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129 Principio - O resto obtido na extracção de uma raiz quadrada não pode exceder o dobro da raiz. Por exemplo, o resto da extracção da raiz quadrada de 8698 (n.° 125) é 49: pois affirmo que 49< 2X93; sendo 93 a raiz achada. Com effeito, (n.° 128),
e se o resto 49 excedesse o dôbro da raiz 93, seria pelo menos igual a 2 x 93 + 1; e, por consequencia, seria então
o que é impossivel, porque se suppõe ser 93 o maior quadrado inteiro contido em 8698. O principio fica pois demonstrado. Escholio — As divisões que produzem os algarismos da raiz, exceptuando o primeiro, podem dar algarismos com algumas unidades demais; diminuindo-se successivamente uma unidade, encontra-se o algarismo verdadeiro; porém, se de uma vez se diminuem muitas unidades ao algarismo, é possivel obter-se um algarismo diminuto: reconhece-se isto por ser então o resto obtido igual ou superior ao dobro da raiz e mais uma unidade. · 130— A extracção da raiz quadrada dos numeros fraccionarios exige em geral duas operações: é necessario extrahir as raizes dos dois termos, conjunctamente; porque para elevar ao quadrado um numero fraccionario é preciso elevar ao quadrado ambos os seus termos. Com effeito, porque temos, por exemplo,
E sendo bem evidente que um numero fraccionario irreductivel somente é quadrado quando seus termos são ambos quadrados perfeitos, percebe-se que será impossivel extrahir exactamente a raiz quadrada de um numero fraccionario, cujos termos não sejam ambos quadrados. A raiz quadrada, pois, de um numero fraccionario irreductivel, que não é quadrado, é um numero incommensuravel ou irracional; porquanto, se fosse um numero fraccionario, esse numero elevado ao quadrado produziria um numero fraccionario irreductivel, cujos termos seriam quadrados, e que sería igual ao numero fraccionario proposto. Este numero, pois, sem ser quadrado, seria igual a um numero quadrado, o que é impossivel. Logo, não podendo a raiz ser numero fraccionario, como tambem não pode ser numero inteiro, é necessariamente um numero incommensuravel. 131 Quando somente o denominador de um numero fraccionario é quadrado, para se extrahir a raiz quadrada d'esse numero, extrahe-se a raiz ao numerador até as unidades, e dá-se por denominador a essa raiz a raiz quadrada do denominador da fracção dada. Por exemplo: extrahir a raiz quadrada de : A raiz de 17 é 4 por falta ou 5 por excesso, sem êrro igual a uma unidade. Consequentemente, teremos:
o que dá a razão da regra enunciada. Logo, a raiz de m'é: ou, por falta, ou , por excesso, a , a menos de ; porque estando a raiz procurada entre ; e sendo a differença entre estes dois limites, necessariamente será menor que a differença entre essa mesma raiz e qualquer dos ditos limites, ou
Porém, quando o denominador de um numero fraccionario não é quadrado, e se busca a raiz quadrada d’esse numero, então transforma-se o dito numerr em outro equivalente, cujo denominador seja quadrado, mulu.plicando ambos os seus termos pelo denominador. Assim, 3 x 11 Vilxh1 11
Logo, Via é igual: ou a mí por falta, ou a i por excesso, , a menos de 132 Regra — Para extrahir a raiz quadrada a um numero decimal, divide-se em classes de dois algarismos, contando da virgula para cada um dos extremos, completando com um zero a ultima classe decimal da direita, quando, em razão de ser impar o numero de algarismos decimaes, essa classe ficar com um unico algorismo. Extrahe-se depois a raiz do numero, abstrahindo da virgula, isto é, exactamente como se fosse inteiro; e separam-se à direita da raiz duas vezes menos algarismos decimaes do que os do numero proposto, depois de completada a ultima classe decimal. Por exemplo: 1.°, calcular V38,6884; 2.o, calcular V6,859. Teremos: 386884 V386887 V 38,6884 10000 100 Em segundo logar: 6859 V6,859 1000
6859 Para extrahir a raiz de é preciso fazer o denominador quadrado (n.° 131), e para isso basta multiplicar por 10 os dois termos do numero fraccionario, que se considera. Assim, teremos: 6859 68590 68590 1000 10000 100 Logo,
Estes dois exemplos tornam bem evidente a razão da regra proposta para extrahir a raiz quadrada aos numeros decimaes.
EXTRACÇÃO DAS RAIZES CUBICAS 133 Sabemos que o quadrado de um numero composto de dezenas e unidades consta de tres partes, a saber: 1.a O quadrado das unidades; 2.o, o dobro do producto das dezenas pelas unidades; 3.9, o quadrado das dezenas. Ora, para formar o cubo do mesmo numero, é necessario evidentemente multiplicar cada uma dessas paries pelas unidades e pelas dezenas do numero. Teremos pois os seis productos seguintes: 1.° O quadrado das unidades, multiplicado pelas unidades, ou o cubo das unidades; 2.° 0 dóbro do producto das dezenas pelas unidades, multiplicado pelas unidades, ou o dobro do producto das dezenas pelo quadrado das unidades; 3.° O quadrado das dezenas, multiplicado pelas unidades; 4.° O quadrado das unidades, multiplicado pelas dezenas; 5.° 0 dobro do producto das dezenas pelas unidades, miltiplicado pelas dezenas, ou o dobro do quadrado das dezenas multiplicado pelas unidades; 6.° O quadrado das dezenas multiplicado pelas dezenas, ou o cubo das dezenas. Reunindo estas diversas partes, e sommando as da mesma especie, reconheceremos que o cubo de um numero, composto de dezenas e unidades, contém: 0 cubo das unidades; mais o triplo do producto das dezenas pelo quadrado das unidades; mais o triplo do quadrado das dezenas pelas unidades, e mais o cubo das dezenas. Por exemplo, o cubo de 79 é composto como se segue:
e agora, multiplicando por 79 o quadrado obtido, acha-se: 1.°... 81 x 9 729 cubo das unidades; 2.°... 1260 x 9 11340 dôbro do producto das dezenas pelo qua drado das unidades; 3.'... 4900 x 9 ... 44100 quadrado das dezenas pelas unidades; 4o... 81 x 70... 5670 quadrado das unidades pelas dezenas; 5.°... 1260 x 70... 88200 dôbro do quadrado das dezenas pelas unidades; 6.°... 4900 x 70... 343000 cubo das dezenas.
Sommando agora os productos homogeneos, teremos:
729 cubo das unidades; 17010 triplo do quadrado das unidades pelas
..132300 triplo do quadrado das dezenas pelas unidades; .343000 cubo das dezenas.
O cubo das dezenas é um numero de milhares expresso pelo cubo do numero das dezenas; o triplo do quadrado das dezenas pelas unidades é um numero de centenas igual ao triplo do quadrado do numero das dezenas pelo das unidades; e emfim, o triplo das dezenas pelo quadrado das unidades é um numero de dezenas igual ao triplo do numero das dezenas pelo quadrado das unidades. 134 Effeituemos agora a operação inversa, isto é: tratemos de extrahir a raiz cubica de 493039. Sendo o numero maior do que 1000, a sua raiz cubica é maior do que 10, e contém dezenas e unidades. Ora, sendo o cubo das dezenas um numero de milhares, comprehendido necessariamente nos 493 milhares do numero proposto, devemos separar os tres ultimos algarismos 039 do numero, e considerar somente o numero 493, no qual, além do cubo das dezenas da raiz, se acham contidos os milhares provenientes das outras partes. Procurando, na taboa das potencias, o maior Page 3
Depois de dividirmos o numero em classes de tres algarismos, da direita para a esquerda, procuraremos na taboa das potencias o maior cubo inteiro contido na ultima classe 94. Este cubo é 64, cuja raiz cubica é 4. Esereveremos 4 na raiz, e diminuiremos 64 de 94. Para o lado do resto 30 baixaremos a classe seguinte 897, o que produzirá o numero 30897. Depois de separarmos com um ponto os dois primeiros algarismos da direita, dividiremos a parte restante, á esquerda, por 48, triplo do quadrado do algarismo 4 já achado. O quociente da divisão é 6; mas porque 46, elevado ao cubo é maior que 94897, tomaremos o algarismo 5, isto é: elevaremos 45 ao cubo, e obteremos 91125; numero, que, diminuindo de 94897, dá para resto 3772. A raiz cubica do maior cubo inteiro contido na parte empregada, 94897, do numero proposto, é pois 45. Consequentemente, são 45 as dezenas da raiz procurada. É o que se pode reconhecer, observando que o resto 3772 é menor que 3 x 152+3 X 15+1, differença entre os cubos 463 e 453 (136). Para o lado da differença 3772 baixaremos a ultima classe 584; e separaremos do numero, assim formado, 3772584, os dois ultimos algarismos da direita, para dividir a parte restante, 37725, pelo triplo do quadrado das 45 dezenas achadas, isto é: por 6075. O quociente desta divisão é 6, que se escreverá na raiz; depois elevaremos 456 ao cubo. Obteremos 94818816, que, diminuido do numero proposto, dará, para ultimo resto, 78768. A raiz cubica de 94897584 é pois 456, a menos de uma unidade. Do que temos exposto se pode concluir a seguinte: 139 Regra - Para extrahir a raiz cubica de um numero inteiro qualquer, divide-se o numero em classes de tres algarismos, começando da direita. A ultima classe pode ter indifferentemente um, dois, ou tres algarismos. Extrahe-se a raiz cubica ao maior cubo inteiro contido na primeira classe da esquerda, e diminue-se este cubo da primeira classe. A raiz cubica achada exprimirá o algarismo Page 4
