxe complementar:

PENSANDO AS CIÊNCIAS: Física e Esporte

A mecânica nos esportes

Natação

A natação é um esporte que tem evoluído bastante em suas técnicas ao longo dos anos. O estudo da propulsão, da sustentação e da resistência da água tem trazido soluções para aumentar a velocidade dos nadadores.

A velocidade do nadador

A velocidade do nadador depende do comprimento de sua braçada, que é a distância percorrida pelo braço dentro da água, e da frequência da braçada, que é o número de braçadas que ele dá por minuto. Aumentando uma delas, a outra diminui. Ele tem que conseguir balancear as duas coisas para obter o melhor resultado, dentro de cada estilo.

[...]

Atletismo

Dos esportes olímpicos, o mais popular é sem dúvida a corrida. Desde a roupa e os calçados até as características físicas do atleta influem nos resultados obtidos nessa modalidade.

O comprimento das passadas

Para atingir uma alta velocidade o atleta depende do tamanho da passada e de sua frequência. Um dos fatores que determinam o comprimento da passada é a distância de impulsão, ou seja, a distância horizontal entre a ponta do pé que fica no chão e o centro de gravidade do atleta (próximo ao umbigo).

[...]

GREF (Grupo de Reelaboração do Ensino de Física). Leituras de Física: Mecânica - para ler, fazer e pensar. São Paulo: Edusp, 1998. p. 4. Versão preliminar.

Agora responda

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

NÃO ESCREVA NO LIVRO

14. (UEPB) Em um dado trecho reto e plano de uma rodovia, estão se movendo os carros A , B, C e D , com velocidades e posições indicadas na figura.

CRÉDITO: Editoria de Arte

Com base nessas informações, analise as proposições a seguir e assinale a correta.

a) Para o motorista A (observador em A), o carro B está se aproximando com uma velocidade de 20 km/h.

b) Para o motorista B (observador em B), o carro C está se afastando com uma velocidade de 10 km/h.

c) Para o motorista D (observador em D), o carro C está se afastando com uma velocidade de 110 km/h.

d) Para o motorista A (observador em A), o carro D está se aproximando com uma velocidade de 20 km/h.

e) Para o motorista C (observador em C), o carro A está se aproximando com uma velocidade de 130 km/h.

Resposta correta: d.

15. (UFU-MG) Dois trens se deslocam sobre trilhos paralelos, em movimento retilíneo uniforme.

CRÉDITO: Editoria de Arte

Determine:

a) o intervalo de tempo para que um trem ultrapasse completamente o outro, a partir da posição indicada na figura;

Resposta: 14,4 s

b) o correspondente deslocamento de cada um dos trens.

Resposta: 288 m e 216 m

16. (Unitau-SP) Uma motocicleta com velocidade constante de 20 m/s ultrapassa um trem de comprimento 100 m e velocidade 15 m/s. A duração da ultrapassagem é:

a) 5 s

b) 15 s

d) 25 s

Resposta correta: c.

17. Dois trens, A e B, movem-se em trajetórias retilíneas e paralelas, com velocidades constantes de 60 km/h e 40 km/h, respectivamente. O trem A mede 0,15 km, e o trem B mede 0,25 km. Determine o intervalo de tempo de ultrapassagem do trem mais veloz pelo trem mais lento, nos seguintes casos:

a) movimentam-se em sentidos contrários;

Resposta: 14,4 s

b) movimentam-se no mesmo sentido.

Resposta: 72 s

18. (Fuvest-SP) Dois carros A e B movem-se no mesmo sentido, em uma estrada reta, com velocidades constantes vA = 100 km/h e vB = 80 km/h, respectivamente.

a) Qual é, em módulo, a velocidade do carro B em relação a um observador no carro A?

Resposta: 20 km/h

b) Em um dado instante, o carro B está 600 m à frente do carro A . Quanto tempo, em horas, decorre até que A alcance B?

Resposta: 0,03 h

19. (UFRJ) Dois trens, um de carga e outro de passageiros, movem-se nos mesmos trilhos retilíneos, em sentidos opostos, um aproximando-se do outro, ambos com movimentos uniformes. O trem de carga, de 50 m de comprimento, tem uma velocidade de módulo igual a 10 m/s e o de passageiros, uma velocidade de módulo igual a v. O trem de carga deve entrar num desvio para que o de passageiros possa prosseguir viagem nos mesmos trilhos, como ilustra a figura. No instante focalizado, as distâncias das dianteiras dos trens ao desvio valem 200 m e 400 m, respectivamente.

CRÉDITO: Paulo César Pereira

Calcule o valor máximo de v para que não haja colisão.

Resposta: ≤ 16 m/s

20. (PUC-MG) Quando navega a favor da correnteza, um barco desenvolve 40 km/h navegando contra, faz 30 km/h. Para ir de A até B, pontos situados na mesma margem, gasta três horas menos que na volta. A distância entre A e B é de:

a) 360 km

b) 420 km

c) 240 km

d) 300 km

e) 180 km

Resposta correta: a.

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Filas no trânsito e trânsito parado

Qual deve ser a sequência de fechamento e abertura dos sinais de trânsito nos cruzamentos para que um tráfego intenso flua tranquilamente em uma rua, sem engarrafamentos? A sequência deve mudar quando chega a hora de maior movimento? Por que o esquema falha às vezes, como em uma tempestade, quando os cruzamentos ficam bloqueados, paralisando o trânsito?

LEGENDA: Cruzamento de ruas.

CRÉDITO: João Prudente/Pulsar

LEGENDA: Trânsito congestionado em dia de chuva.

CRÉDITO: Dario Oliveira/Futura Press

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Resposta: Os carros se movimentam em filas de trânsito. Imagine que uma fila tenha parado no sinal vermelho no cruzamento 1. Quando o sinal abre, os primeiros da fila aceleram até atingirem uma certa velocidade de cruzeiro. Antes de alcançarem o cruzamento 2, o sinal correspondente deve abrir para que eles não sejam obrigados a reduzir a velocidade. Conhecendo a distância entre os cruzamentos, a aceleração típica dos primeiros da fila e o tempo gasto na velocidade de cruzeiro, é possível calcular quando o sinal do cruzamento 2 deve abrir.

