Como devo.compor uma raiz quadrada

A radiciação é a operação inversa da potenciação. Em geral, utilizamos a simbologia abaixo para representá-la:

Apenas quando se tratar de raiz quadrada (índice 2) podemos deixar o espaço destinado ao índice em branco. O índice da fração indica quantas vezes é necessário multiplicar o número da potência por si mesmo até obter o valor do radicando. Por exemplo:

Ao lidar com radicandos maiores, podem surgir dúvidas, pois o valor da raiz não aparecerá tão facilmente. Para situações como essas, devemos utilizar o processo de fatoração para obter a raiz. Vale lembrar que na fatoração há um número que deve ser dividido pelo menor número primo possível sucessivas vezes até que o quociente seja um. Vejamos como encontrar a raiz quadrada de 729:

Nessa fatoração, começamos com o número do radicando, o 729, à esquerda. À direita, colocamos o menor primo que o dividirá. Novamente, à esquerda, coloca-se o número do quociente da divisão e repete-se esse processo até que o quociente seja 1. Como estamos procurando o resultado de uma raiz cujo índice é 2, agrupamos os números da direita em potências de expoente 2. Em seguida, colocamos essa multiplicação de potências dentro do radical, e aqueles números cujo o expoente é o mesmo do índice da raiz podem sair do radical sem o expoente. Vejamos outros exemplos:

Hoje vamos aprender a calcular Raiz Quadrada de um número qualquer.

Para se calcular a Raiz Quadrada de um número podemos aplicar a Equação de PELL.

A equação de Pell permite que você encontre a raiz quadrada de um número qualquer, simplesmente subtraindo números ímpares, partindo sempre do menos hum (-1).

Exemplo: Qual a raiz quadrada de 9.

Bem, para esta pergunta você não precisa aplicar a Equação de PELL, pois você sabe de cabeça que o resultado é 3, pois você sabe que 3 x 3 = 9

Mas caso você não saiba a Raiz Quadrada de 9, aplicando a Equação de PELL, você descobriria que o resultado é 3 da seguinte forma:

O numero deve sempre ser subtraído por números ímpares negativos iniciando sempre pelo -1 e assim sucessivamente;

9 - 1 = 8            

8 – 3 = 5

5 – 5 = 0   Observe que partimos do numero 9 e subtraímos (-1 – 3 -5) e chegamos a     zero.

Quantas subtrações fizemos ?

Fizemos 3 subtrações ok?

Logo a Raiz Quadrada de 9 é 3, ou seja é a quantidade de números negativos que utilizamos.

Agora, qual a raiz quadrada de 1.024, sem usar a calculadora..hummmmmm, aí fica complicado não é mesmo?

Neste caso você precisa separar o número em dezenas ( ou em pares ) da direita para a esquerda.

Neste caso o número 1.014 deve ser representado em 2 pares ( 10 e 24 ).

Atenção sempre agrupando os pares da direita para a esquerda, assim primeiro forma-se o 24 e depois o 10.

Feito isto, você inicia o processo de subtração abordado acima para a Raiz Quadrada de 9.

As subtrações devem ser feitas até que se obtenha resultado igual a ZERO ou até que o resto seja menor que o próximo numero a ser subtraído.

Atenção, quando sobrar resto, a dezena seguinte deve ser baixada e colocada ao lado deste resto e começar uma nova sequencia de subtrações.

Então vamos à prática e encontrar a Raiz Quadrada do número 1.0124. Então o número 1.024 deve representado em 2 pares da seguinte forma:

10   24

A subtração agora deve iniciar da direita para a esquerda, então primeiro vamos fazer a subtração do numero 10 e depois do 24 da seguinte forma:

10 – 1 = 9

09 – 3 = 6

06 – 5 = 1

Observe que o resto 1 não pode subtrair o próximo negativo que seria -7. Então paramos aqui e contamos quantas subtrações foram feitas, e você vai verificar que fizemos 3 subtrações (-1, -3 e -5 ). Logo esta quantidade de subtrações é o primeiro número para o resultado da Raiz Quadrada de 1.024.