do as letras A, B, C, D, N, Q, R, ..., m, n, numeros inteiros do systema decimal. A+B+C+D=A+D+C+B=C+B+D+A=.. (27). Sendo A=B, e n um numero qualquer, teremos (29). A +-n=B+n. A+C+E=B+D+F. A =D + B, B=A-D, e tambem, (n.° 34 e exercicio II, pag. 34), (A + n)-B=D+n, (A -n-B=D-n, A-(B+n)= =D-n, A-(B-n)=D+n; (A + n) — (B+n)=D, (A - n)-(B-n=D. Tambem teremos (n.°8 40 e 41): A - (B+D=A-B-D, e A-(B-D=A-BT-D. Estes principios traduzem-se pelo modo seguinte: Quando um parenthesis encerra quantidades additivas e subtractivas, e é precedido pelo signal —, pode-se eliminar esse parenthesis, trocando os signaes de addição pelos de subtracção e reciprocamente; e para encerrar n'um parenthesis uma ou muitas addições e subtracções, se o parenthesis tiver o signal —, será necessario inverter os signaes de addição em subtracção e vice-versa. Pelo n.° 50, teremos: A X (B X C)=(A XB) x C. pelo n.° 57, tambem teremos: A XB=BX A. Sendo A XB-C, será (n.° 61, 62 e 63): (A X D) x B=CX D, (A +n) x B=C+B xn, (A - n) x XB=C-BXn, A X (B+n)=C+Axn, e A (B-n)= =C-Ax n. Page 5
EXERCICIOS SOBRE O TERCEIRO MODO DE CONSTRUCÇÃO DOS NUMEROS
I A differença entre dois numeros é 7, e o quadrado do maior excede 539 ao quadrado do outro. Pergunta-se: quaes são esses dois numeros? O maior dos dois numeros é igual ao outro e mais 7: por consequencia, o quadrado do maior é igual ao quadrado do menor, mais o dobro do producto deste por 7, e mais 72; d'onde resulta que a differença dos quadrados dos dois numeros é igual ao dobro do producto do menor por 7 e mais 72, e e igual a 539. Posto isto, é facil o achar os dois numeros. II Certo numero de pessoas dividiram entre si uma somma de 8092 libras. Sabe-se que o numero dos socios é igual ao setimo da somma recebida por cada um, e pergunta-se: quantos eram os socios, e com quanto ficou cada qual? O producto da parte de cada um pelo numero delles deve ser - 8092. Mas o numero, que exprime o quinhão de cada um, deve ser igual a 7 vezes o numero delles; e assim, o producto 8092 deve ser igual a 7 vezes o quadrado do mesmo numero: III Multiplicando os do quadrado de certo numero pelos d'esse numero, acha-se o producto 94080. Pergunta-se : qual é esse numero? IV Certo numero foi dividido em cinco partes, de maneira tal que a segunda é igual ao quinto da primeira, a terceira ao quarto, a quarta ao terço, e a quinta á metade, e que o producto das cinco partes, dividido successivamente pela primeira e pela quarta, dá em resultado 145800. Determinar cada uma das partes. O producto das cinco partes, dividido successivamente pela primeira e pela quarta, dá em resultado somente o producto .. Mas, sendo a segunda parte o quinto da primeira, a outra o quarto, e ...., 0 producto de todas tres será 13 lo da primeira) = 145800. Por consequencia, para se obter a primeira parte é necessario..... Page 6
XIX Obter um numero, do qual diminuindo os seus 15 centimos seja o resto 362,95. XX Qual é o numero tal que, dividindo-o por 0,825 e ajuntando 3,658 ao quociente, dá em resultado 8,298. XXI Pede-se um numero tal que, dividindo-o por 4,375 e diminuindo do quociente 0,5924, dé em resultado 8,9456. XXII Determinar um numero tal que, multiplicando-o por 0,325, e ajuntando 3,146 00 producto, dê em resultado 5,928. XXIII Um mestre de obras empregou 250 obreiros: 80 a 2 libras por mez cada um, 100 a libras 1,75, e 70 a libras 1,50. Pergunta-se: a como, termo medio ou um por outro, lhe custou o serviço de cada obreiro durante um mez?
REGRA PARA ESCREVER, N'UM SYSTEMA QUALQUER, CI XCMERO ESCRIPTO XO SYSTEMA DECIMAL Seja N o nunero dado, e seja B a base do systema em que se quer escrever o numero N. Se N<B, será N representado por um dos algarismos do systema (B); mas se N > B, então divide-se N por B; o quociente obtido representará as unidades de segunda ordem contidas em N, e o resto as de primeira. Se o quociente assim obtido é menor que B, representa-se por um dos algarismos do systema; se não é, divide-se por B, o quociente exprimirá unidades de terceira ordem, e o resto unidades de segunda. Continua-se assim a dividir cada um dos quocientes obtidos por B, até se achar um quociente menor que B. Exemplo. Pede-se o numero correspondente a 56799, no systema duodecimal. TYPO DO CALCULO 507991 12 87 4733 12 39 113 394 12 39 53 34 32 12 8
Divide-se 56799 por 12: 0 quociente 4733 exprime unidades de segunda ordem do systema duodecimal, e 3 representa unidades de primeira ordem. Porque 4733 > 12, que é a base do systema, divide-se ainda 4733 por 12: o quociente 394 representa unidades de terceira ordem duodecimal, e o resto 5, unidades de segunda. Agora, porque 394 > 12, divide-se tambem 394 por 12; obtem-se assim 32 unidades de quarta ordem duodecimal e 10 de terceira: e depois, dividindo 32 por 12, obtêem-se, emfim, 2 unidades de quinta ordem e 8 de quarta. Por consequencia, os restos obtidos 3, 5, 10 ou «, e 8, e o ultimo quociente 2, serão os algarismos representantes das unidades duodecimaes de differentes ordens do numero 56799, que se escreverá assim: (12) 28 a 53.
REGRA PARA ESCREVER, NO SYSTEMA DECIMAL,UN NUMERO ESCRIPTO N'OUTRO QUALQUER SYSTENA
Seja N o numero dado, e B a base do seu systema. Multipliquem-se os algarismos do numero N, o primeiro da direita por 1, o segundo por B, o immediato por B%, o seguinte por B3, e assim successivamente até ao ultimo da esquerda; escrevendo B, B2, B3, e os productos obtidos, no systema decimal ; e sommem-se depois esses productos parciaes. Exemplo. Escrever no systema decimal o numero (12) 28.53.
1 12 122=144.. 123=1728.. 124=20736...
TYPO DO CALCULO 3 60 1440 13824 41472
3x1
O numero dado representa-se pois por 56799 no systema decimal.
REGRA PARA ESCREVER, N'UM SYSTENA QUALQUER, CH NUNERO ESCRIPTO EM OUTRO SYSTEMA QUALQUER Seja N o numero dado, escripto no systema cuja base é B; e seja B' a base do systema em que se quer escrevê-lo. Escreva-se primeiramente o numero N no systema decimal, pela segunda regra, e depois escreva-se no systema, cuja base é B', pela primeira. Exemplo. Escrever (96787 no systema de base 8.
O numero que se busca é pois (8)41634. Mas póde-se obter directamente este resultado, applicando a regra primeira ao numero dado 96787. Eis o
Isto é: o numero 6787 é equivalente a (841634, como tinhamos achado pelo primeiro modo. O calculo effeitua-se pelo modo seguinte: Em 1967 ha (97 vezes (98, porque 8 X 7=56, equivalente a 962; e subtrahindo 1962 de (967, obtem-se o resto 9)e o segundo dividendo (958. Em 1958 ha 6 vezes (98, pois 8 X 6=48, equivalente a (953, o resto é (95, e o terceiro dividendo parcial (957.
Em (957 ha (9)6 vezes (98, equivalente a (953: o resto é (914, que exprimirá unidades de primeira ordem no systema cuja base é 8. Depois divide-se (9,766 por (9)8; depois (9)86 por (98, e emfim (9) 40 por (9)8. O ultimo quociente 1, e os restos 1, 6, 3, 4, são os algarismos do numero.
[SO DOS DIFFERENTES SYSTEMAS DE NUNERAÇÃO A consideração dos differentes systemas de numeração não é inutil, nem se tenha como simples curiosidade; póde servir para estabelecer muito facilmente diversas propriedades dos numeros. Por exemplo: da possibilidade de escrever um numero no systema binario resulta immediatamente este principio notavel: Qualquer numero inteiro é uma somma de potencias distinctas de 2, ou uma somma de potencias de 2 augmentada de 1. Reconhece-se, pois, que o estudo dos systemas de numeração, analogos ao decimal, tem bastante importancia. Mas neste logar não seria conveniente dar a esse estudo maior desenvolvimento.
DIVISIBILIDADE DE UM NUMERO POR 2, 5, 3 OU 9 Para coinpletar a advertencia feita ao concluir o calculo ari 0 thmetico, n.° 142, é conveniente estabelecer aqui alguns principios, que são os seguintes: I Se a fórmula, que se quer resolver, é do typo das fracções, supprimem-se primeiramente todos os factores communs aos dois termos. 25 xil x4 x 850 Seja exemplo a fórmula x == 33 X 10 X3 X 725* TYPO DA SIMPLIFICAÇÃO 1 85 23 33 X 10 X3 X 725 x 29 1 1 29
Divide-se 11 e 33 por 11, e escreve-se o quociente 1 em cima de 11, e o quociente 3 debaixo de 33; divide-se depois 850 e 10 por 10; depois, e successivamente, 25 e 725 por 25, 18 e 3X3 por 9: os ullimos quocientes obtidos, 2, 4 e 85, formarão o numerador da fórmula, e 29 será o denominador.