Os carros mais atrós na fila não partem imediatamente porque uma onda de ativação tem que chegar a eles (os motoristas não pisam no acelerador simultaneamente). Esse tempo pode chegar a dezenas de segundos. Se o fim da fila sofre um atraso muito grande, é bloqueado pelo sinal vermelho seguinte, no cruzamento 2. Suponha que a fila seguinte seja tão comprida ou mais que a anterior. Nesse caso, o número de carros parados no próximo sinal vermelho no cruzamento 2 aumenta.

A situação se agrava se as filas continuarem a ser longas. A linha de carros parados no cruzamento 2 pode aumentar até se estender de volta até o cruzamento 1 e bloquear o trófego. Nesse caso, o trânsito para. Para resolver o problema, a sequência de fechamento dos sinais dos cruzamentos 1 e 2 tem que ser invertida: o sinal do cruzamento 2 tem que abrir antes do sinal do cruzamento 1, para que os carros parados no cruzamento 2 possam sair antes que chegue a próxima fila de trânsito. A mudança na sequência pode ser feita manualmente ou por um computador que monitore o número de carros parados no cruzamento 2.

As filas também se formam nos túneis (principalmente quando a mudança de faixa é proibida) e nas estradas de mão dupla. Nos dois casos, uma fila começa quando carros mais rópidos encontram um veículo mais lento, como, por exemplo, um caminhão. Nas estradas de mão dupla, a fila desaparece quando os motoristas conseguem ultrapassar o veículo lento.

WALKER, Jearl. O circo voador da Física. 2ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.

Agora responda

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5. Qual é a diferença entre o movimento retilíneo uniformemente acelerado e o movimento retilíneo uniformemente retardado?

Resposta: MRUA: velocidade aumenta com aceleração constante. MRUR: velocidade diminui com aceleração constante.

6. Um carro percorre um trecho retilíneo de uma estrada e sua velocidade varia com o tempo de acordo com as informações abaixo.

Tabela: equivalente textual a seguir.

Resposta: 0 s a 4 s; 12 s a 20 s

b) Em que intervalo de tempo a aceleração é nula?

Resposta: 4 s a 12 s

c) Em qual intervalo o movimento do carro é uniformemente variado?

Resposta: 0 s a 4 s; 12 s a 16 s

7. Em uma corrida que durou 10 segundos da largada até a chegada, um corredor apresentou a variação de velocidade representada a seguir.

Tabela: equivalente textual a seguir.

a) a aceleração escalar média do corredor no primeiro segundo do movimento;

Resposta: 10 m/s2

b) a distância percorrida por ele durante os 4 segundos finais;

Resposta: 40 m

c) a velocidade escalar média do corredor durante a segunda metade da prova.

Resposta: 10 m/s

8. Um motociclista executa um movimento retilíneo uniformemente variado. A função horária da velocidade dele é v = 4 + 2t, com v em metros por segundo e t em segundos.

a) Quais os valores da velocidade inicial e da aceleração do motociclista?

Resposta: v0 = 4 m/s; a = 2 m/s2

b) Em qual instante o motociclista inverte o sentido do movimento?

Resposta: Não inverte.

c) O movimento é acelerado ou retardado no instante 10 s?

Resposta: Acelerado.

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Posição em função do tempo [s = f(t)]

Considere um móvel que percorre, com movimento retilíneo uniformemente variado, a trajetória representada na figura:

em que:

- s0: posição do móvel no instante t0 = 0

- v0: velocidade do móvel no instante t0 = 0

- s : posição do móvel no instante t

- v: velocidade do móvel no instante t

- a: aceleração

O gráfico da função v = v0 + at é representado por uma reta. A área do trapézio fornece, numericamente, o espaço percorrido Δs no intervalo de tempo Δt = t - t0.

CRÉDITO DAS ILUSTRAÇÕES: Editoria de Arte

Como v0 = v + at e Δs = s - s0, substituindo em (1), temos:

(função horária da posição)

Trata-se de uma função polinomial do 2º grau em relação a t e, por causa da variação da velocidade, o móvel já não percorre espaços iguais em tempos iguais, como no movimento uniforme.

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Do gráfico anterior temos:

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EXERCÍCIO RESOLVIDO

7. O gráfico da velocidade de subida de um elevador em função do tempo é apresentado a seguir:

Com base no gráfico, pede-se:

a) a classificação do movimento;

b) a função v = f(t);

c) o valor do deslocamento do elevador durante sua subida;

d) a velocidade escalar média no intervalo de 0 a 4 s.

Resolução

a) O gráfico expressa três movimentos diferentes do elevador:

- Trecho I: de 0 a 4 s, em que sua velocidade cresce continuamente ⇒ movimento retilíneo uniformemente acelerado.

- Trecho II: de 4 s a 12 s, quando a velocidade permanece constante em 2 m/s ⇒ movimento retilíneo uniforme.

- Trecho III: de 12 s a 16 s, em que a velocidade do elevador diminui continuamente até parar ⇒ movimento retilíneo uniformemente retardado.

CRÉDITO DAS ILUSTRAÇÕES: Editoria de Arte

b) Para cada um dos três trechos do gráfico existe uma função horária:

- Trecho I: MRUV, pois a velocidade varia linearmente. A velocidade inicial é determinada pelo início do trecho no gráfico: t = 0 ⇒ v0I = 0

A aceleração é calculada pela tangente do ângulo α:

Logo, a aceleração é de 0,5 m/s2 .

Função horária da velocidade desse trecho é: vI = v0I + aIt ⇒ vI = 0,5t.

- Trecho II: MRU, pois a velocidade permanece constante em 2 m/s.

- Trecho III: MRUV, pois a velocidade varia linearmente.

A velocidade inicial é determinada pelo início do trecho no gráfico, em t = 12 s ⇒ v0III = 2 m/s.

