Rosimar Gouveia
Professora de Matemática e Física
A potenciação ou exponenciação é a operação matemática que representa a multiplicação de fatores iguais. Ou seja, usamos a potenciação quando um número é multiplicado por ele mesmo várias vezes.
Para escrever um número na forma de potenciação usamos a seguinte notação:
Sendo a ≠ 0, temos:
a: Base (número que está sendo multiplicado por ele mesmo)
n: Expoente (número de vezes que o número é multiplicado)
Para melhor entender a potenciação, no caso do número 23 (dois elevado a terceira potência ou dois elevado ao cubo), tem-se:
23 = 2 x 2 x 2 = 4 x 2 = 8
Sendo,
2: Base
3: Expoente
8: Potência (resultado do produto)
Exemplos de Potenciação
52: lê-se 5 elevado à segunda potência ou 5 ao quadrado, donde:
5 x 5 = 25
Logo,
A expressão 52 equivale a 25.
33: lê-se 3 elevado à terceira potência ou 3 ao cubo, donde:
3 x 3 x 3 = 27
Logo,
A expressão 33 equivale a 27.
Propriedades da Potenciação
- Toda potência com expoente igual a zero, o resultado será 1, por exemplo: 50=1
- Toda potência com expoente igual 1, o resultado será a própria base, por exemplo: 81 = 8
- Quando a base for negativa e o expoente um número ímpar, o resultado será negativo, por exemplo: (- 3)3 = (- 3) x (- 3) x (- 3) = - 27.
- Quando a base for negativa e o expoente um número par, o resultado será positivo, por exemplo: (- 2)2 = (- 2) x (- 2) = +4
- Quando o expoente for negativo, inverte-se a base e muda-se o sinal do expoente para positivo, por exemplo: (2)- 4 = (1/2)4 = 1/16
- Nas frações, tanto o numerador quanto o denominador ficam elevados ao expoente, por exemplo: (2/3)3 = (23 / 33) = 8/27
Saiba mais sobre as propriedades da potenciação.
Multiplicação e Divisão de Potências
Na multiplicação das potências de bases iguais, mantém-se a base e soma-se os expoentes:
ax . ay = ax+y
52.53= 52+3= 55
Na Divisão das potências de bases iguais, mantém-se a base e subtrai-se os expoentes:
(ax) / (ay) = ax-y
(53) / (52) = 53-2 = 51
Quando a base está entre parênteses e há outro expoente fora (potência de potência), mantém-se a base e multiplica-se os expoentes:
(ax)y = ax.y
(32)5= 32.5 = 310
Leia também:
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.
Leitura Recomendada
A operação de potenciação com expoente natural pode ser interpretada como uma multiplicação com fatores iguais. Então seja um número real a e um número natural n, tal que n diferente de 0, a potência an é a multiplicação de a por si mesmo n vezes.
Exemplos:
5 ³ = 5 . 5 . 5 = 125
20 ² = 20 . 20 = 400
(- 4,3)² = (- 4,3) . (- 4,3) = 18,49
A potência com expoente 1 é igual à própria base:
a¹ = a 250 ¹ = 250
(-49 )¹ = -49
A potência que tem como base um número real não nulo e expoente zero é igual a 1:
a0= 1
10000 = 1
Observe como calcular uma potência com expoente inteiro negativo: Seja um número real a, com a diferente de 0 e um número inteiro n, temos:
Considerando a como número real não nulo e m e n como números inteiros: para multiplicar potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes:
am.an=a(m+n)
52.53=5(2+3)=55
Para dividir potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes:
am : aN=a(m-n)
53 : 52 = 5(3-2) = 51 = 5
Para elevar uma potência a um expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes:
(am)n = a(mn)
[(2)2]3 = (2)(23) = 26
Por Camila Garcia
Graduada em Matemática
Sabemos que a matemática utiliza símbolos para simplificar a escrita de muitas sentenças. A potenciação é uma forma simplificada de se escrever a multiplicação de um número por ele mesmo repetidamente. As propriedades da potenciação são recursos utilizados pela matemática para deixar mais simples algumas operações entre potências. Vamos analisar algumas dessas propriedades e verificar como elas facilitam nossas vidas.