II Um numero é divisivel por 2, ou é par, quando é par o algarismo das suas unidades; é divisivel por 5 quando o algarismo das suas unidades é 5 ou 0. Por exemplo: 438 = 400+30+8,
438 e, por consequencia (83), 2
400 30 8 438 +-+ ou 2 2 5
Ora, 400 e 30 são divisiveis por 2 e por 5, porque são multiplos de 10: logo, para que 438 seja exactamente divisivel por 2 ou por 5, isto é, para que o segundo membro da igualdade, (que é o quociente,) seja numero inteiro, será indispensavel que o algarismo das suas unidades seja divisivel por 2 ou por 5, respectivamente; o que dá a razão do principio. N. B Quando o algarismo das unidades for zero, o numero será divisivel por 5, porque será multiplo de 10. III Um numero é divisivel por 3, ou por 9, quando, excluindo da somma dos seus algarismos, tomados em absoluto, os multiplos de 3, ou de 9, respectivamente, o resto obtido é zero. Exemplo: 438 = 100+30+8= (mult. 9+4+ +8 ) + 3, ou 9 3, ou 9 3, ou 9
Ora, mult. 9 é divisivel por 3, ou por 9: logo, para que o segundo membro da igualdade, que é o quociente de 438 por é 3 ou por 9, seja numero inteiro, é necessario que (4+3+8) seja divisivel por 3 ou por 9, isto é: que seja um multiplo de 3 ou de 9; o que prova o principio. 0 Para se reconhecer se (4 +3+8) é multiplo de 3 ou de 9, diz-se assim: 4 e 3 € 7, e 8 € 15, nove fóra 6; e como 6 é multiplo de 3, on como tirando os multiplos de 3 nelle contidos, se obtem o resto zero, concluir-se-ha que 438 é divisivel por 3, e que não será divisivel por 9. Será 845062 divisivel por 9? Ensaiar-se-ha assim o numero dado: 8 e 4, 12, nove fóra 3; 3 e ö, 8, e 6, 14, nove fóra 5; 5 e 2 é 7; logo o numero dado não será divisivel por 9, nem por 3. Page 7
II Podem-se multiplicar ou dividir por um mesmo numero os dois membros de uma igualdade; III Podem-se elevar a uma mesma potencia ou extrahir raizes de um mesmo grau aos dois inembros de uma igualdade; IV As igualdades podem addicionar-se, subtrahir-se, mul- . tiplicar-se, ou dividir-se, ordenadamente, porque os resultados formarão outra igualdade. Resulta do axioma I: que os termos additivos de um membro podem passar em subtractivos para o outro membro, e os subtractivos em additiros. Com effeito, se A+m=B-n; addicionando n a ambos os membros obtem-se A+m+n=B; e diminuindo m de ambos os membros, obtem-se A+n=B- m; o que prova a proposição. Conclue-se do axioma II: que os factores de um membro podem passar em divisores para o outro membro, e os dirisores em multiplicadores. Com effeito, se AXm=B:n; multiplicando ambos os membros por n, resulta AXmXn=B; e dividindo ambos os membros por m, obtem-se AXn=B:m; o que prova o principio. Quando algum dos numeros componentes de uma igualdade é desconhecido, a igualdade é denominada equação, e o numero desconhecido é chamado a incognita da equação. Resolver uma equação é achar o valor das respectivas incognitas. 146 Se os dois numeros A e B são diversos, a sua reciproca relação, dependente do modo pelo qual a quantidade menor B entra na construcção da maior, pode considerar-se por tantas maneiras differentes quantos os modos elementares de construcção. Em virtude dos dois primeiros modos teremos as relações:
representando D a differença entre A e B, e lo quociente de A por B. Consequentemente, a comparação de dois numeros diversos pode ter os dois fins seguintes: 1.', saber quanto um excede o outro; 2.', saber quantas vezes um contém o outro. Page 8
149 Problema é uma proposição para determinar um numero incognito por meio de outros numeros em condições dadas. Para resolver um problema, é necessario aproveitar bem no enunciado a relação existente entre os numeros dados e o incognito. Esta relação, expressa abreviadamente ou symbolicamente, é o que se denomina uma equação (n.° 145). Pôr um problema em equação, é reduzir o seu enunciado á expressão mais simples, e representar a sua analyse com o menor numero possivel de caracteres. 150 Qualquer que seja a natureza de um problema, será impossivel determinar-lhe a solução sem formar e resolver uma equação expressa ou existente no pensamento. Para se determinar, por exemplo, a somma dos numeros 3, 7 e 9, ha-de resolver-se a equação x = 3 +7 + 9, que é a equação do problema, aonde o numero incognito é a somma pedida = 19. Para determinar, ainda, a importancia de 5 pães, a 40 reis cada um, será necessario tambem resolver a equação x = 40 x 5; d'onde se tira x=200 réis, que é a importancia pedida. = a A equação é uma expressão symbolica, composta de duas partes separadas pelo signal=. A parte da esquerda de uma equação chama-se primeiro membro da equação; a outra parte é o segundo membro. Termos da equação são as differentes partes de cada um dos seus membros, ligadas pelos signaes + ou Por exemplo: 45 + x= 30 + 2xx é uma equação, cujos membros são x compostos de dois termos. Formar uma equação numerica, é: exprimir pelo modo mais simples e breve a igualdade entre as relações dos numeros dados e do incognito. Resolver um problema, é: determinar um numero, que, substituido na equação do problema pela incognita, realize a igualdade dos dois membros da mesma equação. Page 9
Tambem poderiamos fazer esta demonstração imitando a do principio precedente. 159 A respeito de uma progressão arithmetica podemos estabelecer o seguinte: que quatro termos consecutivos formam uma equidifferença; que tres termos consecutivos formam uma equidifferença continua; que quatro termos formam uma equidifferença, quando o numero dos termos que dois delles entre si comprehendem é igual ao dos comprehendidos pelos outros dois; tres termos formam uma equidifferença, quando os extremos distam do meio um igual numero de termos; dois termos consecutivos formam equidifferença com outros dois tambem consecutivos. 160 Principio — N'uma progressão arithmetica, a somma dos extremos é igual á somma dos termos equidistantes dos mesmos extremos. Sendo a progressão ; A.b.2.d.m.p.9.9.u; (A – 6= – 0, (A+u=b+, A-C=I-U, A+1=0+9 teremos: A-d=p — U, e, por consequencia, A+u=d+p, A — m=m-U; A tu=2 X m. 161 Principio --A somma dos termos de uma progressão arithmetica é igual á semi-somma dos termos extremos multiplicada pelo numero dos termos da progressão. Sendo a progressão :A.b.c.d....p.q.1.U; teremos S=A+b+c+d+...+p+a+r+u, e tambem S=U+p+a+p+ +d+c+b+A. Sommando ordenadamente as duas igualdades, será: 2S=(A+U)+(6+r)+(c+)+(d+p+...+(p+d) + (q+c) + (r+b)+(U+A), ou, por ser cada uma das parcellas igual a somma dos extremos (160), 25=(A + U)+(A+U)+(A+U)+-(A+U)+...+(A+U) +(A +U)+(A+U)+(A + U). Page 10
III A somma de dois numeros é 20, e o excesso do triplo do maior sobre o outro é igual ao excesso do quintuplo do menor sobre o primeiro. Quaes são os numeros? Represente-se por x 0 numero maior; o outro será 20-X. A equidifferença seguinte exprimirá a analyse do problema, a saber: 3 X X — (20 — x)=5 X (20 — 2) — X. IV Provar: que sommando ordenadamente duas ou mais equidifferenças, ou subtrahindo umas das outras, se obtem igualmente uma equidifferença. V Qual será o 13.o termo da progressão : 2. ? Será T= 2+ 12x;= 11.
VI Calcular a somma dos termos da progressão :3.7.11. 15.19.23.27.31.35. Será 3+35 38 S x 9 X 9 =171. 2
VII Inserir 10 meios arithmeticos entre le 10. Teremos 10 1 9 D 10+1
20 29 38 47 56 65 74 83 92 101 110 ;1. 11 11'11'11'11'11'111111 11
VIII. Buscar a somma dos numeros inteiros alé n.
IX Buscar a somma dos primeiros n numeros impares. É na. X Calcular o numero dos termos de uma progressão arithmetica; conhecendo o primeiro termo, e o ultimo, e a somma dos termos.
XI Um viandante, que ha-de percorrer certa estrada, avança cada dia 2000 passos mais que no dia precedente. Pergunta-se: qual é o comprimento da estrada, e quantos dias gastará a percorre-la o caminhante; sabendo que avança no primeiro dia 3000 passos, e no ultimo 49000. XII Um sujeito pagou uma divida em 20 mezes, em prestações mensaes; o primeiro pagamento foi 290 reis; o ultimo 860 réis, e o excesso de cada pagamento sobre o precedente era constante. Qual era este excesso? XIII Sendo 50 o primeiro termo de uma progressão arithmetica, 90 o terceiro, e 1990 o ultimo: qual é o numero dos termos da progressão. XIV Determinar a somma dos primeiros cem termos de uma progressão, cujo quinto termo é 4,4 e o nono 5,2.
PROPORÇÕES, E PROGRESSÕES GEOMETRICAS
$ 4.° Proporções 164 Dir-se-ha que uma razão é inversa de outra, quando o antecedente de cada uma é o consequente da outra. Por exemplo: a razão 8 : 3 é inversa de 3 : 8; ou A : B é inversa de B : A. Assim, o producto de duas razões iguaes é o quadrado de cada uma dellas; e o producto de duas razões inversas é a unidade. Proporção é a igualdade entre duas razões geometricas. As duas razões iguaese formam a seguinte proporção 8: 2 :: 12: 3, que tambem se escreve Quando os meios são iguaes, a proporção é continua; e ao meio repetido chama-se meio proporcional ou geometrico. Na proporção continua elide-se um dos termos medios, escrevendo á esquerda dos termos o signal :: de proporção continua. 36:12:: 12:4, ou :: 4 :12: 36.
165 Principio --Em toda a proporção o producto dos extremos é igual ao producto dos meios. Seja A С A:B:: C:D, ou
Passando B para o segundo membro e D para o primeiro, teremos: AXD=B XC. (1)
Corollarios. I Se a proporção é continua, como :: A: B: C, ou A : B :: B: C; o meio proporcional é igual á raiz quadrada do producto dos extremos. Por exemplo: B= VAXC. II Cada um dos extremos de toda a proporção é igual ao producto dos meios dividido pelo outro extremo; e cada um dos meios é igual ao producto dos extremos dividido pelo outro meio.
Com effeito, se na igualdade (1) passarmos de membro, successivamente, cada uma das letras, teremos:
Reciprocamente - Se o producto de dois numeros é igual ao de outros dois, todos quatro formam uma proporção. Com effeito: se for AXD=BX C, necessariamente será, passando D para o segundo membro e B para o primeiro:
como se queria demonstrar. 166 Principio — Em toda a proporção podem trocar-se os meios um pelo outro, ou os extremos; ao que se chama alternar. Tambem se podem pór os meios em extremos e estes em meios; ao que se chama inverter. Finalmente, podem-se permutar ou inverter as razões. Com effeito, em todas estas transformações fica o producto dos meios igual ao dos extremos. Por exemplo, tendo a proporção A : B::C:D, será :
A:C::B:D, D:B::C: A,B:A::D:C,C:D::A: B.