Para obter a tangente do ângulo β, precisamos prestar muita atenção no triângulo retângulo formado, a fim de identificar corretamente as velocidades e os tempos inicial e final:

Logo, a aceleração é de -0,5 m/s2

Função horária da velocidade para esse trecho: vIII = v0III + aIIIt ⇒ vIII = 2 - 0,5t.

c) O deslocamento do elevador é calculado pela área A compreendida entre os instantes 0 e 16 s. O gráfico tem a forma de um trapézio, de base maior 16, base menor 8 e altura 2.

Logo, o elevador deslocou-se 24 m na subida.

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d) As velocidades escalares médias dos trechos I e III são iguais, pois se trata de trechos de curva simétricos. Logo:

vmI = vmIII = ΔsI/ΔtI

O deslocamento Δs pode ser obtido calculando a área do trecho I, que forma um triângulo:

Assim:

vmI = vmIII = ΔsI/ΔtI = 4/4 = 1 m/s

Ou ainda, pela leitura do gráfico (só para MUV):

Portanto, nos trechos I e III, as velocidades escalares médias foram de 1 m/s, e no trecho II, a velocidade escalar média é a mesma velocidade escalar de qualquer instante, pois ela é constante: vmII = 2 m/s.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

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Vamos observar o movimento uniformemente variado de uma chave que desliza por um barbante amarrado na maçaneta de uma porta e revisar alguns conceitos sobre esse movimento.

Material

✓ pedaço de barbante de 2,5 metros

✓ 1 chave que não seja muito pesada

✓ fita métrica

✓ 1 caneta hidrográfica

✓ cronômetro, que pode ser de relógio ou de telefone celular

Procedimento

1) Amarre uma das extremidades do barbante na maçaneta da porta. Sobre o barbante esticado, faça três marcações com 1 metro de distância entre elas utilizando a caneta hidrográfica.

2) Introduza a extremidade livre do pedaço de barbante no orifício da chave, movendo-a para as proximidades da fechadura.

3) Agora, incline o barbante para baixo enquanto um colega mantém a chave na marcação do barbante mais próxima da maçaneta.

4) Assim que esse colega soltar a chave, outro aciona o cronômetro, travando-o quando a chave chegar à marcação no meio do barbante. Anote o valor obtido no cronômetro.

5) Sem alterar a inclinação do barbante, repita o procedimento anterior cronometrando agora o movimento da chave da primeira até a última marcação. Anote mais uma vez o valor obtido no cronômetro.

CRÉDITO: Paulo César Pereira

Agora responda

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1. Imagine esta situação hipotética: um objeto parte de uma altura superior a 11 000 m em queda livre, ou seja, sem sofrer os efeitos da resistência do ar. Podemos afirmar que esse objeto executa um movimento uniformemente variado se adotarmos a aceleração igual a 9,8 m/s2?

Resposta: Não, pois acima de 11.000 m a variação de 0,049 m/s2 no valor da aceleração da gravidade afeta o valor 9,8 m/s2 e, portanto, a aceleração deixa de ser constante.

2. Outra situação hipotética: que velocidade um Bugatti Veyron atingiria, partindo do repouso, se pudesse acelerar tal qual um pequeno avião durante uma manobra de looping em 2,5 s?

Resposta: Aproximadamente 349 km/h.

Fim do complemento.

Boxe complementar:

PENSE E RESPONDA

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1   ...   90   91   92   93   94   95   96   97   ...   438

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UNIDADE 3 - Cinemática vetorial

LEGENDA: Na imagem, temos a Esquadrilha da Fumaça durante uma apresentação. Nela, podemos ver a direção do movimento dos aviões indicada pela fumaça, assim conhecemos a trajetória de cada um deles.

CRÉDITO: Dr Ajay Kumar Singh/Shutterstock.com

A FÍSICA AO NOSSO REDOR

Iniciamos agora o estudo dos movimentos utilizando os vetores. Embora não tão frequentes no cotidiano da maioria das pessoas, os conceitos da Cinemática vetorial são imprescindíveis aos que trabalham com o deslocamento ou o transporte aéreo, marítimo e terrestre.

- Você sabe como um piloto de avião deve orientar a aeronave ao realizar um trajeto de norte a sul, enfrentando um vento que sopra do leste para oeste?

Page 14

Com o valor médio da distância encontrada e com o módulo da aceleração da gravidade (g = 9,8 m/s²), descubra o tempo de queda da régua para encontrar o seu tempo de reação.

Resposta pessoal.

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MAIS ATIVIDADES

1. (FMABC-SP) Um rapaz inicia sua caminhada matinal em uma praça quadrada de 100 m de lado. Por sofrer de um transtorno psicológico ele, para cada 3 passos que dá para frente, dá 2 passos para trás. Se cada passo do rapaz é dado a cada segundo e tem 1 m de comprimento (valores supostos constantes), qual o valor de sua velocidade média, em unidades do sistema internacional, após ele completar uma volta nessa praça?

Observação: Representação fora de escala e em cores-fantasia. Fim da observação.

CRÉDITO: Paulo César Pereira

a) 0,2

c) 1,0

Resposta correta: a.

2. (Unicamp-SP) Drones são veículos voadores não tripulados, controlados remotamente e guiados por GPS. Uma de suas potenciais aplicações é reduzir o tempo da prestação de primeiros socorros, levando pequenos equipamentos e instruções ao local do socorro, para que qualquer pessoa administre os primeiros cuidados até a chegada de uma ambulância. Considere um caso em que o drone ambulância se deslocou 9 km em 5 minutos. Nesse caso, o módulo de sua velocidade média é de aproximadamente

a) 1,4 m/s.

b) 30 m/s.

c) 45 m/s.

d) 140 m/s.

Resposta correta: b.

3. (UFRGS-RS) Trens MAGLEV, que têm como princípio de funcionamento a suspensão eletromagnética, entrarão em operação comercial no Japão, nos próximos anos. Eles podem atingir velocidades superiores a 550 km/h. Considere que um trem, partindo do repouso e movendo-se sobre um trilho retilíneo, é uniformemente acelerado durante 2,5 minutos até atingir 540 km/h.

Nessas condições, a aceleração do trem, em m/s2, é

a) 0,1.

b) 1.

d) 150.

Resposta correta: b.

