a cada minuto. Isso significa que, a cada minuto, sua temperatura T é multiplicada por 1,3. (100% + 30% = 1 + 0,3 = 1,3). 70 CÁLCULO I MÓDULO B – Relações e Funções Vamos obter as temperaturas em oC, em alguns instantes do experimento. Temperatura inicial: T0 = 10 1 minuto: T1 = 10.(1,3)1 = 10.(1,3) 2 minutos: T2 = 10.(1,3)2 = 10.(1,69) = 13 = 16,9 3 minutos: T3 = 10.(1,3)3 = 10.(2,2) = 22 4 minutos: T4 = 10.(1,3)4 = 10.(2,86) = 28,6 6 minutos: T6 = 10.(1,3)6 = 10.(4,83) = 48,3 t minutos: T = 10.(1,3)t 71 CÁLCULO I MÓDULO B – Relações e Funções Veja o gráfico de T em função do tempo t. t(min) T(oC) 0 10 1 13 2 16,9 3 22 4 28,6 6 48,3 t(min) T(oC) 0 1 2 3 4 20 40 60 80 5 6 72 CÁLCULO I MÓDULO B – Relações e Funções Vamos supor agora a seguinte situação. A temperatura de um líquido, inicialmente a 70 ºC, diminui em 20% a cada minuto. Isso significa que, a cada minuto, sua temperatura T é multiplicada por 0,8. (100% – 20% = 1 – 0,2 = 0,8). 73 CÁLCULO I MÓDULO B – Relações e Funções Vamos obter as temperaturas em oC, em alguns instantes do experimento. Temperatura inicial: T0 = 70 1 minuto: T1 = 70.(0,8)1 = 70.(0,8) 2 minutos: T2 = 70.(0,8)2 = 70.(0,64) = 56 = 44,8 3 minutos: T3 = 70.(0,8)3 = 70.(0,512) = 35,8 4 minutos: T4 = 70.(0,8)4 = 70.(0,41) = 28,7 6 minutos: T6 = 70.(0,8)6 = 70.(0,262) = 18,3 t minutos: T = 70.(0,8)t 74 CÁLCULO I MÓDULO B – Relações e Funções Veja o gráfico de T em função do tempo t. t(min) T(oC) 0 70 1 56 2 44,8 3 35,8 4 28,7 6 18,3 t(min) T(oC) 0 1 2 3 4 20 40 60 80 5 6 75 CÁLCULO I MÓDULO B – Relações e Funções Funções exponenciais Funções como a que acabamos de analisar são chamadas de funções exponenciais. Nos dois casos a variável t é expoente de uma potência de base constante. T = 10.(1,3)t T = 70.(0,8)t base (1,3) ⇒ Crescente. base (0,8) ⇒ Decrescente. 76 CÁLCULO I MÓDULO B – Relações e Funções Funções exponenciais De modo geral, se a é uma constante real (a > 0 e a ≠ 1), chamamos de função exponencial elementar de base a a função definida por: y = f(x) = ax 77 CÁLCULO I MÓDULO B – Relações e Funções Exemplos y = 5x → base 5 y = (0,3)x → base 0,3 y = 2–x ou y = 1 2 x → base 1/2 78 CÁLCULO I MÓDULO B – Relações e Funções Funções exponenciais - Resumo Da análise dos dois últimos gráficos, tiramos algumas conclusões sobre a função exponencial elementar y = ax (a > 0 e a ≠ 1): O domínio é os Reais; O conjunto imagem é os Reais positivos; Ela é crescente em todo o seu domínio para a > 1. Ela é decrescente em todo o seu domínio para 0 < a < 1. 79 CÁLCULO I MÓDULO B – Relações e Funções Equacões exponenciais Chama-se equação exponencial toda equação cuja incognita aparece no expoente. A resolução de uma equação exponencial se baseia nas propriedades abaixo. am = an ⇔ m = n am = bm ⇔ m = 0 P1 P2 80 CÁLCULO I MÓDULO B – Relações e Funções Exemplos: Resolver as equações exponenciais. a) 3x = 27 3x = 27 ⇒ 3x = 33 ⇒ x = 3 b) 52x – 1 = 125 52x – 1 = 125 ⇒ 52x – 1 = 53 ⇒ 2x – 1 = 3 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2 81 CÁLCULO I MÓDULO B – Relações e Funções Resolver as equações exponenciais. e) 2x + 1 – 2x + 3.2x – 2 = 14 2x.21 – 2x + 3.2x.2–2 = 14 Vamos isolar em toda equação a potência 2x. Fazendo 