Agora vamos subtrair os negativos sobre o número 24 sempre partindo do ( -1 ), mas observe que da dezena anterior houve um resto igual a hum ( 1), então vamos colocar o numero 24 do lado direito do resto anterior, e o novo numero fica assim representado;

124

Agora prestem atenção;

Vamos subtrair primeiramente -1, onde o -1 deve ficar abaixo do 4, e sempre somar 1 ao último negativo utilizado na sequencia anterior, que neste caso foi o 5, assim, 1 + 5 = 6, este 6 deve ser colocado ao abaixo do número 2 do 124, transformando o primeiro negativo impar da segunda sequencia em -61, ficando então assim representado:

1 2 4

- 6 1

 6 3     Agora o próximo negativo será -63

- 6 3

     0

Nesta nova sequencia, fizemos 2 subtrações ( -61 e -63 ), logo 2 é o nosso segundo numero para formar a Raiz Quadrada de 1.024.

Na sequencia de subtrações do 10, encontramos o número 3 e nesta segunda sequencia encontramos o numero 2, logo a Raiz Quadrada de 1.024 é igual a 32 .

Esta lógica vale para qualquer número seja ele do tamanho que for.

Espero que tenham gostado, parece complicado, mas não é, o pulo do gato é prestar bastante atenção na montagem do primeiro número a ser subtraído sempre a partir da segunda sequencia e sempre repetir o processo caso haja mais sequencia para frente como por exemplo se você tivesse que achar a Raiz Quadrada do número 15.625.

Neste caso você teria 3 sequencia pois teria que compor o numero em 3 grupos assim distribuídos:

1 56 25

Veja se você consegue fazer sozinho e encontrar o resultado 125.

Me mandem reposta

Abraço a todos

José Siqueira Cardoso

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1. 1

   Primeiramente, separe as casas do número em pares. Esse método faz uso de um processo semelhante à divisão longa para calcular a raiz quadrada exata, uma casa de cada vez. Embora não seja crucial, você talvez descubra que o processo fica mais fácil quando é organizado visualmente e o número está dividido em partes. O primeiro a se fazer é desenhar uma linha vertical separando a área de trabalho em duas regiões, fazendo a seguir uma linha horizontal menor perto do topo direito a fim de ter uma seção pequena em cima e uma grande em baixo. Agora, separe as casas do número em pares começando com a vírgula: seguindo essa regra, por exemplo,

   
   se torna
   
   . Escreva o valor no topo do espaço esquerdo.
   • Em um exemplo, tente calcular a raiz quadrada de
     
     . Faça duas linhas para dividir a área de trabalho como no caso anterior e escreva
     
     na porção superior do espaço esquerdo, e não se preocupe se houver apenas um número solitário à esquerda em vez de um par. Você deverá escrever a resposta (
     
     ) na região direita superior.

2. 2

   Descubra qual é o maior

   
   inteiro cujo quadrado é menor ou igual que o número (ou o par de números) à esquerda. Comece com a porção mais à esquerda de seu número, quer se trate de um par ou de um valor isolado. Determine qual é o maior quadrado perfeito que seja menor ou igual a esse número e tire sua raiz quadrada: esse valor é representado por . Anote-o no espaço direito superior e escreva seu quadrado no quadrante direito inferior.
   • No exemplo, a porção mais à esquerda é o número
     
     . Como se sabe que
     
     , é possível afirmar que
     
     , uma vez que se trata do maior valor inteiro cujo quadrado é menor ou igual a . Escreva
     
     no quadrante superior — essa será a primeira casa do resultado. A seguir, escreva
     
     (quadrado de ) no quadrante direito inferior — esse valor será importante para o próximo passo.

3. 3

   Subtraia o número recém-calculado do par à esquerda. Assim como acontece na divisão longa, a próxima etapa é subtrair o quadrado encontrado da porção que acaba de ser estudada. Escreva esse valor sob a primeira porção e execute a subtração apropriada, escrevendo a resposta logo abaixo.