4. (Unicamp-SP) A demanda por trens de alta velocidade tem crescido em todo o mundo. Uma preocupação importante no projeto desses trens é o conforto dos passageiros durante a aceleração.

Sendo assim, considere que, em uma viagem de trem de alta velocidade, a aceleração experimentada pelos passageiros foi limitada a amax = 0,09g, onde g = 10 m/s2 é a aceleração da gravidade.

Se o trem acelera a partir do repouso com aceleração constante igual a amax, a distância mínima percorrida pelo trem para atingir uma velocidade de 1.080 km/h corresponde a

a) 10 km.

b) 20 km.

c) 50 km.

d) 100 km.

Resposta correta: c.

5. (UFRJ) Um avião vai decolar em uma pista retilínea. Ele inicia seu movimento na cabeceira da pista com velocidade nula e corre por ela com aceleração média de 2,0 m/s2 até o instante em que levanta voo, com uma velocidade de 80 m/s, antes de terminar a pista.

a) Calcule quanto tempo o avião permanece na pista desde o inicio do movimento até o instante em que levanta voo.

Resposta: 40 s

b) Determine o menor comprimento possível dessa pista.

Resposta: 1.600 m

6. (UFRGS-RS) Em 2014, comemoraram-se os 50 anos do início da operação de trens de alta velocidade no Japão, os chamados trens-bala. Considere que um desses trens desloca-se com uma velocidade constante de 360 km/h sobre trilhos horizontais. Em um trilho paralelo, outro trem desloca-se também com velocidade constante de 360 km/h, porém em sentido contrário. Nesse caso, o módulo da velocidade relativa dos trens, em m/s, é igual a

a) 50.

b) 100.

d) 360.

Resposta correta: c.

7. (Unifesp-SP) Dois veículos, A e B, partem simultaneamente de uma mesma posição e movem-se no mesmo sentido ao longo de uma rodovia plana e retilínea durante 120 s. As curvas do gráfico representam, nesse intervalo de tempo, como variam suas velocidades escalares em função do tempo.

CRÉDITO: Editoria de Arte

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1. Quais tipos de radar você conhece ou já ouviu falar?

Resposta esperada: Radar de velocidade, detecção de tempestade, tráfego aéreo, finalidades bélicas etc.

2. O ser humano consegue detectar objetos a distância, com instrumentos que utilizam ondas eletromagnéticas. Mas alguns animais são capazes de fazer isso sozinhos. Faça uma pesquisa e cite alguns deles.

Resposta: Morcego, golfinho, baleia, pombo etc.

3. Represente, utilizando vetores, como um objeto pode ser detectado por um dos animais citados acima.

Resposta:

CRÉDITO: Paulo César Pereira

Fim do complemento.

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CAPÍTULO 6 - Elementos da Cinemática vetorial

CAPÍTULO 7 - Composição de movimentos e lançamentos

CAPÍTULO 8 - Movimento circular

LEGENDA: Durante a descida e o salto na megarrampa, cuja estrutura tem 112 m de comprimento e 30 m de altura, a direção e o sentido do movimento variam o tempo todo.

CRÉDITO: Kathryn Scott Osler/The Denver Post/Getty Images

LEGENDA: Embora os atletas tentem nadar em determinada direção, as correntes marítimas os deslocam para outra. Por isso, devem verificar a direção periodicamente para alcançar o ponto desejado.

CRÉDITO: Andreas Solaro/AFP/Getty Images

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CAPÍTULO 6 - Elementos da Cinemática vetorial

1. Grandezas escalares e grandezas vetoriais

Ao medir a temperatura de um paciente, a enfermeira constatou que ele estava com febre, pois o termômetro marcou 38 °C. Ela o encaminhou ao médico, que receitou então ao paciente 5 mL de um medicamento antitérmico.

LEGENDA: A temperatura é um exemplo de grandeza física escalar.

CRÉDITO: wavebreakmedia/Shutterstock.com

Na cena descrita, que poderia ocorrer em um posto de saúde, são citadas duas grandezas físicas: a temperatura (38 °C) e o volume (5 mL). Essas grandezas físicas são chamadas de escalares, pois sua expressão depende simplesmente de um valor numérico e de uma unidade de medida. Assim como a temperatura e o volume, também são exemplos de grandezas físicas escalares a massa, o tempo, a área e o comprimento.

Existem grandezas físicas, no entanto, que não ficam claramente caracterizadas apenas pela expressão de um valor numérico e de uma unidade de medida. Por exemplo: para se mover do heliporto a um destino específico, um helicóptero deve voar 20 km. Embora sejam conhecidos valor numérico e unidade de medida, ainda faltam informações para caracterizar de maneira completa esse deslocamento. O piloto só chegará ao destino se também souber a direção e o sentido em que deverá seguir.

LEGENDA: A velocidade é um exemplo de grandeza física vetorial.

CRÉDITO: Sylvain Grandadam/age fotostock/Easypix

Para expressar o deslocamento de um móvel, são necessários um valor numérico, uma unidade de medida, uma direção e um sentido. Esses elementos caracterizam uma grandeza física vetorial.

A representação gráfica de uma grandeza física vetorial é feita por um segmento de reta com uma seta em uma de suas extremidades denominado vetor. O comprimento do vetor é proporcional ao valor numérico da grandeza física que ele representa, a reta suporte (r) indica a direção e a seta indica o sentido.

CRÉDITO: Editoria de Arte

Além do deslocamento, outras grandezas físicas, como a velocidade, a aceleração e a força, têm caráter vetorial. Quando estudamos fenômenos nos quais essas grandezas estão envolvidas, frequentemente realizamos operações como adição e subtração, entre outras. Embora estejamos acostumados a realizar essas operações com números, com vetores os procedimentos são um pouco diferentes.

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2. Vetor deslocamento

Para ir da cidade A à cidade B, um automóvel percorre o trajeto em azul indicado na figura em 1 hora. A quilometragem observada pelo motorista no hodômetro do automóvel, no fim desse percurso, é de 80 km. Ligando a cidade A à cidade B por um vetor, verificamos, com uma escala, que a medida desse vetor corresponde a 50 km.

