O paralelepípedo é um sólido geométrico estudado na Geometria Espacial, bastante presente no nosso cotidiano. Caixas, alguns prédios e vários outros objetos possuem formato de paralelepípedo.
Para que um sólido geométrico seja considerado paralelepípedo, ele precisa possuir faces formadas por paralelogramos — faces possuindo formato de retângulos, quadrados ou losangos, por exemplo. Vale dizer também que um paralelepípedo pode ser reto ou oblíquo.
Para calcular o volume de um paralelepípedo, calculamos o produto entre a área da base e a altura, mas existem também fórmulas para o cálculo da área total e da diagonal.
Leia também: Área dos sólidos geométricos — fórmulas e exemplos de cálculo das principais figuras
Resumo sobre paralelepípedo
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O paralelepípedo é um sólido geométrico que possui faces formadas por paralelogramos.
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É composto por 8 vértices, 12 arestas e 6 faces.
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É classificado como reto quando suas arestas são perpendiculares e como oblíquo quando suas arestas não são perpendiculares.
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Para calcular o volume de um paralelepípedo reto ou oblíquo, utilizamos a fórmula:
\(V=A_b\cdot h\)
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Considerando um paralelepípedo reto, com lados da base medindo a e b e altura c, seu volume pode ser calculado por:
\(V=a\cdot b\ \cdot c\)
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O paralelepípedo oblíquo não possui fórmulas específicas para o cálculo da área total e da diagonal, já o paralelepípedo reto, sim.
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A área total do paralelepípedo reto é calculada pela fórmula:
\(A=2ab+2ac+2bc\)
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A diagonal de um paralelepípedo reto é calculada por:
\(d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
Videoaula sobre o paralelepípedo
Elementos e características do paralelepípedo
Os principais elementos de um sólido geométrico são as suas faces, suas arestas e seus vértices. O paralelepípedo é composto por 6 faces, 8 vértices e 12 arestas.
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Os 8 vértices são os pontos A, B, C, D, E, F, G, H.
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As 12 arestas são os segmentos \(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{AD},\overline{AE},\overline{EF},\overline{BF},\overline{FG},\overline{GH},\overline{EH},\overline{CG},\overline{DH}\).
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As 6 faces são os paralelogramos ABCD, ABEF, CDHG, ADHE, BCGF, EFGH.
Classificação do paralelepípedo
Os paralelepípedos podem ser classificados de duas maneiras distintas. Há os paralelepípedos retos e os paralelepípedos oblíquos. O paralelepípedo é reto quando a sua aresta lateral forma um ângulo de 90° com a aresta da base e é oblíquo quando existe uma inclinação diferente de 90° entre a aresta da base e a aresta lateral.
O paralelepípedo reto possui fórmulas específicas para o cálculo de volume, área total e diagonal. Vejamos a seguir cada uma delas.
Fórmulas do paralelepípedo
As fórmulas do paralelepípedo servem para calcular o volume, a área total e a diagonal de um paralelepípedo reto. O paralelepípedo oblíquo possui fórmula para o cálculo do volume, porém ele não possui fórmula específica para o cálculo da área e da diagonal, por causa dos formatos que ele pode assumir.
Para calcular o volume de um paralelepípedo qualquer (reto ou oblíquo), utilizamos a fórmula:
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\(A_b\): área da base
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h: altura do paralelepípedo
Especificamente no paralelepípedo reto, a base é composta por um retângulo. Assim, a área da base é igual ao produto entre as duas dimensões da base. Para calcular o volume, basta multiplicar o valor pela altura. Logo, o volume de um paralelepípedo reto é o produto entre o comprimento, a largura e a altura.
\(V\ =\ a\ \cdot b\ \cdot c\) |
A área de um sólido geométrico é a soma das áreas das suas faces. Como as faces do paralelepípedo retângulo são todas retângulos, a área de cada face é igual ao produto entre o comprimento e a largura da face. Entretanto, faces paralelas possuem a mesma medida, então para calcular a área de um paralelepípedo reto utilizamos a fórmula:
Conhecemos como diagonal de um paralelepípedo o segmento de reta que liga um vértice ao vértice oposto a ele, como na imagem a seguir:
Para calcular o comprimento da diagonal de um paralelepípedo reto, utilizamos a fórmula:
Leia também: Fórmulas para cálculo do volume dos principais sólidos geométricos
Exercícios resolvidos sobre paralelepípedo
Questão 1
Uma caixa possui formato de um paralelepípedo reto com dimensões de 50 cm de largura, 85 cm de comprimento e 62 cm de altura. A medida da área total dessa caixa é de:
A) 25.240 cm²
B) 26.120 cm²
C) 27.000 cm²
D) 28.150 cm²
E) 28.320 cm²
Resolução:
Alternativa A
Calculando a área total, temos que:
\(A=2\left(50\cdot85+50\cdot62+62\cdot85\right)\)
\(A=2\cdot12.620\)
\(A=25.240\ cm^2\ \ \)
Questão 2
(IFG 2017) A água da piscina de saltos ornamentais do Centro Aquático Maria Lenk, no Parque Olímpico da Barra (Rio 2016), ficou verde. O Comitê Olímpico justificou a coloração devido a 80 litros de peróxido de hidrogênio (água oxigenada) jogados na água, que criou uma reação para o cloro que neutralizou sua habilidade de matar organismos. Para a competição, a água de toda a piscina foi trocada. Suponha que essa piscina tenha o mesmo volume de um paralelepípedo reto com 23 metros de comprimento, 18 metros de largura e 9 metros de profundidade. Qual o volume de água que foi trocado desta piscina, em litros? (Adote 1 m³ = 1000 litros).