167 Principios I — Em toda a proporção se podem multiplicar ou dividir por um mesmo numero os dois antecedentes, ou os dois consequentes; ou um antecedente e o seu consequente; e tambem se pode multiplicar um meio e dividir o outro, ou multiplicar um extremo e dividir o outro, ambos por um mesmo numero. II Podem-se multiplicar ou dividir ordenadamente duas ou muitas proporções, ficando os resultados obtidos em proporção. III Podem-se elevar ás potencias, ou extrahir as raizes de um mesmo grau a todos os termos de uma proporção. IV A somma ou differença dos antecedentes de uma proporção está para a somma ou differença dos consequentes, como qualquer antecedente para o seu consequente.
Seja a proporção = ; da qual se tira AXD=BX C. Addicionando aos dois membros o producto CX D, virá: AXD+CD=BXC+DXC,
Pelo mesmo modo, subtrahindo o producto CXD de ambos os membros, obtem-se A-C с (2) B D
Mas, se os consequentes forem maiores que os antecedentes, ha-de primeiramente inverter-se a proporção. Corollario 1— Em toda proporção a somma dos antecedentes está para a dos consequentes, como a differença dos antecedentes para a dos consequentes. Isto é: (A+C): (B+D)::(A -C):(B-D); o que resulta immediatamente das proporções (1) e (2). Corollario II - Em toda a proporção a somma ou differença a dos dois primeiros termos está para a somma ou differença dos dois ultimos, como o primeiro termo para o terceiro, ou como o segundo para o quarto. É o que se prova, tomando a proporção: A:B::C: D; alternando-a: A :C:: B : D; e applicando-lhe o principio antecedente: A+B C+D с D 168 Tres numeros são em proporção harmonica quando a razão geometrica dos dois extremos é igual á das differenças entre cada um destes e o meio. Por exemplo: os tres numeros: 2, 3 e 6, formam uma proporção harmonica, porque 2:6::(3-2): (6-3) Page 11
Em geral, B é meio harmonico entre A e C, se A:C:: (B-A): (C-B), e a sua determinação é dada pela fórmula
que se deduz da proporção. A esta divisão, do dobro do producto dos extremos, pela sua somma, chama-se divisão harmonica porque encerra o principio da escala diatonica da musica, isto é: da que procede por dois tons e um semitono. 169 Principio — Em toda a serie de razões iguaes, a somma ou a differença dos antecedenles está para a somma ou differença dos consequentes, como qualquer antecedente para o seu consequente. Se for A:B::C:D::M:N::P:Q::....
O principio fica pois demonstrado. Corollario — A somma dos antecedentes está para a dos consequentes, como a differença dos antecedentes está para a dos consequentes; isto n'uma serie de razões iguaes.
2.0 Progressões geometricas
170 Progressão geometrica é uma serie de numeros, na qual o quociente da divisão de cada um pelo seu precedente é constante. Este quociente chama-se razão da progressão. Se a razão é maior que a unidade, os termos augmentam e a progressão é crescente. Se a razão é menor que a unidade, os termos diminuem, e a progressão chama-se decrescente. Em cada um dos casos, cada termo da progressão é meio proporcional entre o que o antecede e o que o segue. Se todos os termos de uma progressão geometrica se multiplicam ou dividem por um mesmo numero, os resultados formam progressão geometrica. Á esquerda do primeiro termo de uma progressão geometrica se escreve o signal ::, como vê nos exemplos seguintes:
São estas series duas progressões geometricas, a primeira crescente, a outra decrescente. Léem-se as progressões geometricas como as arithmeticas. 171 Principio — O ultimo termo de uma progressão geometrica é igual ao primeiro, multiplicado pela razão elevada á potencia, cujo grau é igual ao numero dos termos que precedem o ultimo. Seja a progressão
Sendo ( a razão, teremos:
B=AXQ,C=BXQ,D=CXQ,M=D XQ, N=MXQ...,
isto é: cada termo é igual ao producto da razão pelo precedente. Substituindo agora o valor de cada termo na expressão do seguinte, teremos, successivamente:
B=AXQ=ao primeiro termo multiplicado pela razão; = multiplicado pelo quadrado da razão; multiplicado pelo cubo da razão; pela quarta potencia da razão;
U=RXQ=A XQ7 XQ=AX Q8= ao primeiro termo AX = pela oitava potencia da razão.
Logo, o ultimo termo U da progressão é igual, ao producto do primeiro termo pela razão elevada á potencia, cujo grau é o numero dos termos precedentes, isto é:
sendo n o numero dos termos da progressão. Corollario - O primeiro termo de uma progressão geometrica é igual, ao ultimo dividido pela razão elevada á polencia, Cujo grau é igual ao numero dos termos que seguem o primeiro, ou que precedem o ultimo; porque sendo
E tambem poderiamos ter demonstrado éste corollario, imitando a demonstração do principio. Exemplo I - Calcular o 12.o termo de progressão
Exemplo II --Determinar o 15.o termo da progressão
172 A respeito de uma progressão geometrica podemos estabelecer: que quatro termos consecutivos formam proporção; que tres termos consecutivos formam proporção continua; que dois termos consecutivos formam proporção com outros dois tambem consecutivos; que dois termos quaesquer formam proporção com outros, que distem entre si o mesmo numero de termos que os primeiros; que tres termos quaesquer, com a condição de que os extremos distem igualmente do medio, formam uma proporção continua.
173 Principio - 0 producto do primeiro pelo ultimo termo de uma progressão geometrica é igual ao producto de cada dois termos igualmente distantes dos extremos, ou igual ao quadrado do termo medio, sc o numero delles é impar. Sendo a progressão
174 Principio - 0 producto dos termos de uma progressão geometrica é igual á raiz quadrada do producto do primeiro termo pelo ultimo, elevado á potencia cujo grau é igual ao numero dos termos. Seja a progressão
por consequencia, P2=(A XU) X (B x N) (C x M) X (D X D) X ( MC) X (NXB) X (U XA), ou P2 = (A XU)" Logo P=V(A x U)"; o que demonstra o principio.
Exemplo — Delcrminar o producto dos 5 primeiros lermos da progressão :: 2:6: 18:... 2 175 Principio - Para inscrir n meios geometricos entre dois numeros dados, divide-se o maior pelo outro, e extrahese do quociente a raiz, cujo grau é igual ao numero dos meios e mais uma unidade. Sejam A e B os dois numeros dados, e Q a razão da progressão, cujos extremos serão A e B. Será (171): B=AX0+1; d'onde se deduzirá
Corollario - Se entre os termos consecutivos de uma progressão geometrica se inserem meios geometricos por igual, a serie resultante é uma progressão geometrica. Exemplo I – Inscrir ý meios proporcionaes entre 2 e 1458. Exemplo 11 - Inserir 4 meios proprocionaes entre 24 e 4 176 Principio — A somma dos termos de uma progressão geometrica é igual á differençn entre o primeiro termo e o producto do ultimo pela razão, dividida pela differença entre a unidade e a razão. Sendo a progressão
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se a progressão é crescente, isto é: se (>1; mas se a progressão é decrescente, isto é: Q< 1, nesse caso será: A-UXQ=SX(1-0). ES ) Logo, na primeira hypothese, teremos:
logo, o principio fica demonstrado. Exemplo I - Calcular a somma dos 7 primeiros termos de progressão :: 2:6:18: ... Exemplo II - Calcular a somma dos 8 primeiros termos da progressão :: 12:3:7 i... 177 Principio — Em toda progressão geometrica a somma dos antecedentes está para a dos consequentes como qualquer antecedente está para o seu consequente', ou a differença dos antecedentes está para a dos consequentes como um antecedente para o seu consequente; ou a somma dos antecedentes está para a dos consequentes, como a differença dos antecedentes está para a dos consequentes. Tudo se conclue immediatamente, escrevendo a progressão pelo modo seguinte: A С M U D N R
178 Progressão harmonica é uma serie de numeros, na qual quaesquer tres termos consecutivos formam proporção harmonica, como por exemplo:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 23456'78°9' 10 '
I Sendo 5 : 15 =X: 12 e 2:8=y:6 XX, calcular o valor de x.
Basta multiplicar ou dividir as proporções ordenadamente, e resolver a proporção resultante. Il Forinar todas proporções possivel com os numcros da igualdade 5 x 10=25 X 2. E como se reconhece se quatro numeros dados formam proporção? III Sabe-se que 25 medidas de trigo custaram 9000 réis. Qual será a importancia de 32 medidas do mesmo trigo, pelo mesmo preço? Seja x a importancia pedida. É evidente que representará o preço da primeira porção de trigo, e que será o da segunda ; e então, porque os preços são iguaes, teremos:
IV Determinar dois numeros, cuja somma seja 84, e que sejam entre si como 7 para 5. V Determinar dois numeros, cuja differença é 40, e que são entre si como para VI Dispondo 15 caixas em fileira, lançando um grão de trigo na primeira, dois na segunda, quatro na terceira, dobrando successivamente o numero até á ultima; qual será a totalidade dos grãos de trigo contidos em todas as cairas? VII Dados os extremos 1 e 15,625 de uma progressão geometrica com quatro termos, determinar os meios.
COMPLEMENTO DO CALCULO ARITHMETICO
179 Quando se comparam duas progressões: uma, geometrica começando por 1, a outra arithmetica começando por 0, os termos desta são os logarithmos dos termos correspondentes da progressão geometrica. O logarithmo de um numero qualquer fica sendo inteiramente arbitrario, isto é, perguntando-se: qual é o logarithmo de 5 ? não se poderá responder senão depois de se estabelecerem as progressões, que hão-de constituir o systema a que a pergunta se deve reportar. Base de um systema de logarithmos é o termo da progressão geometrica, correspondente ao termo 1 da progressão arithmetica. É evidente que se podem formar quantos systemas de logarithmos se queira, vistoque são arbitrarias as duas progressões que os constituem, sob a condição de começar por zero a progressão arithmetica e pela unidade a geometrica. Logo, um mesmo numero pode ter differentes logarithmos, e a um mesmo logarithmo podem corresponder differentes numeros, em diversos systemas de logarithmos. No systema de logarithmos, cuja base é 3, teremos:
::1:3:9:27:81: 243 : 729 : 2187:6561:19683: 59049:177147 9 , 6...