   • No exemplo, um será colocado abaixo do a fim de realizar a subtração. A resposta, aqui, será igual a
     
     .

4. 4

   Desça o próximo par. Mova a próxima porção do número em estudo para baixo e ao lado do valor subtraído que você acaba de encontrar. Multiplique a seguir o valor no topo direito por e escreva a resposta no quadrante direita inferior. Basta agora separar um espaço para o problema de multiplicação no próximo passo:

   
   .
   • No exemplo, o próximo par à disposição é
     
     . basta observá-lo próximo ao do quadrante esquerdo inferior. A seguir, multiplique o valor por e obtenha , de modo que
     
     . Escreva no canto direito inferior, seguido por
     
     .

5. 5

   Preencha os espaços em branco no quadrante direito. Em cada um deles agora estará o mesmo número inteiro. Ele deve ser o maior que permita ao resultado da multiplicação à direita ser menor ou igual ao número agora presente no lado esquerdo.

   • No exemplo, preencher os espaços em branco com
     
     dá como resultado:
     
     . Esse é um valor maior que
     
     . Dessa forma, é grande demais, mas provavelmente servirá. Escreva nos espaços em branco e prossiga:
     
     . Confirma-se que ele atende à necessidade porque
     
     , então escreva o número no quadrante direito superior. Essa é a segunda casa na raiz quadrada de .

6. 6

   Subtraia o valor calculado do número agora à esquerda. Continue subtraindo no mesmo estilo da divisão longa. Tome o resultado do problema de multiplicação no quadrante direito e subtraia-o do valor que está agora no lado esquerdo, colocando a sua resposta logo abaixo.

   • No exemplo,
     
     será subtraído de , resultando em
     
     .

7. 7

   Repita o Passo 4. Desça a próxima porção do número cuja raiz quadrada está sendo calculada. Ao chegar na vírgula, escreva uma casa decimal na resposta presente no quadrante direito superior. A seguir, multiplique o valor no topo direito por e escreva a operação em branco (

   
   ) como previamente.
   • No exemplo, como a vírgula de está sendo alcançada agora, escreva-a logo depois da resposta atual no topo direito. A seguir, desça o par seguinte (
     
     ) no quadrante esquerdo. Ao se multiplicar por o valor no topo direito (
     
     ), obtém-se
     
     — escreva
     
     no quadrante direito inferior.

8. 8

   Repita os Passos 5 e 6. Encontre o maior valor decimal capaz de preencher os espaços em branco à direita que traga um resultado menor ou igual ao número atualmente à esquerda. A seguir, basta avançar no problema.

   • No exemplo,
     
     , que é menor ou igual ao número à esquerda (
     
     ). Observando-se que
     
     , que é alto demais, você chega à conclusão de que
     
     é a resposta que está buscando. Escreva-o como a próxima casa decimal no quadrante direito superior e subtraia o resultado da multiplicação do número à esquerda:
     
     .

9. 9

   Continue a calcular as casas decimais. Desça um par de zeros à esquerda e repita os Passos 4, 5 e 6. Para ainda maior precisão, continue a repetir o processo até encontrar os centésimos, milésimos e assim por diante em sua resposta. Basta continuar nesse ciclo até chegar ao resultado na casa decimal desejada.

1. 1

   Defina o número cuja raiz quadrada será calculada como a área

   
   de um quadrado. Como essa área tem por fórmula
   
   , onde
   
   representa o comprimento de um de seus lados, ao tentar encontrar a raiz quadrada de seu valor você estará tentando calcular o comprimento do quadrado em questão.

2. 2

   Especifique as variáveis relativas a cada casa decimal de sua resposta. Defina a variável

   
   como sendo a primeira casa decimal de (raiz quadrada que está sendo calculada),
   
   como sendo a segunda,
   
   como sendo a terceira e assim por diante.

