Os números complexos, também conhecidos como números imaginários, são números que não existem no mundo real, mas nem por isso eles deixam de ser importantes. Na página sobre conjuntos numéricos, falamos um pouco sobre esse conjunto e dissemos que ele abrange todos os números reais. Mas então, o que mais eles têm a oferecer?
Os números complexos são formados por duas partes, sendo uma real e uma imaginária. A real é representada por um número real, já a imaginária é formada pela multiplicação entre um número qualquer e o símbolo i.
Chamando o número complexo de “z”, segue que:
sendo a e b números reais e i a unidade imaginária
Esse tipo de numeral foi criado com um objetivo: encontrar soluções para equações polinomiais de segundo e terceiro grau que resultam em raízes quadradas de números negativos. Mas qual o valor de i?
Por convenção, dizemos que i = \( \sqrt{-1} \). Os valores de i para outros expoentes são:
- i1 = i =
- i2 = -1
- i3 = -i
- i4 = 1
Se quiser saber como cada valor de i foi encontrado, confira o vídeo “Números Complexos – Noções básicas” do canal Marcos Aba Math teacher.
Beleza, mas como utilizar o i?
Vamos supor que você esteja resolvendo uma equação de segundo grau, e no momento que calcula o valor do delta, com a fórmula b2 – 4 * a * c, encontra o valor -81 como resultado.
Você sabe que agora terá que usar a fórmula de Bhaskara
Opa, não existe raiz real, mas existe raiz complexa. Perceba que -81 é a mesma coisa que 81 * (-1), e como ambos estão dentro da raiz, podemos escrever desta forma: \( \sqrt{81} * \sqrt{-1} \). Como mostrado anteriormente, \( \sqrt{-1} \) = i, portanto, basta substituir essa raiz negativa por “i”, tirar a raiz quadrada de 81 (que é 9), que temos nosso número complexo 9i.
Se não houvesse uma raiz inteira para o número, como por exemplo em \( \sqrt{15} \), então a resposta seria: \( \sqrt{15} i \), com o i fora da raiz.
Em outra página do ramo da Aritmética, falamos sobre as operações fundamentais da matemática, e elas continuam valendo para os números complexos. Caso queira saber mais sobre essas operações, recomendo a playlist “Números Complexos” do canal Marcos Aba Math teacher.
Como você viu, os números complexos foram criados com o princípio de oferecer soluções para raízes de números negativos. Em geral, as aplicações são voltadas para as engenharias:
- elétrica, na parte de circuitos elétricos;
- e de controle, como por exemplo, no controle da quantidade de água e taxa de saída ou no controle de temperatura de tanques e fornos, onde o sinal da parte real do número complexo encontrado a partir de uma equação de segunda ordem (ou segundo grau) serve para determinar o comportamento do sistema ao longo do tempo. Dessa forma, esses números ajudam a encontrar os sistemas mais eficientes e melhor controlados.
Para mais informações sobre essas aplicações, acesse a monografia “Números Complexos”, realizada por estudantes da Licenciatura em Matemática na UNICAMP.
A resolução de uma equação do 2º grau consiste em determinar os possíveis valores da incógnita em relação ao valor do discriminante. As condições para a determinação do conjunto solução são as seguintes:
∆ > 0, a equação possui duas raízes reais e distintas, x’ ≠ x’’. ∆ = 0, a equação possui raízes reais iguais, x’ = x’’. ∆ < 0, a equação não possui raízes reais.
Observe que as condições foram determinadas dentro do conjunto dos números reais, e nesse conjunto numérico quando ∆ < 0, a equação não possui raízes. Isso ocorre porque o valor do discriminante é aplicado na fórmula resolutiva de Bháskara dentro de uma raiz quadrada, veja:
Pelo conjunto dos números reais e pela regra operatória de raízes quadradas, não existe solução quando o radicando é um número negativo, isto é, não existe raiz quadrada de números negativos, pois não existe número elevado ao quadrado que resulta em negativo. Nesse caso, quando deparamos com uma equação do 2º grau, na qual o cálculo do discriminante resulta em número negativo, dizemos que não existe solução da equação pertencente aos números reais.
