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Marco Teixeira Há mais de um mês
Valdemir Junior Há mais de um mês x + raiz quadrada de 3x = 2x raiz quadrada de 3x = 2x - x raiz quadrada de 3x = x elevando ambos os lados ao quadrado (raiz quadrada de 3x)^2 = x^2 3x = x^2 x^2 - 3x = 0 x . (x - 3) = 0 x = 0 ou x = 3 tenho um canal no youtube com aulas de matemática, se inscreve la pra dar uma força. Link: https://www.youtube.com/channel/UCkGGuKyaYyxAqEAuSNUkMPw O cálculo de raízes está profundamente ligado à multiplicação, mais especificamente à multiplicação em que os termos multiplicados são todos iguais. Quando isso acontece, costuma-se dizer que um número foi multiplicado por ele mesmo. Os números multiplicados por eles mesmos são chamados de potências. É uma potência, portanto, qualquer número que for multiplicado por ele mesmo uma determinada quantidade de vezes. Esse número de vezes pode ser de 0 a infinito, dependendo do problema em questão e do tipo de estudo a ser realizado. Observe alguns exemplos de potências: 1·1·1 = 1 2·2·2 = 8 3·3 = 9 Como havia alguns casos em que essas potências eram multiplicações muito extensas, criou-se uma forma diferente de representar as potências. Por exemplo: 13 = 1·1·1 = 1 23 = 2·2·2 = 8 32 = 9 Portanto, para se representar a multiplicação do número 2 por ele mesmo seis vezes, podemos escrever, no lugar de 2·2·2·2·2·2, apenas 26. Essa operação é conhecida como potenciação. No exemplo seguinte, an = b a recebe o nome de base, n é o expoente e b é a potência (às vezes também chamamos an de potência). Dessa forma, potenciação é um tipo de multiplicação em que, dada uma base e um expoente, procura-se por uma potência, multiplicando-se essa base por ela mesma. Muitas vezes, contudo, deparamo-nos com a situação inversa, em que é necessário encontrar a base que gerou uma potência. Esse processo é conhecido como radiciação (calcular a raiz). Utilizando o exemplo anterior, é apresentado o número b, então, devemos procurar pelo número a que foi multiplicado por ele mesmo n vezes. Esse cálculo é representado pelo seguinte símbolo: Na imagem acima, procuramos a raiz enésima de b. Isso significa que buscamos um número a que, multiplicado por ele mesmo n vezes, tenha como resultado b. Na imagem acima, a é chamado de raiz enésima, b é chamado de radicando e n é chamado de índice. Exemplo 1: Calcule a seguinte raiz: Procuramos por um número que, multiplicado por ele mesmo 3 vezes, tenha 27 como resultado. Observe que não procuramos um número que, multiplicado por 3, é igual a 27, mas, sim, um número que multiplicado por si 3 vezes é 27. Portanto, procuramos pelo número A, que cumpre: A·A·A = 27 Tentando realizar a multiplicação acima com o número 3 no lugar de A, obtemos: 3·3·3 = 27 Então, Observe que 27 é resultado da multiplicação 3·3·3, que pode ser escrito como 33. Substituímos 27 por 33 e escrevemos a seguinte expressão: Essa observação leva ao entendimento de que é possível tentar escrever o radicando utilizando a sua decomposição em fatores primos. Exemplo 2: Calcule a raiz quadrada de 576. Observe, primeiramente, a decomposição de 576 em fatores primos: 576 |2 288 |2 144 |2 72 |2 36 |2 18 |2 9 |3 3 |3 1 |22·22·22·32 Observe que o resultado foi agrupado dois a dois. Isso acontece porque estamos calculando a raiz quadrada. Se fosse raiz cúbica, agruparíamos três a três; raiz quarta, quatro a quatro etc. Agora basta calcular a raiz: Por Luiz Paulo Moreira