3. 3

   Atribua variáveis alfabéticas a cada porção do número inicial. Associe a variável

   
   ao primeiro par de casas decimais em (valor inicial),
   
   ao segundo par de casas decimais e assim por diante.

4. 4

   Entenda a conexão do presente método com a divisão longa. Essa forma de calcular a raiz quadrada é basicamente um problema de divisão longa que divide o número inicial por sua raiz quadrada, dando sua raiz quadrada como resposta. Assim como nos problemas de divisão longa, nos quais o interesse está direcionado a uma casa decimal por vez, aqui se deve concentrar em duas por vez (que correspondem à próxima casa decimal da raiz quadrada).

5. 5

   Encontre o maior número cujo quadrado seja menor ou igual a . A primeira casa decimal na resposta representa o maior número inteiro cujo quadrado não excede (de modo que

   
   ). No exemplo,
   
   e
   
   , de modo que
   
   .
   • Em um exemplo, se você quisesse dividir
     
     por através do método de divisão longa, o primeiro passo seria parecido: você deveria procurar pelo primeiro dígito () e encontrar o maior número inteiro que, ao ser multiplicado por , resultaria em algo menor ou igual a . Basicamente, trata-se de encontrar
     
     de modo que
     
     . Nesse caso, seria igual a
     
     .

6. 6

   Visualize o quadrado cuja área você pretende calcular. A resposta, que é a raiz quadrada do número inicial, será representada por , que descreve o comprimento de um quadrado de área (número inicial). Os valores para , e representam as casas decimais presentes em . Outra forma de colocar essa definição é afirmar que, no caso de uma resposta com duas casas decimais

   
   , no caso de uma resposta com três casas decimais
   
   e assim por diante.
   • No exemplo,
     
     . Lembre-se de que
     
     representa a resposta com na casa das unidades e na casa das dezenas. Tomando-se
     
     e
     
     como exemplo, resultará no número
     
     . Se
     
     representa a área do quadrado,
     
     representa a área do maior quadrado interno,
     
     representa a área do menor quadrado interno e
     
     representa a área de cada um dos retângulos que sobraram. Ao executar esse processo longo e complicado, você terá em mãos a área do quadrado inteiro, bastando somar as áreas calculadas a partir dos quadrados e retângulos em seu interior.

7. 7

   Subtraia

   
   de . Desça um par () de casas decimais de . A expressão
   
   representa quase a totalidade da área do quadrado, da qual se subtraiu o maior quadrado interno. O resto, por sua vez, pode ser representado pelo
   
   obtido no Passo 4 (
   
   no exemplo supracitado). Aqui,
   
   (área de ambos os retângulos mais a área do quadrado menor).

8. 8

   Procure por , também escrito como

   
   . No exemplo, você já conhece () e (), sendo agora necessário calcular o valor de . Ele provavelmente não será um valor inteiro e, por isso, é preciso realmente calcular a maior possibilidade inteira que satisfaça à condição
   
   . Por fim, você restará com
   
   .

9. 9

   Resolva a operação. Para prosseguir, multiplique por , mude a posição das dezenas (o equivalente a multiplicar o valor por

   
   ), coloque na posição das unidades e multiplique o resultado por . Em outras palavras, basta realizar a operação
   
   . Ela é a mesma que se realiza ao se escrever
   
   (sendo
   
   ) no quadrante direito inferior presente no Passo 4. Já no Passo 5, por sua vez, você encontrará o maior valor inteiro de que caberá no espaço em branco satisfazendo a condição .

10. 10

    Subtraia a área da área total. Isso dá como resultado a área

    
    até então desconsiderada (e que será usada para calcular as próximas casas de modo similar).

11. 11

    Para calcular a próxima casa decimal , simplesmente repita o processo. Desça o próximo par (

    
    ) de a fim de obter
    
    à esquerda e procure pelo maior valor de que satisfaça à condição
    
    (equivalente a escrever duas vezes o valor
    
    com duas casas decimais acompanhado por . Procure pelo maior valor de casa decimal cabível nos espaços em branco que traga um resultado menor ou igual a , assim como antes.