Como achar raiz quadrada calculadora

A raiz quadrada é uma operação básica e importante da Matemática. Se trata da operação inversa da potenciação. Assim, calcular a raiz quadrada de um número n é descobrir qual número elevado ao quadrado resulta em n. Por exemplo, a raiz quadrada de 9 é igual a 3, pois, 3² é 9. Uma raiz quadrada pode ser exata, gerando um número chamado de quadrado perfeito, ou pode ser não exata.

Leia também: Expressões numéricas — o conjunto de operações fundamentais a serem calculadas

Resumo sobre raiz quadrada

• A raiz quadrada é uma radiciação que possui o índice igual a 2.

• Ela é a operação inversa de uma potência de expoente 2.

• Seus elementos fundamentais são: índice, radical, radicando e raiz.

• A raiz quadrada de um número a é representada por √a.

• Pode ser exata ou não exata.

Videoaula sobre raiz quadrada

A radiciação é uma das operações básicas da Matemática, sendo a operação inversa da potência. Existem vários tipos de raiz, como a raiz cúbica e a raiz quarta, mas a mais utilizada é a raiz quadrada.

Quando calculamos, por exemplo, a raiz quadrada de um número a, o resultado dessa operação será o número que, ao elevarmos ao quadrado, resultará em a. Os outros casos de radiciação seguem o mesmo raciocínio. A raiz cúbica de um número x é o número cujo cubo é igual a x. Dizemos, por exemplo, que a raiz cúbica de 27 é 3, pois 3³ = 27. De forma semelhante, dizemos que a raiz quadrada de 81 é 9, pois 9² = 81.

O que é raiz quadrada?

A raiz quadrada é um caso particular da radiciação, sendo o mais comum deles. Conhecemos como raiz quadrada a radiciação com índice igual a 2. A raiz quadrada é a operação inversa da potência com o expoente 2, pois quando calculamos a raiz quadrada de um número a, estamos procurando qual número ao quadrado é igual a a. Quando o radical não apresenta número no índice, calcula-se a raiz quadrada do radicando.

Exemplos:

√4 = 2, pois 2² = 4

√9 = 3, pois 3² = 9

√16 = 4, pois 4² = 16

√25 = 5, pois 5² = 25

Como calcular a raiz quadrada?

Para calcular a raiz quadrada de um número, geralmente recorremos à tabuada. Entretanto, quando o número é maior que 100, é possível utilizar o processo de fatoração para calcular a raiz quadrada exata.

Ao realizar uma fatoração, agrupamos os fatores de dois em dois, já que é a raiz quadrada exata que estamos buscando. Já quando estamos calculando uma raiz quadrada não exata, utilizamos aproximações.

Saiba também: Propriedades dos radicais — simplificam e resolvem raízes de qualquer índice

A raiz quadrada exata ocorre quando o resultado da operação é um número racional. Os exemplos supracitados são casos de raiz quadrada exata. Por exemplo, a √16 é exata porque o seu resultado é 4, que é um número racional. Quando há no radicando um número com raiz quadrada desconhecida, utilizamos fatoração para calcular uma raiz exata.

Exemplo:

Calcule o valor da √324.

Resolução:

Para encontrar a √324, inicialmente fatoraremos esse número:

Dessa forma, calcula-se:

√0 = 0

√1 = 1

√4 = 2

√9 = 3

√16 = 4

√25 = 5

√36 = 6

√49 = 7

√64 = 8

√81 = 9

√100 = 10

Os números que possuem raiz quadrada exata são conhecidos como quadrados perfeitos.

Em muitos casos, o número pode não possuir uma raiz quadrada exata, ou seja, a solução da raiz quadrada é um número irracional. Para calcular uma raiz quadrada não exata, utilizamos aproximações, ou seja, números que quando elevamos ao quadrado chegam bem próximo do resultado desejado.

Exemplo:

Calcule o valor da √60.

Resolução:

Sabemos que essa raiz não é exata, então, primeiramente, identificaremos qual é o número anterior a 60 que possui raiz exata, que é 49, e também o número posterior a 60 que possui raiz exata, que é 64.

√49 < √60 < √64

Calculando as raízes de 49 e 64:

7 < √60 < 8

Note que 60 está próximo de 64, então a √60 estará próxima de 8. Calcularemos, assim, o quadrado dos números próximos a 8.

7,9² = 62,41

7,8² = 60,84

7,7² = 59,29

Descobrimos que a √60 está entre 7,7 e 7,8.

Portanto, dizemos que a √60 = 7,7 por falta ou que a √60 = 7,8 por excesso.

Exercícios resolvidos sobre raiz quadrada

Questão 1

(Ethos concursos) A raiz quadrada de um número é uma importante operação matemática, assim como a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. Somente alguns números possuem raiz quadrada, aqueles considerados quadrados perfeitos. Sendo assim, calcule a raiz quadrada de 625 e assinale a alternativa CORRETA.

A) 35

B) 24

C) 25

D) 17

E) 49

Resolução:

Alternativa C

Inicialmente, realizaremos a fatoração do número:

Dessa forma, temos:

√625 = √54

√625 = 5²

√625 = 25

Questão 2

Sobre a raiz quadrada, julgue as afirmativas a seguir:

I → É possível calcular a raiz quadrada de número negativo.

II → Os números 0, 1, 4, 9 e 16 são todos quadrados perfeitos menores que 20.

III → A raiz quadrada de 6 é igual a 3.

As afirmativas são, respectivamente:

A) V, V e V.

B) F, F e F.

