Calcular a área do setor circular é como calcular a área de uma parte do círculo, mas é preciso saber que o setor circular é uma região formada por dois raios e um arco. Conhecendo o círculo, podemos compor fatias em seu interior, formando as regiões conhecidas como setores circulares.
É possível calcular a área do setor circular sabendo o valor do comprimento do raio e a medida do ângulo central formado pelos raios que delimitam o setor circular. O cálculo também pode ser feito por meio dos comprimentos do arco e do raio.
Leia também: Círculo e circunferência — qual é a diferença?
Resumo sobre a área do setor circular
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O setor circular é a área formada por parte de uma circunferência limitada por dois raios e um arco.
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Conhecendo o ângulo do setor circular e o raio, sua área pode ser calculada por:
\(A_s=\frac{α⋅π⋅ {r} ^ {2}} {360°}\)
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A outra maneira de calcular a área do setor circular é conhecendo o raio e o comprimento do arco, utilizando a fórmula:
\(A_s=\frac{l⋅ {r}}{2}\)
Setor circular é uma região interna do círculo. Quando traçamos dois raios distintos, a região que se encontra entre eles é conhecida como setor circular. Assim, o setor circular é a área delimitada por dois raios e um arco.
Veja abaixo os principais elementos do setor circular.
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Centro da circunferência: C
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Comprimento do raio do círculo: r
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Ângulo central: α
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Comprimento do arco: l
Como calcular a área de um setor circular?
É importante destacar que existem duas maneiras diferentes para calcular a área do setor circular. Uma delas é possível quando conhecemos os comprimentos do arco e do raio. A outra é possível quando conhecemos o ângulo central e o comprimento do raio. Vejamos cada uma delas a seguir.
➝ Cálculo da área do setor circular em função do ângulo central
Para calcular a área do setor circular conhecendo o ângulo central α e o raio com comprimento r, utilizamos a fórmula:
\(A_s=\frac{α⋅π⋅ {r} ^ {2}} {360°}\)
Sabendo que a área total de um círculo é igual a \(\pi r^2\) e que o ângulo central de um círculo é de 360°, podemos utilizar a regra de três simples para encontrar a fórmula:
πr² — 360°
As — α
Multiplicando cruzado:
\(A_s\cdot360°=πr2⋅α\)
\(A_s=\frac{\pi r^2\cdot\alpha}{360}\)
Calcule a área do setor circular a seguir:
Resolução:
Sabemos que α=60° e r = 3 cm, então:
\(A_s=\frac{\pi\cdot3^2\cdot60}{360}\)
\(A_s=\frac{\pi\cdot9\cdot60}{360}\)
\(A_s=\frac{540\pi}{360}\)
Simplificando a fração:
\(A_s=\frac{3\pi}{2}cm^2\)
Acesse também: Área do cone — a soma de sua área lateral com a área de sua base
➝ Cálculo da área do setor circular em função do comprimento do arco
Há outra maneira de calcular a área do setor circular em função do comprimento do arco. Para isso, é necessário conhecer o comprimento do raio r e o comprimento do arco l. A fórmula é:
\(A_s=\frac{l\cdot r}{2}\)
Aplicando a regra de três, sabemos que 2πr é o comprimento total da circunferência, então temos que:
2πr — \(\pi r^2\)
l — \(A_s\)
Multiplicando cruzado:
\(A_s\cdot2\pi r=\pi r^2\cdot l\)
\(A_s=\frac{\pi r^2\cdot l}{2\pi r}\)
\(A_s=\frac{r\cdot l}{2}\)
Qual é a área de um setor circular cujo raio é de 4 cm e cujo comprimento do arco é de \(\frac{2\pi}{4}cm\)?
Resolução:
\(A_s=\frac{\frac{2\pi}{4}\cdot4}{2}\)
\(A_s=\frac{2\pi}{2}\)
\(A_s=\pi cm^2\)
Veja também: Área da coroa do círculo — como calcular?