A raiz quadrada (√) de um número é determinada por um número real positivo elevado ao quadrado (x2). Já na raiz cúbica, o número é elevado ao cubo (y3). Além disso, se a raiz for elevada a quarta potência (z4) é chamada de raiz quarta, e se for elevada a quinta potência (t5) é raiz quinta. Como calcular a raiz quadrada?Para saber a raiz quadrada de um número, podemos pensar que um número elevado ao quadrado será o resultado. Portanto, o conhecimento da tabuada e de potenciação são extremamente necessários. No entanto, alguns números são difíceis por serem muito grandes. Nesse caso, utiliza-se o processo de fatoração, por meio da decomposição em números primos. Quanto é a raiz quadrada de √2704?  Note que a potenciação é necessária, uma vez que depois de fatorar o número, no caso da raiz quadrada, reunimos os números primos em potências de 2. Isso significa em dividir os números em quadrados perfeitos. No exemplo acima, temos Portanto, a √2704 é 52. Quando decompomos um número em fatores primos, podemos ter dois tipos de raiz quadrada:
Dizemos que um número é um quadrado perfeito quando ele é resultado da multiplicação de dois fatores iguais. Portanto, a raiz quadrada de um quadrado perfeito é uma raiz exata e resulta em um número natural. Exemplos:
Saiba mais sobre os números racionais e números irracionais. Você sabia?Com a invenção das calculadoras modernas, esse processo tornou-se mais fácil pelo fato de podermos calcular rapidamente a raiz quadrada por esse instrumento. ExemplosRaiz Quadrada de 2√2 = 1.41421356237... (raiz quadrada não-exata) √3 = 1.73205080757... (raiz quadrada não-exata) Raiz Quadrada de 5√5 = 2.2360679775... (raiz quadrada não-exata) Raiz Quadrada de 8√8 = 2.82842712475... (raiz quadrada não-exata) Raiz Quadrada de 9√9 = 3 (pois 32 é igual a 9) Raiz Quadrada de 25√25 = 5 (pois 52 é igual a 25) Raiz Quadrada de 36√36 = 6 (pois 62 é igual a 36) Raiz Quadrada de 49√49 = 7 (pois 72 é igual a 49) Raiz Quadrada de 64√64 = 8 (pois 82 é igual a 64) Raiz Quadrada de 100√100 = 10 (pois 102 é igual a 100) Raiz Quadrada de 144√144 = 12 (pois 122 é igual a 144) Raiz Quadrada de 196√196 = 14 (pois 142 é igual a 196) Raiz Quadrada de 400√400 = 20 (pois 202 é igual a 400) Saiba mais sobre Quadrado Perfeito. Exercícios resolvidos com raiz quadradaQuestão 1(UFPI) Desenvolvendo a expressão (2√27 + 2√3 – 1)2 encontramos um número no formato a + b 2√3. Com a e b inteiros, o valor de a + b é: a) 59 b) 47 c) 41 d) 57 e) 1
Alternativa correta: c) 41. Para iniciar a resolução da questão, devemos fatorar o radicando 27.
3.3.3 = 33 = 3.32 Lembre-se: podemos remover um número de dentro da raiz quando seu expoente é igual ao índice do radical.
Como temos uma raiz quadrada, vamos substituir o número 27 do radicando por 3.32 para que um dos termos esteja com expoente 2 e, assim, possamos removê-lo da raiz.
Observe que o termo se repete na expressão. Portanto, podemos colocá-lo em evidência.
Agora, vamos resolver a expressão.
Sendo a = 49 e b = – 8, o valor de a + b é: 49 + (– 8) = 41 Portanto, a alternativa correta é c) 41. (UTF - PR) Considere as seguintes expressões: I. II. III. É (são) verdadeira(s), somente: a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) I e III.
Alternativa correta: b) II. I. ERRADA. A resposta correta é . II. CORRETA. O cálculo dessa expressão envolve a racionalização para retirar a raiz do denominador da fração. III. ERRADA. A resposta correta é 4.
Questão 3(UFRGS) A expressão a) √2 + 3√3/4√2 b) 5√2 c) √3 d) 8√2 e) 1
Alternativa correta: e) 1. 1º passo: fatorar os radicandos e escrevê-los utilizando potências.
2º passo: podemos substituir os valores calculados pelos respectivos termos na expressão.
3º passo: simplificar a expressão. De acordo com uma das propriedades dos radicais, quando o radicando possui expoente igual ao índice do radical, podemos removê-lo da raiz.
Efetuando essa operação na expressão, temos:
Outra propriedade nos mostra que se dividirmos o índice e o expoente pelo mesmo número, a raiz não se altera.
Portanto, simplificamos a expressão e chegamos ao resultado da alternativa "e", que é 1. Veja também: Fatoração de Polinômios Símbolo da Raiz QuadradaO símbolo da raiz quadrada é chamado de radical: √x ou 2√x. Já da raiz cúbica é 3√y, da raiz quarta é 4√z e da raiz quinta é 5√t. Aprenda mais sobre esse assunto em |
Como é somado a raiz quadrada
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