C) F, F e V.

D) F, V e F.

E) V, F e V.

Resolução:

Alternativa D

I → Falsa

A potência de dois possui resultado somente positivo, logo, não é possível calcular a raiz quadrada de um número negativo.

II → Verdadeira

Os números listados são os únicos que possuem raiz exata menores que 30.

III → Falsa

3² = 9, logo, a raiz quadrada de 9 é 3, e não a de 6.

A raiz quadrada de um número X qualquer, é um número Y que, elevado ao quadrado (ou seja, multiplicado por ele mesmo), resulte no número X. Assim, podemos dizer que:

A raiz quadrada é a operação inversa de uma potenciação de expoente 2.

Definição:

Considere a seguinte equação: $$${^n}√{a}=b$$$

• a = radicando
• b = raiz
• $$√$$ = radical
• n = índice

a e b são números reais; n é um número natural maior que 1 (no caso da raiz quadrada, o índice pode ser omitido).

✅ Curiosidade
A origem mais provável do símbolo de radiciação está na letra $$\sc\r$$, inicial da palavra radix (em latim, quer dizer "raiz").

Como calcular a raiz quadrada?

Raiz quadrada exata

Em caso de números mais simples, basta pensarmos em um número que, multiplicado por ele mesmo, resulte no número cuja raiz queremos descobrir:

Exemplo 1: $$√{4}=2$$, pois $$2^2=4$$, ou seja, $$2×2=4$$.

Exemplo 2: $$√{9}=3$$, pois $$3^2=9$$, ou seja, $$3×3=9$$.

Quando os números vão ficando maiores, esse procedimento se torna mais difícil. De modo que precisamos recorrer à decomposição do número em fatores primos:

Exemplo 3: $$√{576}=$$

$$$576÷2=288$$$ $$$288÷2=144$$$ $$$144÷2=72$$$ $$$72÷2=36$$$ $$$36÷2=18$$$ $$$18÷2=9$$$ $$$9÷3=3$$$ $$$3÷3=1$$$

Agora, agrupamos os divisores dois a dois, da seguinte maneira: $$2²×2²×2²×3²$$. Portanto:

$$$√{576}=√{2²×2²×2²×3²}$$$

Em seguida, os expoentes e o índice são simplificados, resultando no produto $$2×2×2×3=24$$. Ou seja:

$$$√{576}=24$$$

Raiz quadrada não-exata

Nem todos os números possuem raiz quadrada exata. Por exemplo, conseguimos encontrar a raiz exata de 16 e 25: $$√{16}=4$$ e $$√{25}=5$$, mas não há raiz exata para o número 20, exemplo, de modo que sua raiz é um número decimal entre 4 e 5.

Há duas maneiras de encontrar uma raiz não-exata:

1. Decomposição em fatores primos:

$$$√{20}$$$ $$$20÷2=10$$$ $$$10÷2=5$$$ $$$5÷5=1$$$

Logo: $$√{20}=√{2²×5}$$.

Nesse caso, o expoente 2 é simplificado com o índice. O número 2 passa a multiplicar a raiz, e o número 5 (que não foi simplificado, pois não possuía expoente igual ao índice) permanece dentro da raiz.

Portanto: $$√{2²×5}=2×√{5}$$ ou $$2√{5}$$.

2. Tentativa por aproximação:

Esse segundo método, consiste em multiplicar números decimais por eles mesmos, até encontrar o valor mais próximo da radiciação.

Exemplo: Sabemos que $$√{20}$$ é um número decimal entre 4 e 5. Logo:

$$$4,1×4,1=16,81$$$ $$$4,2×4,2=17,64$$$ $$$4,3×4,3=18,49$$$ $$$4,4×4,4=19,36$$$ $$$4,5×4,5=20,25$$$

Percebemos então, que o número mais próximo para a $$√{20}$$ (com uma casa decimal) é 4,4. Dessa maneira, podemos ir chutando valores, com quantas casas decimais quisermos, embora os cálculos se tornem cada vez mais demorados.

Operações com raizes quadradas

Adição e subtração

Ao tentar somar ou subtrair raizes diferentes, como $$√{5}+√{2}$$, o resultado se mantém o mesmo $$√{5}+√{2}$$, a não ser que encontremos os valores dessas raizes, para em seguida realizarmos a soma: $$√{5}≈2,24$$ e $$√{2}≈1,41$$. Portanto, $$√{5}+√{2}=(2,24)+(1,41)=3,65$$.

Porém, quando se trata de raizes quadradas com o mesmo radicando, conservamos a raiz e efetuamos a soma ou subtração dos números fora da raiz:

Exemplo 1: $$2√{5}+3√{5}= (2+3)√{5}=5√{5}$$

Exemplo 2: $$7√{2}-5√{2}= (7-5)√{2}=2√{2}$$

Multiplicação e divisão

Diferente da adição, o caso da multiplicação permite realizar a operação com raizes diferentes. Caso haja números externos à raiz, eles também podem ser multiplicados entre si.

Multiplica-se números externos com números externos e radicandos com radicandos

Exemplo 1: $$√{3}×√{6}= √{(3×6)}=√{18}$$

Exemplo 2: $$2√{2}×4√{3}= (2×4)√{(2×3)}=8√{6}$$

O caso da divisão é idêntico: números externos com números externos e radicandos com radicandos

Exemplo 3: $$√{15}÷√{5}= √{(15÷5)}=√{3}$$

Exemplo 4: $$6√{10}÷2√{5}= (6÷2)√{(10÷5)}=3√{2}$$