Exercícios resolvidos sobre a área do setor circular
Questão 1
A área do setor circular que possui ângulo central igual a 150° e raio medindo 12 cm é de:
(use \(\pi\) = 3)
A) 150 cm²
B) 180 cm²
C) 210 cm²
D) 240 cm²
E) 250 cm²
Resolução:
Alternativa B
Calculando a área:
\(A_s=\frac{\pi r^2\cdot\alpha}{360}\)
\(A=\frac{3\cdot{12}^2\bullet150}{360}\)
\(A=\frac{3\cdot144\cdot150}{360}\)
\(A=\frac{64800}{360}\)
\(A=180cm^2\)
Questão 2
Um setor circular possui área igual a 9,42 m². Sabendo que seu raio é igual a 6 cm, utilizando π = 3,14, podemos afirmar que o ângulo central desse setor circular é de:
A) 15°
B) 30°
C) 45°
D) 60°
E) 90°
Resolução:
Alternativa B
Sabemos que:
\(A_s=\frac{\pi r^2\cdot\alpha}{360}\)
Assim, calculamos:
\(9,42=\frac{3,14\cdot6^2\cdot\alpha}{360}\)
\(9,42\cdot360=3,14\cdot36\cdot\alpha\)
\(3391,2=113,04\alpha\)
\(\alpha=\frac{3391,2}{113,04}\)
\(\alpha=30°\)
Podemos definir um círculo como sendo o conjunto de todos os pontos interiores de uma circunferência, ou seja, é o espaço contido dentro da circunferência.
Todo círculo ou circunferência possui alguns elementos importantes:
- O é o centro da circunferência;
- é o Diâmetro (D);
- e são raios (r);
Setor circular
Um setor circular é uma região do círculo delimitada por dois de seus raios, partindo do centro e um arco:
Usualmente podemos chamar um setor circular de “fatia de pizza”, pelo seu formato. O ângulo é chamado de ângulo central.
De acordo com seu ângulo, um setor circular pode ser classificado como:
Metades: quando o ângulo central mede 180°
Área em função do ângulo central
Seja um setor circular de raio r = 4 cm e ângulo central .
Para calcular a área, devemos ter a medida do ângulo central e a medida do raio, como está na figura.
Devemos pensar: "a área do setor de ângulo 60° e raio 4 cm corresponde a que fração da área do círculo inteiro?"
Também devemos pensar: "60° corresponde a que fração de 360°?"
Isso porque a fração que 60° corresponde em relação a 360° é a mesma fração que a área do setor corresponde em relação a área total do círculo.
Assim, teremos a seguinte relação:
Ou seja, 60° é de 360º. Isso quer dizer que a área do setor circular também será da área total do círculo. Lembrando que a área de um círculo é dada por , teremos:
Substituindo por 3,14, teremos:
Lembrando que o valor de , usualmente é 3,14. Mas há alguns casos onde o exercício pode pedir para que se adote ou mesmo . Também pode ocorrer que se peça com mais casas decimais.
Encontrando uma fórmula
Vamos generaliza uma fórmula para calcularmos a área de um setor circular.
Como a fração que o ângulo central corresponde em relação a 360° é a mesma fração que a área do setor corresponde em relação a área total do círculo, podemos fazer:
Isso considerando que o ângulo está dado em graus. Caso a medida do ângulo esteja em radianos, teremos que , então:
Para entender esta fórmula podemos usar uma proporção simples, pois a razão entre o ângulo do setor e 360° é a mesma que a área do setor e a área total:
É possível determinar a área de um setor circular sabendo o comprimento do arco que o delimita.
Primeiro, vamos lembrar como se calcula o comprimento de um arco através de uma simples proporção.
Imaginemos um círculo de raio r, ângulo e arco L .
O comprimento do círculo todo, com um ângulo de 360°, é o mesmo que o comprimento de uma circunferência, ou seja, .
Queremos saber qual o comprimento de um arco, cujo ângulo é . Assim, temos:
Já sabemos que a área do setor será: .
Vamos isolar na fórmula do comprimento do arco L, para substituir na fórmula da área do setor.
Substituindo na fórmula da área do setor, teremos:
Assim, a área de um setor circular também pode ser obtida, sabendo apenas o raio e a medida do arco que o delimita, sem necessidade do ângulo.
Exemplos:
1. Calcule a área de um setor circular, sabendo que o seu raio mede 5 cm e que o seu ângulo central mede 45°. (Adote ).
2. Qual a área de um setor cujo arco mede 30 cm, com raio igual a 7 cm?
Referências:
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar. Geometria Plana. Vol. 9. São Paulo: Atual, 1995.
RIBEIRO, Paulo Vinícius. Matemática: Áreas de círculo e suas partes. Vol. 5. São Paulo: Bernoulli.