2x = y. 2y – y + 3. y 4 = 14 ⇒ 8y – 4y + 3y = 56 ⇒ 7y = 56 ⇒ y = 8 ⇒ 2x = 8 ⇒ 2x = 23 ⇒ x = 3 82 CÁLCULO I MÓDULO B – Relações e Funções Resolver as equações exponenciais. f) 9x + 3x + 1 = 4 (32)x + 3x.3 = 4 Vamos isolar em toda equação a potência 3x. Fazendo 3x = y. ⇒ y2 + 3y – 4 = 0 ⇒ y’ = –4 e y” = 1 ⇒ 3x = –4 (impossível) ⇒ 3x = 1 ⇒ 3x = 30 ⇒ (3x)2 + 3x.3 = 4 ⇒ x = 0 83 CÁLCULO I Módulo B - Inequacões exponenciais Chama-se inequação exponencial toda inequação cuja incognita aparece no expoente. A resolução de uma inequação exponencial se baseia nas propriedades abaixo. P3 P4 am > an ⇔ m > n Mesmo sentido am > an ⇔ m < n Sentidos contrários ⇒ para a > 1 ⇒ para 0 < a < 1 84 CÁLCULO I MÓDULO B – Relações e Funções Resolver as inequações exponenciais. a) 53x – 1 > 25x + 2 53x – 1 > (52)x + 2 ⇒ 53x – 1 > 52x + 4 ⇒ 3x – 1 > 2x + 4 base > 1, mantém-se o sentido ⇒ 3x – 2x > 4 – 1 ⇒ x > 3 85 CÁLCULO I MÓDULO B – Relações e Funções Resolver as inequações exponenciais. c) 9x – 3x + 1 – 3x + 3 ≤ 0 (32)x – 3x.31 – 3x + 3 ≤ 0 Vamos isolar em toda equação a potência 3x. Fazendo 3x = y. ⇒ (3x)2 – 3x.3 – 3x + 3 ≤ 0 ⇒ y2 – 3y – y + 3 ≤ 0 ⇒ y2 – 4y + 3 ≤ 0 ⇒ 1 ≤ y ≤ 3 ⇒ 1 ≤ 3x ≤ 3 ⇒ 30 ≤ 3x ≤ 31 ⇒ 0 ≤ x ≤ 1 86 CÁLCULO I MÓDULO B – Relações e Funções. Logarítmos Conceito de logaritmo Antilogarítmo Consequências da definição Sistemas de logaritmos Propriedades dos logaritmos Mudança de base Função logarítmica Definição Propriedades Imagem Gráfico Equação logarítmica 87 CÁLCULO I MÓDULO B – Relações e Funções. Qual é o tempo? Giovanna ganhou 1 000 reais de seu pai pra fazer sua festa de 15 anos. Ao receber o dinheiro, no entanto, resolveu abrir mão da festa. É que ela queria comprar um computador. Mas havia um problema: o computador que ela queria custava 1 500 reais. O jeito era aplicar o dinheiro que tinha, até conseguir o valor necessário. 88 CÁLCULO I MÓDULO B – Relações e Funções. Giovanna foi ao banco e conseguiu uma taxa de 5% ao mês, capitalizados mensalmente. Chegando em casa, ficou curiosa. Em quanto tempo os 1000 reais aplicados se transformariam nos 1500 reais de que precisava? Qual é o tempo? Ela havia acabado de aprender a calcular juros compostos. Fez, então, as suas contas. 89 Veja os cálculos MÓDULO B – Relações e Funções. Capital aplicado: C = 1 000 Taxa: 5 % ao mês = 0,05 ao mês Montante pretendido: M = 1 500,00 M = C.(1 + i)t ⇒ 1 500 = 1 000 . (1,05)t ⇒ 1,05t = 1,5 Giovanna concluiu, portanto, que seu objetivo seria atingido no final do 9º mês de aplicação. 1,057 ≈ 1,407 1,058 ≈ 1,477 1,059 ≈ 1,551 90 CÁLCULO I MÓDULO B – Relações e Funções. Qual é o expoente? A teoria dos logaritmos é muito útil em problemas como esse, que envolve a determinação de um expoente. Como poderia ser obtido, com uma aproximação razoável e sem utilizar o método das tentativas, o valor de t na equação 1,05t = 1,6? 91 CÁLCULO I MÓDULO B – Relações e Funções. A base 10 Todo número positivo pode ser escrito como uma potência de base 10, ou como uma aproximação dessa potência. Veja os exemplos: 1 = 100 0,1 = 10–1 10 = 101 0,01 = 10–2 100 = 102 0,001 = 10–3 1 000 = 103 0,0001 = 10–4 10 000 = 104 0,00001 = 10–5 92 CÁLCULO I MÓDULO B – Relações e Funções. 