O vetor d representado na figura abaixo, que une a posição inicial à posição final da trajetória de um móvel, é denominado vetor deslocamento.

- É necessário discernir as duas grandezas distintas que se relacionam com o movimento desse automóvel: A grandeza escalar corresponde ao comprimento da trajetória ou variação de posição. No caso, Δs = 80 km.

- A grandeza vetorial tem orientação e módulo ligados apenas aos pontos inicial e final. No caso, de A para B, com |d| = 50 km.

Observe que o módulo do vetor deslocamento não pode ser maior que o módulo da variação de posição.

∣d∣ ≤ ∣Δs∣

Se a trajetória for retilínea, como ilustra a figura abaixo: ∣d∣ = ∣Δs∣.

CRÉDITO DAS ILUSTRAÇÕES: Editoria de Arte

3. Velocidade vetorial

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NÃO ESCREVA NO LIVRO

Calcule:

Resposta: 10 m/s

b) a distância entre os veículos, em metros, no instante t = 60 s.

Resposta: 480 m

8. (UFSC) Uma pedra A é lançada para cima com velocidade inicial de 20 m/s. Um segundo antes, outra pedra B era largada de uma altura de 35 m em relação ao solo. Supondo o atrito com o ar desprezível, no instante em que elas se encontram, é CORRETO afirmar que:

01. a aceleração da pedra A tem sentido oposto à aceleração da pedra B.

02. o módulo da velocidade da pedra B é de 20 m/s.

04. o módulo da velocidade da pedra A é de 10 m/s.

08. a distância percorrida pela pedra A é de 16 m.

16. a posição da pedra B em relação ao solo é de 20 m.

Respostas corretas: (02); (04). 02 + 04 = 06

9. (Udesc-SC) Um automóvel de passeio, em uma reta longa de uma rodovia, viaja em velocidade constante de 100 km/h e à sua frente, à distância de 1,00 km, está um caminhão que viaja em velocidade constante de 80,0 km/h.

O automóvel tem de comprimento 4,50 m e o caminhão 30,0 m. A distância percorrida pelo carro até ultrapassar completamente o caminhão é, aproximadamente, igual a:

a) 517 m

c) 515 m

e) 5,17 km

Respostas corretas: e.

10. (UFAC) Um automóvel se desloca em uma estrada retilínea com velocidade constante. A figura mostra as suas posições, anotadas com intervalos de 1 h, contados a partir do quilômetro 20, onde se adotou o instante t = 0:

CRÉDITO: Editoria de Arte

Com a posição s em quilômetros e o tempo t em horas, escreva a função horária das posições para esse movimento .

Resposta: s = 20 + 30t

11. (Unicamp-SP) Para dirigir prudentemente, recomenda-se manter do veículo da frente uma distância mínima de um carro (4,0 m) para cada 16 km/h. Um carro segue um caminhão em uma estrada, ambos a 108 km/h.

a) De acordo com a recomendação acima, qual deveria ser a distância mínima separando os dois veículos?

Resposta: 27 m

b) O carro mantém uma separação de apenas 10 m quando o motorista do caminhão freia bruscamente. O motorista do carro demora 0,50 s para perceber a freada e pisar em seu freio. Ambos os veículos percorreriam a mesma distância até parar após acionarem os seus freios. Mostre numericamente que a colisão é inevitável.

Resposta: Por causa do tempo de reflexo, o motorista do carro necessita de 5 m a mais do que o caminhão para parar.

12. (UFMS) Um policial está à beira de uma estrada observando um aparelho de radar que tem um alcance de 1.000 m. Ao olhar um automóvel que se desloca na direção do radar pela estrada retilínea, o policial observou que ele vinha diminuindo a sua velocidade. Olhando para o radar, o policial anotou os seguintes dados:

Tabela: equivalente textual a seguir.

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LEGENDA: Para intervalos de tempo cada vez menores, a direção de → m tende à tangente da curva no ponto A.

Como vimos, velocidade instantânea é a variação do espaço em um intervalo correspondente de tempo extremamente pequeno.

Portanto, para Δt tendendo a zero (o instante t 2 é praticamente igual ao instante t 1), o vetor velocidade média é denominado vetor velocidade instantânea e indicado por v .

Considere o movimento de um móvel percorrendo a trajetória curvilínea da figura, no sentido de A para B.

Desse modo, pode-se então concluir que a direção do vetor velocidade instantânea num ponto da trajetória é tangente à trajetória nesse ponto. O sentido do vetor v é o mesmo do movimento.

Considere um carrinho de montanha-russa que trafega em movimento uniforme. Suas velocidades são descritas em três posições.

Embora as três velocidades vetoriais representadas na trajetória tenham módulos iguais, eles são vetores diferentes, vA ≠ vB ≠ vC, pois as direções da tangente em cada ponto são distintas.

CRÉDITO DAS ILUSTRAÇÕES: Editoria de Arte

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Boxe complementar:

PENSE E RESPONDA

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Até então estudamos a velocidade média como grandeza escalar. Trata-se do quociente entre a variação de posição Δs e o correspondente intervalo de tempo Δt.

vm = Δs/Δt velocidade escalar média

A partir de agora, a velocidade média será tratada como grandeza vetorial e definida da seguinte forma: o quociente entre o vetor deslocamento d e o correspondente intervalo de tempo Δt.

vm = d/Δt velocidade vetorial média

O vetor velocidade média vm tem a mesma direção e o mesmo sentido do vetor deslocamento d, pois é obtido pela multiplicação do número positivo 1/Δt pelo vetor d, e seu módulo é dado por:

∣vm∣ = ∣d∣/Δt

No caso do automóvel que realizou a viagem entre as cidades A e B em 1 hora, temos:

vm = Δs/Δt ⇒ vm = 80 km/1h ⇒ vm = 80 km/h

∣vm∣ = ∣d∣/Δt ⇒ ∣vm∣ = 50 km/1 h ⇒ ∣vm∣ = 50 km/h

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Boxe complementar:

Page 20

(01) o motorista respeitou, desde o início do trecho, a velocidade máxima permitida.

(02) o motorista diminui a velocidade à razão de 5 m/s a cada segundo.