A) 3,726 milhões.
B) 4,140 milhões.
C) 2,070 milhões.
D) 1,620 milhões.
E) 2,125 milhões.
Resolução:
Alternativa A
Para calcular o volume, multiplicaremos as três dimensões:
\(V=18\cdot9\cdot23\)
\(V=3726\ m³\)
Como o volume é dado em litros, multiplicaremos por 1000:
\(V\ =\ 3726\ \cdot1000\ =\ 3\ 726\ 000\ litros\)
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática
Paralelepípedo ou bloco retangular é a designação dada a um prisma cujas faces são paralelogramos.[1][2] Um paralelepípedo tem seis faces, sendo que duas são idênticas e paralelas entre si.[3] Os paralelepípedos podem ser retos ou oblíquos, consoante as suas faces laterais sejam perpendiculares ou não à base.[4] O paralelepípedo possui 12 arestas 8 vértices e 6 faces
Em geometria, um 'paralelepípedo' é uma forma tridimensional cujas 6 faces são paralelogramos. O paralelepípedo pode ser definido de três formas distintas:
- É um prisma cuja base é um paralelogramo;
- É um hexaedro do qual cada face é um paralelogramo;
- É um hexaedro com três pares de faces paralelas.
Os paralelepípedos constituem uma subclasse dos prismatoides.
Cada um dos três pares de faces paralelas do paralelepípedo pode ser considerado como a base, já que o prisma tem três conjuntos de quatro arestas paralelas, as quais, em cada conjunto, têm o mesmo comprimento.
O paralelepípedo pode ser encarado como o resultado da transformação linear de um cubo.
Volume
O volume de um paralelepípedo é o produto da área da sua base pela altura. Para este efeito a base pode ser qualquer das faces, sendo a altura medida perpendicularmente ao plano que contém a base. Por outro lado, se os vetores a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) e c = (c1, c2, c3) representarem as três arestas que se encontrem num vértice, então o volume do paralelepípedo é igual ao valor absoluto do produto triplo escalar a · (b × c), ou, o que é equivalente, ao valor absoluto do determinante:
| det [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] | . {\displaystyle \left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|.}Casos especiais
Para paralelepípedos com um plano de simetria existem dois casos:
- Têm quatro faces retangulares;
- Têm duas faces rômbicas, e das restantes, cada duas faces adjacentes são iguais (os dois pares são imagens invertidas entre si). Veja monoclínico.
- Um cuboide é um paralelepípedo onde todas as faces são retangulares.
- Um romboedro é um paralelepípedo com faces rômbicas congruentes entre si.
- Um cubo é um paralelepípedo com ambas as propriedades anteriores, isto é cujas faces são quadrados.
A designação paralelepípedo é também usada para formas análogas em espaços geométricos com mais de três dimensões.
A designação paralelepípedo, sem qualquer qualificativo, refere-se em geral à forma num espaço tridimensional, o percebido por nós. Num espaço n-dimensional, é comum usar-se a designação paralelepípedo n-dimensional, ou simplesmente n-paralelepípedo. Em 1D o análogo ao paralelepípedo é um intervalo, em 2D é um paralelogramo.
As diagonais de um n-paralelepípedo intersectam-se num ponto e são bissectadas pelo mesmo ponto. Uma Inversão neste ponto mantém o n-paralelepípedo inalterado. Veja o conceito de pontos fixos em grupos isométricos nos espaços euclidianos.
- ↑ Bayer, Arno; Luiza Batista, Maria. Matemática: Tópicos Básicos. Editora da ULBRA. pp. 45.
- ↑ Desenvolvimento de charpas. Hemus. ISBN 8528903923
- ↑ Villas, Alberto. Pequeno dicionário brasileiro da língua morta. Globo Livros, 2013. ISBN 8525051721
- ↑ de Freitas, Valdemar. Anatomia: Conceitos e Fundamentos. Artmed. pp. 41. ISBN 8536318597
- Portal da geometria
- Portal da matemática
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