No systema de logarillimos, cuja base é 4, teremos:
: 1:4: 16:64: 256 : 1024 : 4096 : 16384 : 65536 : 262144 ... 10.1. 2 3 4. 5. 6. 7. 8. 9 Log. 1 0, log. 4 = 1, log. 16 = 2, log. 64 = 3, log. 256 = 4, log. 1024 = 5, log. 4096 = 6...
Comprehende-se pois: 1.', que em todos os systemas de logarithmos a base tem sempre por logarithmo a unidade, e que o logarithmo da unidade é sempre zero; 2.", que, em dois systemas diversos, um mesmo logarithmo corresponde a dois numeros differentes.
A base de um systema de logarithmos pode ser numero inteiro differente de 1, fraccionario, ou incommensuravel. 180 Principio -- 0 logarithmo do producto de dois ou de muitos factores é igual á somma dos logarithmos dos factores. Sejam as progressões de um systema qualquer
Ora, porque a, b e c, são os logarithmos de A, B e C, a primeira igualdade dará log. C=log. A + log. B, ou log. (A x B) == log. A + log. B. Esta demonstração é independente dos termos, que se tomaram para exemplo, nas duas progressões. Busquemos ainda o logarithmo do producto CXE. Porque (--(=h-0,1 ctl, C:1=H:E, CXE: logo, log. H=log. C+ log. E, ou log. ( CE) = log. C +-log. E. , Quando os factores são muitos, applica-se igualmente o principio. E com effeito, log. (MXN XP) = log. M X (N XP) = log. M + log. (N XP) = log. M +- log. N + log. P. Corollario -- Para achar o producto de dois ou de muitos numeros, addicionam-se seus logarithmos; e o numero correspondente a esta somma será o producto.
Por exemplo: buscar o producto de 64 por 4096 no systema (B) (n.° 179). Sommando o logarithmo de 64 com o de 4096, obtem-se 3 +6=9, que é o logarithmo do producto 64 x 4096 : logo, 262144 é o producto que se procura; porque é o termo da progressão, cujo logarithmo é 9. 181 Principio - 0 logarithmo de um quociente é igual ao logarithmo do dividendo menos o do divisor. Com effeito, sendo D, d e Q, o dividendo, o divisor, e o quociente, teremos: D=dxl, e, por consequencia,
o que demonstra o principio proposto. Corollario --- Para buscar o quociente de dois numeros, subtrahe-se do logarithmo do dividendo o do divisor; e o numero correspondente a esta differença é o quociente. Por exemplo: dividir 177147 por 2187, empregando o systema (A) (n.° 179). Subtrahindo 7, logarithmo de 2187, de 11, logarithmo de 177147, a differença 4 será o logarithmo do quociente. Por consequencia, 81 será o quociente que se procura. 182 Principio - 0 logarithmo de potencia de um numero é igual ao producto do expoente da potencia pelo logarithmo d'esse numero, Porque, por exemplo,
logo, o principio fica demonstrado. Corollario -- Para achar uma potencia de um numero qualquer, multiplica-se o logarithmo d'esse numero pelo grau da potencia; e o numero correspondente ao producto obtido é a potencia que se busca. Por exemplo: elevar 16 á quarta potencia, empregando o Page 13
Para calcular os logarithmos das potencias de 2, bastaria multiplicar o logarithmo d'esse 2 pelos numeros 2, 3, 4, etc. Para obter os logarithmos dos productos do numero 2 pelas potencias da base do systema, bastaria ajuntar á caracterisca do logarithmo do dito numero tantas unidades quantas tivesse o expoente da potencia da base, que fosse multiplicador. E para calcular os logarithmos dos quocientes das potencias da base pelas do numero 2, bastaria subtrahir os logarithmos destas potencias de tantas unidades quantas tivesse o expoente daquella potencia, que fosse dividendo. Consequentemente, obteriamos o logarithmo do numero 2 e os de todas as potencias deste numero, a saber: 4, 8, 16, 32, etc.; teriamos tambem os logarithmos dos productos: 20, 200, 2000, etc., 40, 400, 4000, etc., etc., 80, 800, 8000, etc., etc.; teriamos, emfim o logarithmo do quociente 5, os dos productos 50, 500, 5000, etc., 25, 250, 2500, etc. Tratariamos depois de calcular o logarithmo do numero 3, pelo mesmo modo por que calculámos o de 2; e chegariamos a obter os logarithmos de todos os numeros formados pelos factores 2, 3 e 5. E buscando successivamente os logarithmos de todos os numeros, e escrevendo 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc., etc., em columnas, com os seus logarithmos ao lado, formariamos uma taboa de logarithmos vulgares, approximados até unidades decimaes de qualquer ordem determinada a-priori. 186 A propriedade principal dos logarithmos vulgares é a que consta do seguinte Principio ---- A mantissa do logarithmo de um numero qualquer não muda, quando esse numero é multiplicado ou dividido por uma potencia de 10. Page 14
57: 17 :: 1:2, donde = logo, o numero que se procura é 7709,5970 x= : isto é: 3.8870279 == log. 7709,5 570
E porque a parte 17 da differença 57 entre dois logarithmos consecutivos corresponde 3, isto é: na taboa das partes da dita differença 57, será o=i=0,03: consequentemente, = 3.8870279 = log. 7709,53. Supponha-se ainda, para bem se perceber esta prática, que se pede o numero, cujo logarithmo é 7.8866957. Acha-se, procedendo como acima, que este logarithmo está comprehendido entre 8866937 e 8866994, que correspondem aos numeros 77036 e 77037. O numero, que se busca, é pois 77036 e mais a fracção dada pela proporção: 57 : 20 :: 1: X. Agora, procurando 20 na taboa das partes da differença 57, acha-se 17, a que corresponde 0,3; e porque ainda fica o excesso 57, procura-se 30, que se não acha, mas toma-se 29, a que corresponde 0,5; do que resulta que ; X0,5=0,05. Logo, o numero, cujo logarithmo é 7.8866957, vem a ser 0,007703635; isto é: 71.8866957 = log. 0,007703636. APPLICAÇÃO DOS LOGARITHMOS AO CALCULO ARITHMETICO 194 Problema - Calcular a expressão: Page 15
TYPO DO CALCULO 1 CALCULOS SUBSIDIARIOS Log.x= x log. 104.... 3 1
2 slog. 1512.. +EX 3 I+C.log. 11
Problema -- Calcular alguma das quatro quantidades incognitas de uma progressão geometrica determinada. Primeiro termo log. A=log.U+C. (n − 1) x log. Q; Ultimo termo log. U = log. A + (n − 1) x log. Q; log. U + C. log. A Razão log. Q n-1 log. U+C. log. A Numero dos termos... N = +1; log. Q Producto ... log. P X (log. U + log. A.) 2 QUESTÕES SOBRE A THEORIA DOS LOGARITHMOS I Caracteres dos logarithmos vulgares, e suas propriedades. II Determinar a razão entre os numeros correspondentes a dois logarithmos, cuja mantissa é commum. lil Determinar a relação entre os logarithmos de numeros, que formam proporção ou progressão geometrica. IV Provar, praticamente, que as differenças entre os numeros se approximam da proporcionalidade com as differenças entre os logarithmos respectivos; e que essa approximação é cada rez maior a medida que os numeros vão sendo maiores. V Que razão ha para se addicionar sempre uma dezena ás caracteriscas negativas, com o proposito de as tornar posilicas; e para não lhe addicionar 1, 2, 3, ou qualquer outro numero? VI. Demonstrar que o logarithmo negativo de uma fracção é igual ao logarithmo do numero reciproco, precedido pelo signal VII Porque razão não pode ser a unidade base de um systema de logarithmos? Page 16
A toeza nautica tinha 6 pés da ribeira das naus.. A vara e o covado dividiam-se em 3 terças, 4 quartas, 6 sesmas e 8 oitavas. Havia o passo geometrico = 5 pés ou 71/2 palmos, e o passo ordinario= 24/2 pés. O passo militar tem 26 pollegadas. As medidas itinerarias eram as seguintes : A legua marinha, ou de 20 ao grau, que tinha tres milhas geographicas; a milha geographica, que tinha 842 braças ou 5:612 pės; a legua de 18 ao grau, que tinha 28:059 palmos craveiros, ou 2:806 braças, ou 3:741 passos geometricos. A legua dividia-se em 4 partes, ou quartos de legua. Os numeros seguintes: 41. 3pm. 5pg. e 5T. 4. 9pg 101. são numeros complexos, que se lêem assim: quatro varas, tres palmos e cinco pollegadas; cinco toezas, quatro pés, nove pollegadas e dez linhas.