(04) apenas após 2 s o motorista atingiu o limite de velocidade da estrada.

(08) apenas após 1 s o motorista atingiu o limite de velocidade da estrada.

(16) o carro estava a 972,5 m do posto policial quando atingiu a velocidade máxima permitida.

Dê como resposta a soma dos números das afirmações corretas.

Respostas corretas: (02); (08); (16). Soma = 02 + 08 + 16 = 26

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A HISTÓRIA CONTA

A queda no plano inclinado

LEGENDA: Galileu Galilei (1564-1642), matemático e físico italiano, descreveu matematicamente o movimento acelerado.

CRÉDITO: Justus Sustermans (detalhe). c.1639. Óleo sobre tela. National Maritime Museum, Greenwich, Londres

Você já ouviu falar que Galileu deixou cair balas de canhão da Torre de Pisa? Em torno de um cientista famoso ou de uma descoberta importante sempre surge uma lenda. Aqui vai mais uma.

Conta-se que, para investigar a queda dos corpos, Galileu soltou balas de canhão e de fuzil, de massas diferentes, do alto da famosa Torre de Pisa, na Itália. Mas, até agora, ninguém tem provas de que isso aconteceu de fato e, se o tivesse feito, talvez não chegasse às mesmas conclusões. O que Galileu fez na cidade de Pisa foram estudos em um plano inclinado, com fins experimentais.

É certo que ele nasceu em Pisa, em 1564, e foi professor de Matemática na universidade da cidade. Lembre que, naquele tempo, não havia divisões de áreas de conhecimento como temos hoje (Física, Matemática, Química etc.). Esses conhecimentos eram reunidos sob o nome de Filosofia natural.

Entre outros estudos, Galileu se debruçou sobre o problema da queda dos corpos, ou sobre o movimento de um corpo em queda livre. Ele queria medir a aceleração dos corpos que caem, mas em queda livre seria bem difícil observar e medir diretamente o movimento.

Foi então que ele teve a ideia de usar um plano inclinado, com o qual poderia analisar o movimento de um corpo que sofre uma aceleração menos acentuada do que a aceleração da gravidade. Galileu deixou rolar balas ou bolas feitas de bronze pelo plano e mediu o tempo em que esses objetos percorriam o plano, ou até a metade do percurso, ou até um quarto, ou até dois terços, ou até um terço, e assim sucessivamente. Das medições que obteve, estabeleceu uma relação entre a distância percorrida e o tempo de queda. Assim, concluiu que a queda dos corpos se dá em um movimento uniformemente acelerado, e não em um movimento acelerado, como se pensava até aquele momento.

A queda dos corpos sempre foi um assunto intrigante para os estudiosos e pensadores. Aristóteles, no século IV a.C., achava que a ação de uma força constante implicaria o movimento uniforme. Ou seja, uma força constante manteria a velocidade.

Por volta de 1600, ao publicar um trabalho no qual relata os estudos com o plano inclinado, Galileu se opõe à teoria aristotélica, em voga há quase dois mil anos.

Talvez hoje o trabalho de Galileu nos pareça algo comum, mas na sua época não era. Com seus estudos sobre o plano inclinado, Galileu começou a dar forma ao que hoje todo cientista experimental faz em seu trabalho. Ele é um dos grandes responsáveis pelo que hoje chamamos de metodologia científica, trocando a abordagem qualitativa, adotada anteriormente, pela abordagem quantitativa e descritiva dos fenômenos observados.

LEGENDA: Diagrama de Galileu sobre o movimento de queda dos corpos.

CRÉDITO: Science Source/Latinstock

Page 21

EXPERIMENTO

Tempo de reação

O tempo de reação das pessoas aos estímulos externos é importante em diversas atividades do dia a dia em que são exigidas respostas rápidas. Podemos perceber a influência do tempo de reação em atividades profissionais como as de goleiros, pilotos de avião e de corrida, ou em atividades corriqueiras como tentar pegar um objeto que cai repentinamente, andar de bicicleta ou de skate, dirigir um veículo ou jogar bola, pingue-pongue, videogame etc.

Muitos acidentes automobilísticos são causados quando motoristas se deparam com situações inesperadas e demoram a reagir. Fatores como sonolência, ingestão de bebidas alcoólicas e uso do telefone celular podem aumentar perigosamente o tempo de reação.

Para uma pessoa saudável, em condições normais, estima-se que o tempo médio de reação é em torno de cinco décimos de segundo, ou seja, 0,5 s, podendo variar de pessoa para pessoa e de acordo com o nível de atenção. Embora pequeno, esse intervalo de tempo pode influenciar consideravelmente no desempenho de diversas atividades.

Um experimento simples é capaz de determinar de maneira aproximada o seu tempo de reação.

Material

✓ 1 régua de 30 a 50 cm

Procedimento

1) Sentado numa cadeira, peça a um colega que fique de pé à sua frente segurando uma régua graduada de 30 cm, como indicado nas figuras abaixo.

2) Coloque seus dedos próximos ao zero da graduação da régua. Peça ao colega que solte a régua sem avisar. Nesse instante, aperte os dedos para segurá-la.

CRÉDITO DAS ILUSTRAÇÕE: Paulo César Pereira

3) Quando segurar a régua, anote o número em que seus dedos estão. Essa é a distância percorrida pela régua durante a queda. Seu valor será utilizado para o cálculo do seu tempo de reação.

Exemplificando: Se seus dedos estavam posicionados inicialmente na direção do número 0 e você, ao pegar a régua, tem os dedos posicionados na direção do número 5, quer dizer que a régua percorreu 5 cm (0,05 m).

4) Repita o processo várias vezes (uns 10 números bastam) e calcule o valor médio das distâncias de queda anotados.

Como ao cair a régua não alcança grandes velocidades, podemos considerar desprezível a resistência do ar. Dessa forma, a régua descreve praticamente uma queda livre vertical.

Agora responda

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O radar

CRÉDITO: John Macdougall/AFP/Getty Images

O radar é um instrumento que tem a função de localizar objetos a grandes distâncias. Por meio da emissão e recepção de ondas eletromagnéticas (que serão estudadas no Volume 3 desta coleção), esse equipamento determina em uma tela de observação a posição vetorial de um objeto e acompanha a variação dele, estabelecendo então outras grandezas cinemáticas vetoriais como o deslocamento e a velocidade.

