Função raiz é a função que possui pelo menos uma variável dentro de um radical. Ela é chamada também de função irracional, sendo a mais comum delas a raiz quadrada, porém existem outras, como a função raiz cúbica, entre outros índices possíveis. Show
Para encontrar o domínio de uma função raiz, é importante analisar o índice. Quando o índice é par, o radicando deve ser positivo por condição de existência da raiz. Já o contradomínio da função raiz é o conjunto dos números reais. Também é possível fazer a representação gráfica de uma função raiz. Saiba mais: Domínio, contradomínio e imagem — o que cada um representa? Resumo sobre função raiz
O que é a função raiz?Classificamos qualquer função que possua uma variável dentro do radical como função raiz. De forma análoga, podemos considerar como função raiz aquela que possui uma variável elevada a um expoente igual a uma fração própria, que são frações que possuem o numerador menor que o denominador, pois sempre que necessário podemos transformar um radical em uma potência com expoente fracionário. Como calcular a função raizConhecendo a lei de formação de uma função raiz, deve-se calcular o valor numérico da função. Assim como em todas as funções que estudamos, calculamos o valor numérico da função substituindo a variável pelo valor desejado. Dada a função f(x) = 1 + √x, encontre o valor de: a) f(4) Substituindo x = 4, temos: f(4) = 1 + √4 f(4) = 1 + 2 f(4) = 5 Essas funções são conhecidas como irracionais pelo fato de que a maioria das suas imagens são números irracionais. Por exemplo, se calcularmos f(2), f(3) para essa mesma função: b) f(2) = 1 + √2 c) f(3) = 1 + √3 Deixamos representado dessa forma, como uma adição entre 1 e o número irracional. Entretanto, quando necessário, podemos utilizar uma aproximação para essas raízes não exatas. Veja também: Função inversa — o tipo de função que faz exatamente o inverso da função f(x) Domínio e contradomínio de uma função raizQuando estudamos uma função raiz, é fundamental analisar caso a caso, para que seja possível definir bem o seu domínio. O domínio depende diretamente do índice da raiz e do que está em seu radicando. Já o contradomínio de uma função raiz é sempre o conjunto dos números reais. Vejamos a seguir alguns exemplos: Começando pela função raiz mais comum e mais simples, a seguinte função: f(x) = √x Analisando o contexto, nota-se que, como se trata de uma função quadrada e o contradomínio é o conjunto dos números reais, não existe no conjunto raiz negativa quando o índice for par. Sendo assim, o domínio da função é o conjunto dos números reais positivos, ou seja: D = R+ Como há uma raiz quadrada, para que essa função exista no conjunto dos números reais, o radicando deve ser maior ou igual a zero. Então, calculamos: x – 4 ≥ 0 x ≥ 4 Assim, o domínio da função é: D = {x ∈ R | x ≥ 4} Nessa função não há restrição, pois o índice da raiz é ímpar, portanto o radicando pode ser negativo. Dessa forma, o domínio dessa função será os números reais: D = R Acesse também: Radiciação — a operação numérica inversa à potenciação Gráfico de uma função raizNa função raiz quadrada de x, o gráfico é sempre positivo. Em outras palavras, a imagem da função é sempre um número real positivo, os valores que x pode assumir são sempre positivos e o gráfico é sempre crescente. Vejamos a representação do gráfico da função raiz quadrada de x. Agora, faremos a representação do gráfico de uma função com índice ímpar. É possível fazer a representação de outras funções raiz, como as funções cúbicas. Vejamos, a seguir, a representação da função raiz cúbica de x. Note que, nesse caso, como a raiz possui índice ímpar, x pode admitir valores negativos, e a imagem também pode ser negativa. Leia também: Como construir o gráfico de uma função? Exercícios resolvidos sobre função raizQuestão 1 Dada a função raiz a seguir, com domínio no conjunto dos números reais positivos e contradomínio no conjunto dos números reais, qual deve ser o valor de x para que f(x) = 13? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Resolução: Alternativa C Como o domínio da função é o conjunto dos números reais positivos, o valor que faz com que f(x) seja igual a 13 é x = 5. Questão 2 Sobre a função f(x), julgue as afirmativas a seguir. I → O domínio dessa função é o conjunto dos números reais maiores que 5. II → Nessa função, f(1) = 2. III → Nessa função, f( – 4) = 3. Marque a alternativa correta: A) Somente a afirmativa I é falsa. B) Somente a afirmativa II é falsa. C) Somente a afirmativa III é falsa. D) Todas as afirmativas são verdadeiras. Resolução: Alternativa A I → Falsa Sabemos que 5 – x > 0, então temos: – x > – 5 ( – 1) x < 5 O domínio é, portanto, os números reais menores que 