Essas equações, somente terão conjunto solução dentro do conjunto dos números complexos, pois nesse espaço utilizamos uma unidade imaginária, representada por i² = –1. Portanto, caso o discriminante seja negativo, utilizamos essa técnica dos números complexos. Observe:
Vamos utilizar essa característica referente à unidade imaginária dos números complexos na determinação das raízes da seguinte equação do 2º grau: 4x² – 4x + 2 = 0.
Exemplo 2
Calcular a solução da equação x² – 14x + 50 = 0, considerando o conjunto dos números complexos.
A primeira fórmula de Moivre é usada para encontrar potências de números complexos escritos na forma polar. Por sua vez, a segunda fórmula de Moivre é usada para encontrar raízes de números complexos também escritos na forma polar.
Considerando o número complexo z = a + bi e o número complexo u, tal que un = z, u é chamado raiz de z. Para encontrar seu valor, podemos usar a seguinte fórmula:
Para demonstrar essa fórmula, precisamos conhecer antes a primeira fórmula de Moivre.
Primeira fórmula de Moivre
A primeira fórmula de Moivre é utilizada para potências que envolvem números complexos expressos em sua forma polar.
Dado o complexo z = p(cosθ + isenθ). A primeira fórmula de Moivre é representada por:
Demonstração da segunda fórmula de Moivre
Dado o número complexo z = a + bi, existe um número complexo u, tal que:
Nesse caso, o complexo u é chamado de raiz enésima de z.
Em sua forma polar, o número complexo z é representado da seguinte maneira:
Já o número complexo u, em sua forma polar, é representado da seguinte forma:
Sabendo que un = z e aplicando a primeira fórmula de Moivre, teremos:
Comparando as variáveis, podemos concluir que:
Das equações 4 e 5, teremos:
Para finalizar a demonstração, substitua as equações 6 e 3 na equação 2. Ao fazer isso, estamos criando um mecanismo para descobrir o número complexo u (raiz do complexo z), dado o complexo z em sua forma polar.
O valor de k deve variar de 0 até n – 1.
Exemplo
Qual é a raiz quadrada do complexo a seguir?
A raiz quadrada de um complexo é dada pela segunda fórmula de Moivre, com n = 2:
Para k = 0, teremos:
As operações com números complexos na forma trigonométrica facilitam o cálculo envolvendo os elementos desse conjunto. Multiplicação e divisão de complexos que estão na forma trigonométrica são feitas quase que instantaneamente, enquanto que na forma algébrica o processo requer mais cálculos. A potenciação e a radiciação de complexos na forma trigonométrica também ficam facilitadas com a utilização das fórmulas de Moivre. Vejamos como se procede a radiciação desses números: Considere um número complexo qualquer z = a + bi. A forma trigonométrica de z é:
As raízes de índice n de z são dadas pela segunda fórmula de Moivre:
Exemplo 1. Determine as raízes quadradas de 2i. Solução: Primeiro devemos escrever o número complexo na forma trigonométrica.
Todo do número complexo é da forma z = a + bi. Assim, temos que:
Sabemos também que:
Como queremos as raízes quadradas de z, obteremos duas raízes distintas z0 e z1. Para k = 0, teremos Para k = 1, teremos: Ou Exemplo 2. Obtenha as raízes cúbicas de z = 1∙(cosπ + i∙senπ) Solução: Como o número complexo já está na forma trigonométrica, basta utilizar a fórmula de Moivre. Pelo enunciado temos que ø = π e |z| = 1. Assim,
Teremos três raízes distintas, z0, z1 e z2. Para k = 0 Para k = 1
Ou z1 = – 1, pois cos π = – 1 e sen π = 0. Para k = 2
Por Marcelo Rigonatto Especialista em Estatística e Modelagem Matemática
Equipe Brasil Escola
Números Complexos - Matemática - Brasil Escola