A palavra radar deriva da expressão, em inglês, Radio detection and ranging. Esse instrumento foi patenteado em 1904 pelo alemão Christian Hülsmeyer e aprimorado na Inglaterra, durante a década de 1930, pelo engenheiro inglês Robert Watson Watt.

Durante a Segunda Guerra Mundial, foi muito importante na previsão das ofensivas alemãs à Inglaterra. Determinando com precisão a distância, velocidade e direção dos ataques, os radares indicavam o tempo necessário para alertar a população a se proteger.

Agora responda

Page 23

Agora responda

NÃO ESCREVA NO LIVRO

Leia o texto a seguir extraído de um livro sobre o diálogo dos dois máximos sistemas do mundo ptolomaico e copernicano, de Galileu Galilei:

Numa ripa, ou melhor dito, numa viga de madeira com um comprimento aproximado de 12 braças*, uma largura de meia braça num lado e três dedos no outro, foi escavada uma canaleta neste lado menos largo com pouco mais que um dedo de largura. No interior desta canaleta perfeitamente retilínea, para ficar bem polida e limpa, foi colada uma folha de pergaminho que era polida até ficar bem lisa; fazíamos descer por ela uma bola de bronze duríssima perfeitamente redonda e lisa. Uma vez construído o mencionado aparelho, ele era colocado numa posição inclinada, elevando sobre o horizonte uma de suas extremidades até a altura de uma ou duas braças, e se deixava descer (como afirmei) a bola pela canaleta, anotando como explorei mais adiante o tempo que empregava para uma descida completa; repetindo a mesma experiência muitas vezes para determinar exatamente a quantidade de tempo, na qual nunca se encontrava uma diferença nem mesmo da décima parte de uma batida de pulso. Feita e estabelecida com precisão tal operação, fizemos descer a mesma bola apenas por uma quarta parte do comprimento total da canaleta; e, medido o tempo de queda, resultava ser sempre rigorosamente igual à metade do outro. Variando a seguir a experiência, e comparando o tempo requerido para percorrer a metade, ou os dois terços, ou os três quartos, ou para concluir qualquer outra fração, através de experiências repetidas mais de cem vezes, sempre se encontrava que os espaços percorridos estavam entre si com os quadrados dos tempos e isso em todas as inclinações do plano, ou seja, da canaleta pela qual se fazia descer a bola.

GALILEI, Galileu. Duas novas ciências. Tradução e notas: Letizio Mariconda e Pablo Rubén Mariconda. São Paulo: Nova Stella Editorial, 1985.

LEGENDA: Aparato que mostra o trajeto descrito por um projétil em lançamento horizontal, 1762.

CRÉDITO: George Adams. 1762. Coleção particular. Foto: SSPL/Getty Images

Com base nas informações do texto e no que você aprendeu neste capítulo, responda:

1. Que tipo de movimento foi descrito por Galileu nesse experimento? Justifique.

Resposta: Movimento uniformemente variado. Galileu explica a proporção entre o espaço percorrido pela bola e o tempo que ela demorou para percorrê-lo.

2. Faça uma ilustração que represente o experimento descrito por Galileu, com base nas informações do texto. Explicite os valores na sua ilustração (adote: 1 metro é aproximadamente igual a 0,5 braças).

Resposta:

3. Acreditando que o tempo gasto para a bola de bronze percorrer toda a extensão da prancha seja de 4 s, com os dados do texto e com alguns dos cálculos que você domina, complete abaixo:

Tabela: equivalente textual a seguir.

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1. 2/3 Vlegumes = 1,5 - 1,0 = 0,5

Vlegumes = 0,75 L = 750 cm3

plegumes = 1/2 págua = mlegumes/Vlegumes

0,5 = mlegumes 750

mlegumes = 375 g = 0,375 kg

Alternativa d.

2. A densidade do cilindro é igual a

d = m/v ⇒ d = 32,0/0,04 ⇒ d = 800 kg/m3

A pressão que o cilindro exerce na superfície é igual a:

Portanto, a pressão é de 4000 Pa.

Alternativa e.

3. Para o grupo agudo:

p1 = patm + d ∙ g ∙ h1 → 6 ∙ 105 = 105 + 1.000 ∙ 10 ∙ h1

h1 = 50 m

Para o grupo crônico:

p2 = patm + d ∙ g ∙ h2 → 2,2 ∙ 105 = 105 + 1.000 ∙ 10 ∙ h2

h2 = 12 m

h1 - h2 = 50 - 12 = 38 m

Alternativa c.

4. ppetróleo + patm = págua + patm

μp ∙ g ∙ hp = μa ∙ g ∙ ha

μp ∙ d = μa ∙ h → μp ∙ 5 = 1.000 ∙ 4

μp = 800 kg/m3

Alternativa b.

5. Pela figura 1 , temos:

P = E → mb ∙ g = dágua 1/2 Vb ∙ g

db ∙ Vb = dágua 1/2 V → db = 0,500 g/cm3

Pela figura 2, temos:

P = E → mb ∙ g = d1 80%Vb ∙ g

db ∙ Vb = d1 80% Vb → d1 = 0,500/0,8 = 0,625 g/cm3

Alternativa a.

6. F1/S1 = F2/S2

F1/F2 = (1/2)2 = 1/4

Alternativa a.

7. A pressão de água na ducha vai estar associada à diferença de pressão na caixa-d'água e na ducha. Portanto, a altura relativa a essa diferença de pressão é aquela que mostra a variação entre o centro de massa da caixa e a saída da ducha.

Alternativa c.

8. Por questão de continuidade, a vazão de 1 deve ser a mesma de 2, isto é, deve passar a mesma quantidade de líquido por unidade de tempo.

Alternativa b.