Propriedade 1. Multiplicação de potências com bases iguais.
a) 72 x 73 = (7 x 7) x (7 x 7 x 7) = 7 x 7 x 7 x 7 x 7 = 75
b) 24 x 23 x 22 = (2 x 2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2) x (2 x 2) = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 29 Observando os dois exemplos acima, temos que:
72 x 73 = 72+3 = 75
24 x 23 x 22 = 24+3+2 = 29 Essa propriedade nos mostra que: na multiplicação de potências de bases iguais basta conservar a base da potência e somar os expoentes. Observe novamente:
35 x 38 = 35+8 = 313
Propriedade 2. Divisão de potências com bases iguais.
Com os exemplos acima, pode-se verificar que:
Essa propriedade nos mostra que: na divisão de potências com bases iguais basta conservar a base e diminuir os expoentes. Veja:
Propriedade 3. Potência de potência Essa propriedade é chamada de potência de potência por apresentar uma base com dois ou mais expoentes.
Com o exemplo acima, podemos verificar que:
Essa propriedade nos mostra que: numa potência de potência devemos repetir a base e multiplicar os expoentes. Veja:
Propriedade 4. Potência com expoente zero. Essa é uma propriedade muito interessante e que gera muita dúvida nas pessoas. Ela nos diz que todo número elevado a um expoente zero terá como resultado o número 1. De forma genérica seria:
Vejamos mais um exemplo:
Mas como podemos chegar a essa conclusão? Por que todo número elevado a zero é igual a 1? Veja como é simples a explicação disso. Vamos fazer a divisão entre os números abaixo: Mas como todo número dividido por ele mesmo resulta 1, temos que:
Com as duas igualdades, podemos concluir que:
Utilizando esse procedimento mostra-se que qualquer número, diferente de zero, elevado ao expoente zero resulta 1.
Por Marcelo Rigonatto Matemático
Aproveite para conferir nossas videoaulas relacionadas ao assunto:
A potenciação é uma operação matemática que representa a multiplicação sucessiva de um número por ele mesmo. Ao multiplicar o 3 por ele mesmo 4 vezes, isso pode ser representado pela potência 3 elevada a 4: 34.
Essa operação possui propriedades importantes que facilitam o cálculo das potências. Assim como a multiplicação possui a divisão como operação inversa, a potenciação possui a radiciação como operação inversa.
Cada elemento da potenciação recebe um nome específico:
an = b
a → base
n→ expoente
b→ potência
Leia também: Potenciação e radiciação de frações
Como ler uma potência?
Saber ler uma potência é uma tarefa importante. A leitura é sempre feita começando pelo número que está na base elevado ao número que está no expoente, como nos exemplos a seguir:
Exemplos:
a) 4³ → Quatro elevado a três, ou quatro elevado à terceira potência, ou quatro elevado ao cubo.
b) 34 → Três elevado a quatro, ou três elevado à quarta potência.
c) (-2)¹ → Menos dois elevado a um, ou menos dois elevado à primeira potência.
d) 8² → Oito elevado a dois, ou oito elevado à segunda potência, ou oito elevado ao quadrado.
As potências de expoente 2 podem ser chamadas também de potências elevadas ao quadrado, e as potências de grau 3 podem ser chamadas de potências elevadas ao cubo, como nos exemplos anteriores.
Cálculo de potências
Para encontrar o valor de uma potência, precisamos realizar as multiplicações como nos exemplos a seguir:
a) 3²= 3 · 3 = 9
b) 5³= 5·5·5 = 125
c) 106 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 1 000 000
Existem alguns tipos específicos de potência.
1º caso – Quando a base for diferente de zero, podemos afirmar que todo número elevado a zero é igual a 1.
Exemplos:
a) 100=1
b) 12930=1
c) (-32)0=1
d) 80=1
2º caso - Todo número elevado a 1 é ele mesmo.