*199. As superficies eram avaliadas em braças quadradas, varas quadradas, palmos e pollegadas, ou em leguas quadradas, milhas e passos. A braça quadrada continha 4 varas quadradas; a vara, 25 palmos, o palmo, 64 pollegadas; a legua, 9 milhas; a milha, 708:964 braças quadradas. Não havia medidas agrarias, rigorosamente determinadas: umas eram puramente lineares e empregadas na designação dos contornos das propriedades ruraes; outras eram realmente de superficie ou quadradas, mas sómente de uso local (a). (a) Aguilhada é uma medida linear ou vara de 18 palmos de comprimento 6 covados môchos, empregada nos campos de Coimbra. Aguilhada de terra, medida de superficie, é um rectangulo com 60 aguilhadas lineares de altura e 1 de base. Hastim é medida linear 100 passos ordinarios ou 75 varas (Ribatejo.) Hastim, medida de superficie, com 300 varas de comprimento e 5 de largura ou 1:500 varas quadradas (Ribatejo). Fanga de terra, medida de superficie, é o tracto de terreno, que leva 4 alqueires de semeadura. Geira, medida de superficie, é o tracto de terra que um arado póde lavrar durante um dia. No campo de Coimbra = 12 aguilhadas de terra; em outras partes da Beira, é igual: a 1 fanga, sendo de trigo; a 1/2, sendo de cevada para sêcco; a 2 fangas, sendo de cevada para verde; a / fanga, sendo de centeio. Alqueire de terra, medida de superficie, é uma extensão de terreno capaz de om alqueire de semeadura. No Minho reputa-se que um alqueire de centeio occupa 484 varas quadradas, ou 124 braças. Moio de terra é 60 alqueires. Na ilha Terceira, reputa-se o alqueire de terra em 100 braças quadradas. Vara e palmo, são: vara ordinaria e palmo craveiro, que se empregam, ou no tombo dos predios, ou na demarcação dos terrenos para aforamentos, edificações, etc. N. B. A locução refere-se ao presente, quando respeita ás medidas ainda hoje em voga. Page 17
MEDIDAS PARA METAES PRECIOSOS E DIAMANTES
206. Marco=8 ónças ; 'onçã=8 oitavas; oitava=72 grãos. Para diamantes são: A onça=8 oitavas; oitava = 3 escrópulos; escropulo 6 quilates; quilate = 4 grãos. Os diamantes, as esmeraldas, os rubis, as saphiras e as perolas e costume venderem-se por quilates; os tapazios, por oitavas. Os diamantes, que podem ser polidos, avaliam-se pelos quilates que pesam; mas 'o valor dos que excedem um quilate é na razão do quadrado do seu peso. Por exemplo: se o diamante, que tem 1 quilate, se reputa em 8$000 réis, o que tiver 3 quilates valerá 8$000 x 9. Esta regra não é fixa, pois o valor estimativo depende da pureza da agua do diamante. Para o toque de oiro:
Este é o grão de tei, que não deve confundir-se com o grão de peso. Para o toque de prata : Marco, com 12 dinheiros; dinheiro, com 24 grãos; grão, com 4 quartas. Quilate é o peso de oiro puro equivalente a 1/24 de uma barra. Por exemplo: se dividindo uma barra de oiro em 24 partes iguaes, 21 dessas partes são de oiro puro e as outras tres de metaes diversos, diz-se que o oiro daquella barra é de 21 quilates. Oiro de 24 quilates é, pois, o oiro sem liga, ou oiro puro. Dinheiro é o peso de prata pura equivalente a 1/12 de uma barra qualquer. A prata de 12 dinheiros não contém liga, é fina ou pura; a de 11 dinheiros contém 1/12 de liga, isto é, de metaes inferiores.
MEDIDAS ESPECIAES - 207. O carvão de cepa ou de lenha mede-se e vende-se ás saccas. A sacca para carvão é um sacco, que, estando vasio, póde receber exactamente um caixilho de madeira, formado por quatro regoas, dispostas rectangularmente; o qual te m 5'm, 21 de altura, 3pm., 16 de largura, Opm.,073 de espessura. O carvão de pedra mede-se e vencle-se por pipa. A pipa=16 fangas; a fanga =4 alqueires cogulados . A cal, extincta ou caldeada, mede-,se aos moíos de 60 alqueires rasos; mas, sendo em pedra ou virgem, então mede-se aos moios de 30 alqueires, porque o seu volume dobra å epois de extincta. O sal mede-se aos moios de 60 alqueires .
moios contam-se por um lastro de Hollanda e dos portos do Baltico. Sendo velho, o sal tem maior peso, sob volumes iguaes. A palha mede-se aos pànnos: o panno tem 4 arrobas no Ribatejo, mas 7 ou 8 nos arredores de Lisboa. A altura dos cavallos mede-se pela quarta, que é= 300,778 do palmo craveiro, ou por pollegadas. Cavallo de marca é o que tem a altura exigida para o serviço da cavallaria; a marca é 54 pollegadas, contadas desde a corôa do casco da mão até a agulha. Faca é todo o cavallo que tem menos de 7 quartas de altura.
208. Tara é o peso da barrica, paneiro, sacco, caixa ou qualquer capa onde a mercadoria está emballada ou empacotada. Peso bruto de uma mercadoria é o que ella tem conjunctamente com a capa ou involucro: peso liquido é o que tem sem o involucro. Tara liquida é o peso do involucro. : Tara fixa é o que está convencionado abater-se ao peso bruto de uma mercadoria, pelo involucro, para não pesar separadamente a mercadoria. Escoamento, quebra ou vertedura, é a diminuição no peso ou na medida, que se abona ao comprador em compensação de alguma alteração do genero, das impurezas, ou das adherencias ás paredes da vasilha em que está acondicionado ou por onde se mede. Chapéu ou capa é uma usança do commercio maritimo, mórmente nos mares do norte; é tanto por % (cento) sôbre o frete da mercadoria, ou um tanto de cada volume. Foi propina do capitão, a titulo de comprar capa ou capuz para se defender das neves e chuvas: mas hoje é appendice do frete, e pertence ao armador do navio. Commissão é a percentagem, que deduz o commissario, pelo facto de correr com algum negocio de outrem. Delcredere é o premio que recebe commercialmente o negociante, que abona outrem, pelo risco que corre por effeito da abonação. Este premio varia entre 11/2 e 3 por cento, segundo a confiança que a firma garantida merece a quem a abop.a. Delcredere (del credere) é termo mercantil italiano, que significa da abonação, ou do credito. Corretagem é a percentageni que recebe o corretor pelo negocio concluido por sua intervenção. Balança é a despeza de pe:sar as mercadorias na balança pública ; é guindaste, carena ou querena, é a de embarcá-las e desembarcá-las com o guindaste público, e a de recorrer ou examinar os cascos, barricas ou caixas na estação official, para fazer constar que tudo está
bem acondicionado e estanco. Estas despezas é de costume serem feitas pelo dono da mercadoria, que se entrega. Armazenagem é o aluguer do armazem; quando a fazenda é armazonada à espera de venda, ou de ser expedida para outro ponto. Esta despeza é lançada sobre a fazenda.
§ 2.° Systema legal de medidas 209 A unidade por excellencia do novo systema é o metro: desta derivam-se todas as outras. Metro é a decima millionesima parte do quarto do meridiano de Paris, considerado ao nivel do mar. Concluiu-se das medições effeituadas que o quarto d'esse meridiano tem 5130740 toezas (medida de França): logo o metro 07,5130740 443lin, 295936. A unidade principal das medidas de superficie é o metro quadrado; a das medidas agrarias é o are ou decametro quadrado, que é o quadrado, cujo lado é=a 10 metros; a das de = volume é o metro cubico, a que tambem se denomina stere no caso de servir para a avaliação de volumes de lenha ou de madeiras de construcção; a das medidas de capacidade é o litro ou decimetro cubico; a dos pesos é o gramma, que é o 0 peso, no vacuo, de um centimetro cubico de agua distillada e no seu maximo grau de condensação. Eis como do metro se formam as unidades principaes das diversas especies de medidas. Na tabella seguinte mostram-se os multiplos e submultiplos das differentes unidades de medida.
De superficie ...... Metro?
Decametro?... Hectometros,
Kilometro?.... Myriametro? .. Decimetro ... Centimeiro?... Millimetro?.
Heelometro?.. Kilometros.
Myriametros.. Decimelio 3
(a) De pèrpov — medida. (b) Do la!. area superficie de terra, ou geira. (c) De altpoh — libra, peso e medida. (d) De Tepeds - solido.
O quintal metrico é= 100 kilogrammas. Os multiplos e submultiplos das diversas unidades de médida são outras tantas unidades, que se adoptam segundo a medição que se quer effeituar, em proporção com a grandeza de cada distancia, de cada superficie, volume ou peso. Por exemplo: nas medições itinerárias adopta-se para unidade o kilometro; na agrimensura emprega-se o decametro e o hectometro; nas artes de precisão o millimetro; nas medições vulgares o metro. As medidas legaes de comprimento, capacidade e peso, formam-se multiplicando as respectivas unidades ou dividindo-as pelos numeros 2, 5, 10, 20, 50, 100, etc. Assim se obteem: O metro, o duplo-metro, o meio decametro, o decametro e o duplo-decametro, - o meio metro, o duplo-decimetro e o decimetro; O litro, o duplo-litro, o meio decalitro, o decalitro, o duplodecalitro, o meio hectolitro, o hectolitro, - o meio litro, o duplo-decilitro, o decilitro, o meio-decilitro, o duplo-centilitro e o centilitro; 0 kilogramma, o duplo-kilogramma, o meio myriagramma e o myriagramma, o duplo-myriagramma, e 50 kilogrammas, - o meio kilogramma, o duplo-hectogramma, o hectogramma, e o milligramma.
DIVISÃO DA CIRCUMFERENCIA .210 Divide-se a circumferencia em 4 quadrantes, o quadrante em 100 graus, o grau em 10 minutos, o minuto em 100 segundos. A circumferencia tem pois 400 graus (er). A divisão antiga (n.° 205) tem prevalecido contra esta, não obstante a sua excellencia reconhecida.
TOQUE OU TITULO DE METAES 211 Chama-se toque ou titulo de uma liga a razão entre o peso de oiro puro ou de prata fina, contido na liga, e o peso Page 18
total da dita liga. Os graus de pureza são 1:000. Assim, dizendo-se que o titulo de uma liga de oiro é 0,850, isto significa: que em 1000 partes da liga ha 850 de viro puro.