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1. a) Δφ = 4π

Δs = Δφ ∙ R = 4π ∙ 0,25 ≃ 3,14 m

b) vm = Δs/Δt = 3,14/1 = 3,14 m/s

2. v = ω ∙ R = 2π/T ∙ R → v = 2π/10 ∙ 2,5 = 0,5π

v ≃ 1,6 m/s

3. v = 2π/T ∙ R = 2π/24 h ∙ 6,4 ∙ 103 ≃ 1,7 ∙ 103 km/h

4.

5. a) ω = 2π/T = 2π 20 = π/10 rad/s

b) v = 2π/T ∙ R = 2π/20 ∙ 10 → v = π m/s

6. a) f = 30 gotas/1 min → f = 30/60 s = 0,5 Hz

b) O intervalo de tempo entre duas gotas consecutivas é o período.

T = 1/f → T = 1/0,5 = 2 s

7. 1 mês → 30 dias → 720 horas

Como o ponteiro dos minutos dá uma volta

completa a cada hora, e 1 mês tem 720 horas, ele dará 720 voltas completas.

8. vA = ω ∙ R/2 = 1 m/s

vB = ω ∙ R = 2 ∙ vA = 2 m/s

9. a) T = 60 s/15 voltas = 4 s

b) ω = 2π/T = 2π/4 → ω = π/2 rad/s

c) ac = ω2R = π2/4 ∙ 1 ≃ 2,5 m/s2

10. Satélites com essa característica são geoestacionários, ou seja, o período de translação do seu movimento deve ser igual ao período de translação da Terra.

Alternativa b .

11. Basta descrevermos a velocidade linear em função de ω e R; então, v = ω ∙ R. Se usarmos rodas menores, R' < R; portanto, v' = ω ∙ R' → v' < v. A velocidade será menor.

12. f = 4/3 Hz

v = 2π ∙ f ∙ R = 2π ∙ 4/3 ∙ 0,80 → v ≃ 6,4 m/s

Alternativa d.

13.

ac = 0,1g = 1 m/s2

ac = v2/R → R = v2/ac = 792/1 ≃ 6244,2 m

Alternativa e.

14. a) A frequência de A não se altera, continua 6.000 rpm.

b) Todas giram no sentido anti-horário.

15. 01) Incorreta. As velocidades escalares são iguais nos dois pontos.

02) Correta. As polias B e C giram juntas e, por isso, apresentam mesma velocidade angular.

04) Correta. As velocidades escalares de 1 e 2 são iguais, e as velocidades angulares de 2 e 3 são iguais também. Como 3 tem um raio maior que 2, ele terá uma velocidade escalar maior que aquelas de 2 e 1.

08) Correta. Apesar da polia A ter a mesma velocidade escalar que a polia B, ela apresenta maior raio. Por isso, sua velocidade angular é menor. Sendo as velocidades angulares das polias B e C iguais, a velocidade angular da polia C é maior do que a de A.

02 + 04 + 08 = 14

16. I. Correta. Número de combinações: 2 ∙ 5 = 10.

II. Incorreta. Em maiores velocidades convém acionar a coroa dianteira de maior raio com a coroa traseira de menor raio.

III. Correta.

Alternativa a.

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1. A velocidade escalar da roda é igual à velocidade escalar da coroa.

ω ∙ R = 4 ∙ 4 ∙ R → ω = 16 rad/s

A velocidade angular da roda é igual à da catraca.

v = ωR = 16 ∙ 0,5 = 8rad/s

Alternativa c.

2. a) Errada. Δs = Δφ ∙ R = πR = 3 ∙ 10,0 = 30,0 m

b) Errada. |Δs| = 2R = 20,0 m

c) Correta.

|v| = |Δs|/Δt = 20,0/10,0 = 2,0 m/s

d) Errada. v = Δs/Δt = 30,0/10,0 = 3,0 m/s

e) Errada.

Alternativa c.

3. Analisando a componente vertical do movimento:

vy = 0,9 km/h = 0,25 m/s

Δt = Δsy/vy = 150/0,25 = 600 s

Durante esse tempo, o submarino se desloca na horizontal:

vx = 18,0 km/h = 5 m/s

x = Δsx/Δt → Δsx = vx ∙ Δt = 5 ∙ 600 = 3.000 m

Alternativa b.

368

4. v = 18 km/h = 5,0 m/s

v = ωR → 5,0 = ω ∙ 0,25 → ω = 20 rad/s

Alternativa b .

5. a) Sendo T = 0,4 s, temos:

fD = 1/T → fD = 1/0,4 → fD = 2,5 Hz

b) Não há escorregamento. Assim, a velocidade escalar dos pontos dos pneus em contato com o solo, por causa do movimento de rotação, é a mesma:

vT = vD → 2πfTRT = 2πfDRD

fT ∙ 0,8 = 2,5 ∙ 0,4

fT = 1,25 Hz

6. As engrenagens A e B têm 24 dentes e A e C têm 8 dentes. Como as dimensões dos dentes são iguais, podemos dizer que:

rA = rC = r

rB = rD = 3r

Sendo fA = fM = 13,5 Hz, e fD = fR, temos:

fArA = fBrB → fB = rA/rB fA = 1/3 fM

fC = fB = 1/3 fM

fCrC = fDrD → fD = 1/3 fM ∙ r/3r = fR

fR = 1/9 fM = 13,5/9 = 1,5 Hz

Alternativa a .

7. 01) Errado. v2 ChP = v2 Ch + v2 P → v ChP ≃ 10,2 m/s

02) Correto. v = Δs/Δt → Δt = 1.500/12 =

= 125 s ≃ 2,1 min

04) Errado. A distância real foi a soma dos deslocamentos na direção da correnteza e perpendicular a ela.

08) Correto. vBT2 = vB2 + vCor2 → vBT ≃ 13 m/s

02 + 08 = 10

8. a) vy0 = v ∙ sen 45° = 6,0 m/s

v2 = v02 + 2aΔs → 0 = 36 - 2 ∙ 10 ∙ Δy

Δy = 1,8 m

y = y0 + Δy = 2,0 + 1,8 = 3,8 m

b) vx = v ∙ cos 45° = 6,0 m/s

vx = Δx/Δt → 6,0 = 6,0/Δt → Δt = 1,0 s

UNIDADE 4

Dinâmica