2 = 100,301 3 = 100,477 7 = 100,845 Na maioria dos casos, torna-se difícil escrever um número como potência de base 10. Em valores aproximados apresentamos os exemplos: 11 = 101,041 13 = 101,114 93 CÁLCULO I MÓDULO B – Relações e Funções. Exemplos 4 = 22 = (100,301)2 = 10 0,602 Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477, escreva os números 4, 5 e 6 como potência de base 10. 5 = = = 101 – 0,301 10 2 10 100,301 = 10 0,699 94 CÁLCULO I MÓDULO B – Relações e Funções. Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477, escreva o número 60 como potência de base 10. 60 = 2.3.10 = 10 0,301 . 10 0,477 . 10 ⇒ 60 = 10 0,301 + 0,477 + 1 ⇒ 60 = 10 1,778 95 CÁLCULO I Módulo B - Logaritmo como expoente O conceito de logaritmo está associado à operação potenciação: mais precisamente à determinação do expoente. Veja: 2x = 8 ⇒ x = 3 No caso, dizemos, que o logaritmo de 8, na base 2 , é igual ao expoente 3. Em símbolos, log2 8 = 3 96 CÁLCULO I MÓDULO B – Relações e Funções. Observe: calcular o log2 8 é descobrir o expoente ao qual se deve elevar a base 2, para obter, como resultado, a potência 8. Vale, portanto a equivalência: log2 8 = 3 ⇔ 23
Medidas de dispersão são parâmetros estatísticos usados para determinar o grau de variabilidade dos dados de um conjunto de valores. A utilização desses parâmetros tornam a análise de uma amostra mais confiável, visto que as variáveis de tendência central (média, mediana, moda) muitas vezes encondem a homogeneidade ou não dos dados. Por exemplo, vamos considerar que um animador de festas infantis selecione as atividades de acordo com a média das idades das crianças convidadas para uma festa. Vamos considerar as idades de dois grupos de crianças que irão participar de duas festas diferentes:
Em ambos os casos, a média é igual a 7 anos de idade. Entretanto, ao observar as idades dos participantes podemos admitir que as atividades escolhidas sejam iguais? Portanto, neste exemplo, a média não é uma medida eficiente, pois não indica o grau de dispersão dos dados. As medidas de dispersão mais usadas são: amplitude, variância, desvio padrão e coeficiente de variação. AmplitudeEssa medida de dispersão é definida como a diferença entre a maior e a menor observação de um conjunto de dados, isto é: A = Xmaior - Xmenor Por ser uma medida que não leva em consideração como os dados estão efetivamente distribuídos, não é muito utilizada. ExemploO setor de controle de qualidade de uma empresa seleciona ao acaso peças de um lote. Quando a amplitude das medidas dos diâmetros das peças ultrapassa 0,8 cm o lote é rejeitado. Considerando que em um lote foram encontrados os seguintes valores 2,1 cm; 2,0 cm; 2,2 cm; 2,9 cm; 2,4 cm, esse lote foi aprovado ou rejeitado? SoluçãoPara calcular a amplitude, basta identificar o menor e o maior valores, que neste caso, são 2,0 cm e 2,9 cm. Calculando a amplitude, temos: A = 2,9 - 2 = 0,9 cm Nesta situação o lote foi rejeitado, pois a amplitude ultrapassou o valor limite. VariânciaA variância é determinada pela média dos quadrados das diferenças entre cada uma das observações e a média aritmética da amostra. O cálculo é feito com base na seguinte fórmula:
Sendo, V: variância n: número de dados observados ExemploConsiderando as idades das crianças das duas festas indicadas anteriormente, vamos calcular a variância desses conjuntos de dados. Festa ADados: 1 ano, 2 anos, 2 anos, 12 anos, 12 anos e 13 anos Média: Variância:
Festa BDados: 5 anos, 6 anos, 7 anos, 7 anos, 8 anos e 9 anos Média: Observe que apesar da média ser igual, o valor da variância é bem diferente, ou seja, os dados do primeiro conjunto são bem mais heterogêneos. Desvio PadrãoO desvio padrão é definido como a raiz quadrada da variância. Desta forma, a unidade de medida do desvio padrão será a mesma da unidade de medida dos dados, o que não acontece com a variância. Assim, o desvio padrão é encontrado fazendo-se:
Quando todos os valores de uma amostra são iguais, o desvio padrão é igual a 0. Sendo que, quanto mais próximo de 0, menor é a dispersão dos dados. ExemploConsiderando ainda o exemplo anterior, vamos calcular o desvio padrão para as duas situações: Agora, sabemos que a variação das idades do primeiro grupo em relação a média é de aproximadamente 5 anos, enquanto que a do segundo grupo é de apenas 1 ano. Saiba mais sobre Variância e Desvio Padrão. Coeficiente de VariaçãoPara encontrar o coeficiente de variação, devemos multiplicar o desvio padrão por 100 e dividir o resultado pela média. Essa medida é expressa em porcentagem. O coeficiente de variação é utilizado quando precisamos comparar variáveis que apresentam médias diferentes. Como o desvio padrão representa o quanto os dados estão dispersos em relação a uma média, ao comparar amostras com médias diferentes, a sua utilização pode gerar erros de interpretação. Desta forma, ao confrontar dois conjuntos de dados, o mais homogêneo será aquele que apresentar menor coeficiente de variação. ExemploUm professor aplicou uma prova para duas turmas e calculou a média e o desvio padrão das notas obtidas. Os valores encontrados estão na tabela abaixo.
Com base nesses valores, determine o coeficiente de variação de cada turma e indique a turma mais homogênea. SoluçãoCalculando o coeficiente de variação de cada turma, temos: Desta forma, a turma mais homogênea é a turma 2, apesar de apresentar maior desvio padrão. Exercícios Resolvidos1) Em um dia de verão as temperaturas registradas em uma cidade ao longo de um dia estão apresentadas na tabela abaixo:
Com base na tabela, indique o valor da amplitude térmica registrada neste dia.
Para encontrar o valor da amplitude térmica, devemos subtrair o valor mínimo da temperatura do valor máximo. Pela tabela, identificamos que a menor temperatura foi 16 ºC e a maior 27 ºC. Desta forma, a amplitude será igual a: A = 27 - 16 = 11 ºC 2) O treinador de uma equipe de voleibol resolveu medir a altura dos jogadores da sua equipe e encontrou os seguintes valores: 1,86 m; 1,97 m; 1,78 m; 2,05 m; 1,91 m; 1,80 m. Em seguida, calculou a variância e o coeficiente de variação das alturas. Os valores aproximados foram respectivamente: a) 0,08 m2 e 50% b) 0,3 m e 0,5% c) 0,0089 m2 e 4,97% d) 0,1 m e 40%
Alternativa: c) 0,0089 m2 e 4,97% Para saber mais sobre este tema, veja também: |
Como comparar temperaturas usando inequaçoes
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