5. II → Verdadeira Calculando f(1), temos: III → Verdadeira Por Raul Rodrigues de Oliveira A função raiz é identificada quando na lei de formação da função a variável se encontra dentro de um radical. A função raiz quadrada e a função raiz cúbica são exemplos de função raiz. Como a maioria dos valores da imagem de uma raiz é um número irracional, a função raiz é considerada uma função irracional. O conjunto do domínio da função possui restrição quando o índice da função for par, pois o radicando necessariamente tem que ser positivo para que exista raiz. No estudo das funções, é sempre possível realizar sua representação gráfica. Veja também: Função polinomial — função em que a lei de formação pode ser descrita por um polinômio Resumo sobre função raiz
Função raiz: o que é?Quando uma função possui uma ou mais variáveis dentro de um radical, a chamamos de função raiz. Ela sempre terá uma raiz de índice n, sendo que a função raiz mais comum é a função raiz quadrada. Veja a lei de formação de algumas funções raiz a seguir: ➝ Lei de formação de algumas funções raiz
Para calcular o valor numérico de uma função raiz, basta realizarmos a substituição da sua variável pelo valor desejado. Vale ressaltar que em muitos casos, o valor numérico de uma função raiz é um número irracional. ➝ Exemplos de cálculo da função raizDada a função \(f\left(x\right)=\sqrt{x-4}\), calcule: a) \(f\left(13\right)\) b) \(f\left(7\right)\) Resolução: a) \(f\left(13\right)\) Quando x = 13, temos: \(f\left(13\right)=\sqrt{13-4}=\sqrt9=3\) b) \(f\left(7\right)\) Quando x = 7, temos: \(f\left(7\right)=\sqrt{7-4}=\sqrt3\) Como a \(\sqrt3\) é um número irracional, podemos afirmar que \(f\left(7\right)=\sqrt3\). Caso seja necessário calcular a raiz quadrada, utilizamos uma aproximação para essa raiz, como 1,7. Dada a função \(g\left(x\right)=\sqrt[3]{x}+2x\), calcule \(g\left(8\right)\). Resolução: \(g\left(8\right)=\sqrt[3]{8}+2\cdot8\) \(g\left(8\right)=2+16\) \(g\left(8\right)=18\) Domínio de uma função raizNo estudo de uma função raiz, conhecendo a sua lei de formação, é importante compreender que nem sempre o domínio de uma função é o conjunto dos números reais, pois existe uma restrição na radiciação quando o índice da função é par. Sabemos que não existe raiz com índice par de um número negativo no conjunto dos números reais. Considere a função a seguir: \(f\left(x\right)=\sqrt{3x+4}\) Qual é o conjunto domínio dessa função quando a analisamos no conjunto dos números reais? Resolução: Para que exista imagem para um determinado valor de x, temos: \(3x\ +\ 4\ \geq\ 0\ \) \(3x\ \geq\ -\ 4\ \) \(x\geq-\frac{4}{3}\) Assim, o domínio dessa função é: \({\ x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ -\frac{4}{3}}\)
Saiba também: Domínio, contradomínio e imagem de uma função — qual a diferença? Gráfico da função raizO gráfico da função raiz é sempre crescente. Quando a função raiz possui um índice par, seu gráfico estará somente no 1º quadrante: Gráfico da função raiz com índice par.
Quando a função possui índice ímpar, o gráfico da função raiz estará tanto no 1º quanto no 3º quadrante. Gráfico da função raiz com índice ímpar.Leia também: Como é o gráfico de uma função exponencial? Exercícios resolvidos sobre função raizQuestão 1 Analisando a função \(\ f:\ A\ \rightarrow B\ \), com lei de formação \(f\left(x\right)=\sqrt[3]{x-4}\), julgue as afirmativas a seguir: I) O domínio dessa função é necessariamente os valores de x, tal que \(x\geq\ 4\). II) \(f\left(-4\right)=-2\) III) Essa função é uma função raiz. Marque a alternativa correta: A) Somente a afirmativa I é falsa. B) Somente a afirmativa II é falsa. C) Somente a afirmativa III é falsa. D) Todas as afirmativas são verdadeiras. Resolução: Alternativa A I) Falsa Como o índice da raiz é igual a 3, um número ímpar, o domínio dessa função pode ser o conjunto dos números reais, não havendo uma restrição para o valor de x. II) Verdadeira Calculando \(f\left(-4\right)\), temos: \(f\left(-4\right)=\sqrt[3]{-4-4}\) \(f\left(-4\right)=\sqrt[3]{-8}\) \(f\left(-4\right)=-2\) III) Verdadeira Como a variável está dentro do radical, essa função é de fato uma função raiz. Questão 2 Analisando a função \(f\left(x\right)=\sqrt{2x+6}\) no conjunto dos números reais, podemos afirmar que: A) \(D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ 2}\) B) \(D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ -6}\) C) \(D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ -3}\) D) \(D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ 4}\) Resolução: Alternativa C Analisando a lei de formação, temos: \(2x\ +\ 6\ \geq\ 0\) \(2x\ \geq\ -6\) \(x\geq\frac{-6}{2}\) \(x\ \geq\ -3\ \) Portanto: \(D\ =\ x\ \in\ R\ |\ x\ \geq\ -3\) |