Exemplos:
a) 9¹ = 9
b) 12¹ = 12
c) (-213)¹= - 213
d) 0¹ = 0
3º caso - 1 elevado a qualquer potência é igual a 1.
Exemplos:
a) 1²¹ = 1
b) 1³ = 1
c) 1500=1
4º caso - Base de uma potenciação negativa
Quando a base é negativa, separamos em dois casos: quando o expoente for ímpar, a potência será negativa; quando o expoente for par, a resposta será positiva.
Exemplos:
a) (-2)³ = (-2) · (-2) · (-2) = - 8 → Note que o expoente 3 é ímpar, logo a potência é negativa.
b) (-2)4= (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = 16 → Note que o expoente 4 é par, por isso a potência é positiva.
Leia também: Potências com expoente negativo
Potência com expoente negativo
Para calcular a potência com expoente negativo, escrevemos o inverso da base e trocamos o sinal do expoente.
Propriedades da potenciação
Além dos tipos de potenciação mostrados, a potenciação possui propriedades importantes para facilitar o cálculo de potência.
→ 1ª propriedade – Multiplicação de potências de mesma base
Ao realizarmos uma multiplicação de potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes.
Exemplos:
a) 24· 23 = 24+3=27
b) 5³ · 55 · 52= 53+5+2 = 510
→ 2ª propriedade – Divisão de potências de mesmo base
Quando encontramos uma divisão de potência de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes.
Exemplos:
a) 37 : 35 = 37-5 = 32
b) 23 : 26 = 23-6 = 2-3
→ 3ª propriedade – Potência de potência
Ao calcular a potência de uma potência, podemos conservar a base e multiplicar os expoentes.
Exemplos:
a) (5²)³ = 52·3 = 56
b) (35)4 = 35·4 = 3 20
→ 4ª propriedade – Potência de um produto
Quando há uma multiplicação de dois números elevada a um expoente, podemos elevar cada um desses números ao expoente.
Exemplos:
a)(5 · 7)3 = 53 · 73
b)( 6·12)8 = 68 · 128
→ 5ª propriedade – Potência do quociente
Para calcular potências de um quociente ou até mesmo de uma fração, o modo de realizar é muito parecido com a quarta propriedade. Se há uma divisão elevada a um expoente, podemos calcular a potência do dividendo e do divisor separadamente.
a) (8:5)³ = 8³ : 5³
Potenciação e radiciação
A radiciação é a operação inversa da potenciação, ou seja, ela desfaz o que foi feito pela potência. Por exemplo, ao calcularmos a raiz quadrada de 9, estamos procurando o número elevado ao quadrado que resulta em 3. Então, para entender uma delas, é fundamental que se domine a outra. Em equações, também é bastante comum o uso da radiciação para eliminar uma potência de uma incógnita, e também o contrário, ou seja, usarmos potenciação para eliminar a raiz quadrada de uma incógnita.
Exemplo
- Calcule o valor de x, sabendo que x³ = 8.
Para calcular o valor de x, é necessário realizar a operação inversa da potenciação, ou seja, a radiciação. Na realidade, estamos buscando qual é o número que, ao ser elevado ao cubo, tem como resultado o número 8.
Essa relação entre a radiciação e a potenciação torna fundamental dominar as regras de potenciação para avançar o aprendizado sobre a radiciação.
Leia também: Como calcular raízes usando potências?
Exercícios resolvidos
1) (PUC-RIO) O maior número abaixo é:
a) 331
b)810
c)168
d)816
e)2434
Resolução:
Realizar a comparação calculando cada um deles seria uma tarefa difícil, então vamos simplificar as alternativas,
a) 331 → já está simplificada
b) 8 = 2³ → (2³)10 = 230
c) 16 = 24 → (24)8 = 232
d) 81 = 34 → (34)6 = 324
e) 243=35 → (35)4 = 320
Logo, a maior das potências é a letra A.
2) A simplificação da expressão [310: (35. 3)2]- é igual a:
a)3-4
b)34
c)30
d)3²
e)3-2
Resolução:
[310: (35. 3)2]-2
[310: (36)2]-2
[310: 312]-2
[3-2]-2
34
Letra B.