212 Moeda real é a peça de oiro ou prata em circulação, com o toque, o peso e o cunho decretados no paiz aonde é batida. Moeda imaginaria, idéal ou de conta, é a que se usa nas contas, mas a qual não corresponde uma peça real. Por exem á plo: mil réis era antigamente moeda imaginaria; pois não havia peças de mil réis, e a conta de qualquer porção de mil réis era feita com peças de moeda de 480 réis e seus minimos; ou com peças de outro valor. Porém, agora, mil réis é moeda real e moeda de conta. A unidade imaginaria da moeda portugueza é o real (plural — réis); a unidade real e principal é a peça de mil réis. Moeda de cambio é a unidade monetaria, que se emprega no curso dos cambios, isto é, na troca de quantidades monetarias de uma nação pelas de outra. Portugal, nas suas operações cambiaes com a Inglaterra, emprega uma só unidade: - mil réis. A Inglaterra, nas suas operações cambiaes com a França, dá a li. bra esterlina por unidade cambial; com Portugal, dá o dinheiro ou pennique, que é da libra esterlina 1/240. A França, nas suas operações de cambio com a Inglaterra, emprega como unidade cambial um numero variavel de francos e centimos ou centis; com Portugal, emprega o escudo de 3 francos. Exemplos: quando se diz em Lisboa — «o cambio sôbre Londres está a 52», este dizer significa: «que 1 $000 réis de Lisboa valem 52 penniques em Londres », sendo o termo 1$000 réis constante. Quando se diz em Lisboa «o cambio sôbre París está a 600 réis » quer-se dizer:— «que 3 francos sõbre París valem 600 réis em Lisboa»; 3 sendo constante o termo 3 francos. Quando se diz em Paris: «o cambio sôbre Londres estú a 23 fran. COS», equivale a dizer — «1 libra esterlina de Londres vale 25 francos de Paris»; e o termo 1 libra é constante. Moeda banco, e moeda corrente. Nas praças commerciaes, aonde circulam moedas metallicas de diversas nações, ha estabelecimentos ban Page 19
230000 é o numero de decimetros quadrados, que se deseja · obter. E na verdade, é 23 decametros o mesmo que 23 vezes um decametro, ou que 23 vezes 100 metros, ou que 23 vezes 10000 decimetros, isto é: o mesmo que 230000 decimetros quadrados. Regra – Para reduzir qualquer numero de unidades a outras maiores, divide-se o dito numero pela relação entre as duas unidades; e o quociente obtido é o numero de unidades que se procura. Por exemplo: para reduzir 18 pés a toezas, divide-se o numero 18 pela relação 6, e o quociente 3 é o numero de toezas que se busca. Com effeito, 18 pés é 18 vezes 1 pé, ou 18 vezes da toeza, ou da toeza : logo, 18 pés equivale a 3 toezas. Igualmente, para reduzir a decametros quadrados 230000 decimetros, dividiremos o numero 230000 pela relação 10000, e o quociente 23 será o numero que se busca; porquanto 230000 decimetros quadrados é o mesmo que 230000 vezes do decametro quadrado, ou do decametro, ou 23 decametros. Corollario — Para indicar a reducção de qualquer numero incomplexo a unidades maiores da mesma especie, basta indicar a divisão do dito numero pela relação das duas unidades, e escrever a letra inicial da nova unidade em logar da outra. Por exemplo, para reduzir 368' a graus, basta escrever assim E para de qualquer numero incomplexo extrahir as unidades de especie maior, é necessario effeituar a divisão antecedente; o quociente inteiro mostrará o numero das ditas uni. dades maiores, e o resto representará unidades da especie dada. Por exemplo: para extrahir os graus contidos em 368' executar-se-ha a divisão de 368' por 60; e resultará o quociente 6', e o resto de 1° ou 8'. Igualmente, para extrahir os kilogrammas contidos em 43598 grammas, executar-se-ha a divisão do numero dado Page 20
Problema II - Newton nasceu em 25 de dezembro de 1642, e morreu em 20 de março de 1727. Que idade tinha quando morreu?
MULTIPLICAÇÃO 222 O problema mais frequente na multiplicação de numeros concretos é aquelle em que se pede o valor de certa quantidade, quando é conhecido o valor da unidade. Para resolver este problema, multiplica-se o valor da unidade pelo numero representante da quantidade, cujo valor se pede. Se o multiplicador não designa unidades da especie daquella, cujo valor é o multiplicando, reduz-se primeiramente a esta especie. Os numeros incomplexos multiplicam-se como se fossem abstractos: as condições do problema determinam a especie do producto. Exemplo I - Se um quintal custa 10 peças, ou dobras de oiro, buscar o custo de 10,5 arrateis. É preciso reduzir o multiplicador á especie da unidade, cujo valor é o multiplicando, isto é, a fracção de um quintal: depois, o producto 10,5 105 0,82 de uma peça será o custo pedido, que vem 128 128 a ser 68560 réis. Exemplo II - Qual é o peso, no ar, de oito litros de agua pura em sua maxima densidade; sabendo que um litro de ar pesa 48", 299 (em certas condições), e que todo o corpo mergulhado em um fiuido perde uma parte do seu peso igual ao de igual volume do fiuido deslocado. 223 Nas questões que se resolvem pela multiplicação dos numeros concretos, o objecto de cada questão é que determina a especie das unidades do resultado: o factor desta mesma especie será o multiplicando, e nunca poderá tomar-se como tal o outro factor, senão nos dois casos seguintes, a saber: 1.° Exemplo: Calcular o producto 3",8X2, 2. Page 21
por igual na formação do producto, e nenhum determina a especie deste, que vem a ser de um genero muito differente. A área de um rectangulo avalia-se multiplicando a base pela altura do mesmo rectangulo. A área de uma figura plana é o numero, que exprime a razão geometrica ou por quociente entre a extensão da figura e a da superficie que serve de unidade. AD=31,8, A B=2m,2; 3m,8 x 29,2. O rectangulo A BCD, que tem 3",8 de base e 2,2 de altura, contém 2 vezes 3 metros quadrados, ou unidades de superficie, mais 2 vezes 0,8 de uma unidade, mais 3 vezes 0,2 de uma unidade, e mais, emfim, 0,8 dos 0,2 de uma unidade, isto é: ABCD 1 mot. X (3.2) + {m:q: x (0,8.2) + lu-[x(0,2.3)x(1-1)x(0,2.0,8), ou ABCD = 1 x [(3,8.2) +- (3,8.0,2)], ou ABCD=107 X (3,8 x 2,2), : X
ou, finalmente, =836 vezes a centesima parte de um metro quadrado, isto é: ABCD=81.4,36, (oito metros quadrados, trinta e seis decimetros). Logo, a expressão da área do rectangulo proposto é igual ao producto da base 3M,8 pela altura 0m, 2 do mesmo rectangulo: logo, o producto de 3”,8 por 2m, 2 exprime metros quadrados; unidades de um genero diverso das que exprimem os dois factores. 2.° Exemplo: Calcular o producto 4m.9,95 X 2",5. Consta o producto que se procura de tres factores de uma mesma especie, os quaes entram todos por igual na formação do producto; vindo este a ser de outro genero muito di
O volume de um parallelipipedo rectangulo avalia-se multiplicando a área da base pela altura do mesmo parallelipipedo. Volume de um corpo é o numero que exprime a razão geometrica ou por quociente entre a extensão ou capacidade do corpo e a da unidade de volume. Page 22
57. 3pés 8polleg. gr. 5pés Ipolleg.
* Producto de 57. por 8T. 407.9. Producto de gt. por 1T. . [ gr.q.] subsidiario. Producto de gt. por 3pés, ou por 1/2" 4T.4. Producto de gt. por spé, ou por 1/6". ..[ 17.9. 12pés 9.] subsidiario. Producto de 87. por gpolleg. ou 2/3 de 16pés q. 1pé...... por 1/3 16 pés q. Producto da base por 8T. 44T.9. 32 pés q. Producto de 5T. 3pės gpolleg. por 1T. [ 5T.9. 22pés 9] subsidiario. Producto de 5T. 3pés gpolleg. por 5pés, ou 5/6 de 11. 33pés q. 96polleg.q. por 1% por 6 31.g. 26pés q. 96 polleg.q. Producto de ŠT. 3pés 8polleg. por Opolleg. ou %12 de 1pé 16nés q. 120polleg.q. por 1/2 por 1/4 8pės q. 6 polleg. q. Somma... 50T.q. Opés q. 84 polleg. q Área do s rectang
Exemplo IV– Calcular o valor de 4h.lit. 2decalit. 4lit. de certo liquido, sabendo que um decalitro custa 3Ls. 12x 10p (e que 11s. = 20% e 1x 12° ) (n.° 214). TYPO DO CALCULO
Producto de 42 decalitros por 3ls., 126Ls. Producto por 1 Ls. . [ 42Ls.] Producto por 10x ou "/2.5.. 21Ls. Producto por 2x ou 1/5 de 10.... 4* Producto por 1x Producto por 6P ou 1/2 de 18 Page 23
II Um particular que tinha um campo com 16h.ar gar 46.ar, vendeu 4h.ar gar 7c.ar: quanto lhe ficou? III Certa estrada é dividida em lanços, cujas extensões são: 3k.m,625, gb.m, 32, 45",18, 11.m,659: qual é a extensão total da estrada, tomando-se a kilometro por unidade? IV Quantos ladrilhos, cujas dimensões são 10PS. e 5, P8. são necessarios para ladrilhar uma casa rectangular de 6”,58 de comprimento, e 4",75 de largura? V Quanta prata fina terá uma salva, cujo peso é dk.gr.625 e o toque 18 quilates ou 0,750? VI Sabendo-se que 1 litro de alcool puro pesa Ok.er, 792, pergunta-se: quanto pesarão 5lit, 69? VII O diametro do sol é 11206 vezes a centesima parte do da terra, o qual tem 12733590". Pergunta-se: quantos metros terá o diametro do sol? VIII Qual é a expressão da área de um quadrado, cujo lado=64,74? IX Calcular em hectares, ares e centiares a área de um campo, cujas dimensões são 859",7 e 368m. 4. X Calcular em kilogrammas o peso de um parallelipipedo de agua quasi gelada, cujas dimensões são: 7pm., 4pm. 508. e 3pm. 68. glin XI Calcular o peso do ar contido n'um quarto rectangular, cujas tres arestas téem: 97,64, 67,83, 5",07; sabendo-se que o peso de um volume de ar e 0,001299 do de igual volume o de agua (em condições muito determinadas). XII O diametro de uma moeda de 500 réis tem 30m.m; pergunta-se: quantas destas peças de moeda seriam necessarias para cobrir um arco de meridiano=69, 25'? (Suppondo-se que todos os meridianos são iguaes ao de Paris, e que os graus são iguaes em todas as latitudes). XIII Suppondo que um tanque contém 20ton.,659 (metricas) de azeite, e sabendo: que um volume de azeite pesa 0,915 de um volume igual de agua distillada (em iguaes condições); que o comprimento do tanque é=5, 2pm., e que a sua largura é=2, 4.pm., pede-se: a profundidade do volume de azeite contido no tanque, expressa em varas e seus submultiplos. Page 24
ista é: a quantidade P, proporcional as outras quantidades, c, 1, e, tambem é proporcional ao producto dellas, 242 Diz-se que duas quantidades são inversamente proporcionaes uma á outra, quando a razão entre dois valores quaesquer de uma dellas é igual a inversa da razão entre os valores correspondentes da outra. Por exemplo: o numero de obreiros necessarios para executarem certa obra é inversamente proporcional ao tempo em que essa obra deve ser concluida; duplica-se o numero dos obreiros quando o tempo se reduz a metade, etc. 243 Póde uma quantidade ser proporcional a certas quantidades, e inversamente proporcional a outras, conjuncta. mente. Exemplo: 0 numero de operarios precisos para se fazer certa obra é proporcional à quantidade dessa obra e á difficuldade da sua execução; e é inversamente proporcional ao tempo em que a mesma obra deve ser concluida. 4.° Conservando-se constante o tempo e a difficuldade, o numero dos operarios varia em proporção com a quantidade da obra; 2.0 Sendo constante o tempo e a quantidade de obra, o numero dos operarios será em proporção com a difficuldade. 3.° Se a difficuldade e quantidade da obra são invariaveis, o numero dos operarios será inversamente proporcional ao tempo, isto é: inversamente proporcional ao numero dos dias de trabalho, e ao numero de horas de trabalho em cada dia. Principio — Uma quantidade proporcional a outras muitas quantidades, a umas directamente e a outras inversamente, é proporcional directamente ao producto das primeiras e inversamente ao das segundas. A demonstração deste, é similhante á do principio do n.°241. 244 Principio — As quantidades que são proporcionacs entre si, variam por igual de parte a parte, isto é: se uma se torna 2, 3, ..., n vezes maior ou menor, ou os , ou os ..., a outra se torna igualmente o mesmo numero de vezes maior ou menor, ou os Representemos por A e B as duas quantidades, e şejam a e al A Page 25
TYPO DAS REGRAS DE TRES COMPOSTAS
248 Uma grandeza M depende de muitas outras A, B, C, P, Q, R; ella é proporcional a A, B, C, ...., e inversa mente proporcional a P, Q, R, .. Sabe-se tambem que M tem um valor conhecido m, quando A, B, C, ...., P, Q, R são Q respectivamente iguaes a a, b, c, ...., p, q, r, ....; e per b q gunta-se: qual será o valor de M, quando esses diversos elementos tiverem o valor a', b', c', ....,p', q', r', .... Discorrendo como precedentemente, por qualquer dos dois modos, obteremos a proporção seguinte: axbxc
D'aqui resulta a seguinte Regra — Sendo conhecido o valor m de certa quantidade, e dados os valores a, b, c, p, q, r, das quantidades ás quaes aquella é proporcional ou inversamente proporcional; para calcular o valor x desta quantidade, determinado pelos valores a', b', c', p', q', r', das quantidades de que a incognita é dependente, é necessario: multiplicar mpelos valores a', b', c', da segunda linha, das quantidades a que é proporcional, e pelos valores p, q, r, da primeira linha, daquellas a que é inversamente proporcional; e dividir o producto assim obtido pelos valores a, b, c, da primeira linha, das quantidades a que a incognita é proporcional, e pelos valores p', q', r', daquellas a que é inversamente proporcional.
$ 3.0 Methodo geral de resolver as regras de tres 249 Retomemos os problemas do n.° 245. Exemplo I - Uma fabrica produz annualmente 1200 quin Page 26
Retomemos ainda o problema do n.° 247, que é: 25 obreiros trabalhando 11" por dia, durante 18 dias, levantaram uma muralha, cujas dimensões são: altura 3m, comprimento 725", espessura 1",50. Quantos dias serão precisos a 33 obreiros, trabalhando 10" por dia, para levantar outra muralha com estas dimensões, a saber; 4", comprimento 850", espessura 1",75? Dados do problema:
Diremos agora assim: Se 25 obreiros gastam 18 dias, um obreiro gastará 25 yezes mais dias, ou 18 X 25; e 33 obreiros hão-de gastar 33 vezes menos dias, ou 18 x 35. , 33 obreiros, trabalhando 11 horas por dia, gastam 18 X dias; se trabalhassem uma hora por dia, gastariam 11 vezes mais dias; ou 18 X 33 X 11; mas, trabalhando 10 horas por dia, hão-de gastar 10 vezes menos tempo, ou 18 XX 33 obreiros gastam 18 x 33X10 dias, para levantar uma muralha com 3m de altura: se a muralha tivesse um metro de altura, seriam precisos 3 vezes menos dias, ou 18XXX 3 mas tendo a muralha 4m de altura, hão-de os obreiros gastar 4 vezes mais dias, ou 18x 33 obreiros gastam 18 x K*Xįdias, para construir , uma muralha com 725m de comprimento: se à muralha tivesse um metro de comprimento, seriam necessarios menos dias, 725 vezes, ou 18XXXX 725 ; e, tendo a muralha 850m serão precisos mais dias, 850 vezes, ou 18X 33 obreiros precisam dias 18 XXX struir uma muralha com 1”,50 de espessura: se a muralha tivesse um metro de espessura, seriam necessarios menos dias, 1,50 vezes, ou 18X . , XX 1,50
espessura 1",75, serão precisos mais dias, 1,75 vezes, ou 18XX*** X X 735 x 1,50 o que é precisamente o valor achado em o n.° 247, isto é:
250 Este modo geral de resolver as regras de tres denomina-se methodo de reducção á unidade. Consiste em calcular as differentes mudanças de valor, que vae soffrendo a quantidade da especie da incognita, a medida que se vão reduzindo successivamente a unidade os valores condicionaes das quantidades a que ella é proporcional ou inversamente proporcional; e consoante se vão immediatamente substituindo ás unidades de todas as especies os valores determinantes da incognita, segundo as condições da questão; até finalmente se achar o valor desta incognita, Pela applicação deste methodo, cada regra de tres simples se decompõe em duas outras, cada uma das quaes tem um termo igual a unidade. Observação. A regra de tres composta chama-se assim, porque dois dos tres termos dados são compostos, por multiplicação, dos valores condicionaes e dos determinantes das quantidades a que a incognita é proporcional directa ou inversamente; (fórmula (a), n.° 248.) Outra regra de que se trata adiante, é chamada conjuncta, porque depende essencialmente da conjuncção de duas ou muitas regras de tres simples (n.° 259.)
I Se uma quantidade a é proporcional a duas outras bec; no caso de se tornar constante a primeira a, as outras duas serão inversamente proporcionaes uma á outra. II — Se uma quantidade é directamente proporcional a uma outra, e é inversamente proporcional a terceira; quando a primeira se tornar constante, as duas outras serão directamente proporcionaes entre si. III Uma fabrica produziu, em 1863, 26700 quintaes de
porcelana, e em 1864, 32400 quintaes. Consumiu, em 1863, 37000 quintaes de carvão e 2950 de kaolim; e, em 1864, 48000 quintaes de carvão e 4500 de kaolim. Pergunta-se se foi o consumo proporcional à producção. IV, 7M,4 de certa fazenda custaram 299fr ,70: qual será o custo de 115m,2 da mesma fazenda. V O numero das vibrações transversaes de uma corda entesada, na unidade de tempo, é proporcional á raiz quadrada do peso que a entesa, e inversamente proporcional: ao seu proprio comprimento, ao seu diametro, e a raiz quadrada do seu peso especifico (peso da unidade de volume). Posto isto, uma corda de cobre com 0",363 de comprimento, 0,0015 de diametro, e entesada por um peso de 13k.gr, 35, faz 1999 vibrações n'um segundo, e pergunta-se: quantas vibrações fard uma corda de platina de 0",451 de comprimento, 0",00025 de diametro, entesada por um peso de 4k.gr, 49? sendo o peso especifico da platina passada á fieira do do cobre na mesma condição.
$ 1.o Regra de proporção 251 1- Dividir 240 em tres partes proporcionaes aos numeros 2, 3 e 5. Representando por x, y ez as tres partes, teremos, segundo as condições, a serie de razões iguaes:
d'onde (n.° 169), considerando que x+y+z=240;
e com effeito, 48 + 72 +120=240. II Dividir 66 em tres partes, de modo que a segunda seja da primeira, e que a terceira seja os da segunda. Sejam xey e zas tres partes: seráy=XX =XX Xâ,ez=yx ou z=(xx})=XXX: logo, o problema proposto depende d'est'outro: dividir 66 em tres partes proporcionaes aos numeros 1, s, is Reduzindo agora estes numeros á mesma denominação, teremos: 515) ; numeros, que são pro ° iš porcionaes a 15, 10 e 8. Por consequencia, trata-se, finalmente, de dividir 66 em tres partes proporcionaes aos numeros 15, 10 e 8. Para calcular as tres partes, x, y ez, pode-se discorrer aqui como no problema precedente, ou póde-se empregar o methodo de reducção á unidade, pelo modo seguinte: Dividindo (15 +10+8), ou 33, em tres partes propor
cionaes aos numeros 15, 10 e 8, será 15 a primeira parte, 10 a segunda e 8 a terceira; mas dividindo assim a unidade, cada uma das partes será 33 vezes menor, ou 3, 33, 33 : logo, sendo 66 o numero a dividir, as tres partes serão
isto é: será cada uma dellas 66 vezes maior do que a parte correspondente, obtida dividindo a unidade segundo as condições da questão.
252 Regra de companhia é a que ensina a dividir os lucros em sociedade, proporcionalmente aos capitaes dos socios e ao tempo durante o qual os ditos capitaes estiveram em giro. Se os capitaes dos socios forem iguaes, ou se for igual para todos o tempo do contracto social; os quinhões dos socios serão proporcionaes aos tempos, ou aos capitaes; e a regra de companhia será simples. Se os tempos e os capitaes forem differentes, os quinhões serão proporcionaes aos productos dos capitaes pelos tempos correspondentes; e a regra de companhia será composta. III — Tres negociantes formaram uma sociedade, que durou 2 annos: o primeiro entrou com 20$000 réis, e 10 mezes depois ajuntou 15$000 réis; o segundo, que tinha entrado com 455000 réis, retirou 255000 réis 8 mezes depois, emfim, o terceiro entrou com 25$000 réis, que conservou durante o tempo da sociedade. Ganharam 81$213 réis: calcular o quinhão de cada socio. É uma regra de companhia composta. O primeiro socio entrou com 20$000 réis por 10 mezes, e com 35$000 réis por 14; o interesse de 20$000 réis em 10 mezes compõe-se de 10 vezes o interesse de 20$000 reis n'um mez, ou é igual ao interesse de 10 vezes 205000 réis n'um mez, isto é, ao interesse de 200$000 réis; o interesse |
Como elevar ao quadrado 4 raiz de 5
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