A raiz quadrada é uma operação matemática que acompanha todos os níveis escolares. Trata-se de um caso particular de radiciação, no qual o índice do radical é igual a 2, ou seja, é a operação inversa das potências de expoente igual a 2. Quando um número positivo possui raiz quadrada exata, dizemos que esse número é um quadrado perfeito.
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Definição e nomenclatura dos elementos da radiciação
Sejam a e b dois números reais e n um número natural diferente de zero, então:
a = radicando
n = índice
√ = radical
As raízes quadradas, como dito, são um caso particular de radiciação. Ao escrever uma raiz quadrada, não é necessário explicitar o índice igual a dois.
Para os demais tipos de raízes, é obrigatório colocar o índice, ou seja, para n = 3, n = 4, n = 5 …, é necessário deixar explícito no índice do radical o valor de n.
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Para calcular a raiz quadrada de um número real, basta seguir a definição de radiciação:
A definição nos diz que a raiz quadrada de um número real a é o número b se, e somente se, o número b elevado ao quadrado for igual ao número a, ou seja, temos que imaginar um número que, ao quadrado, resulte no número dentro do radical.
Exemplos:
√36 = 6, pois 62 = 36
√121 = 11, pois 112 = 121
Os números que possuem raiz quadrada são denominados quadrados perfeitos. Assim, dos exemplos acima, os números 36 e 121 são quadrados perfeitos. Quando o número não é um quadrado perfeito, é necessário realizar o cálculo de raízes não exatas.
Observações:
1. Perceba, com base na definição de raiz quadrada, que sempre procuramos um número que, quando elevado ao quadrado, resulta no número dentro do radical. Tendo em vista as propriedades da potenciação, sabemos que um número ao quadrado é sempre positivo. Isso nos leva a concluir que não é possível extrair raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais.
Exemplo:
√ — 36 = ?
Do exemplo acima, teríamos que imaginar um número que, elevado ao quadrado, resultaria em -36. No conjunto dos números reais, isso não é impossível.
2. Caso o radicando seja um número relativamente grande, o que impossibilitaria o cálculo mental, basta fazer a decomposição em primos e agrupar sempre que possível em potências de expoente dois.
Exemplo:
Vamos determinar o valor da raiz quadrada de 441.
√441
Para determinar a raiz de 441, vamos fazer a decomposição em primos:
441 = 32 . 72
Assim,
√441 = √32 . 72
Agora, aplicando as propriedades de radiciação, temos que:
√441 = 3 . 7 = 21
O número 21 elevado ao quadrado é igual a 441.
Mapa Mental: Raiz Quadrada
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Interpretação geométrica da raiz quadrada
Imagine um terreno com área de 144 m2.
Para determinar quanto mede o lado desse terreno em forma de quadrado, temos que relembrar como calcular sua área.
Aquadrado = l2
A representa o valor da área, e l é o valor do lado.
Como a área vale 144 m2, temos que:
144= l2
Observe a equação acima. Note que precisamos encontrar um número que, elevado ao quadrado, seja igual a 144, isto é, temos a definição de raiz quadrada! Então:
√144 = 12
O número 144 na forma fatorada é:
144 = 22 . 22 . 32
Assim, vamos ter que:
√144 = √22 . 22 . 32
Por fim,
√144 = 2 . 2 . 3 = 12
Portanto, o lado do terreno mede 12 m.
Exercícios resolvidos
1. Elabore uma lista com os quadrados perfeitos de 1 a 100.
Os quadrados perfeitos de 1 a 100 são: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100
2. Determine a raiz quadrada do número 1024.
√1024
Para determinar a raiz de 1024, vamos fazer a decomposição em primos:
1024 = 22 . 22 . 22 . 22 . 22
Então,
Considerando a segunda igualdade com as propriedades da radiciação já aplicadas.
*Mapa Mental por Luiz Paulo Silva
Graduado em Matemática
Por Robson Luiz
Professor de Matemática
O valor aritmético que é usado para representar a quantidade e para fazer cálculos são definidos como números. Um símbolo como “4,5,6” que representa um número é conhecido como um numeral. Sem números, não podemos contar coisas, data, hora, dinheiro, etc., esses números também são usados para medição e para rotulagem.
As propriedades dos números os tornam úteis na realização de operações aritméticas com eles. Esses números podem ser escritos em formas numéricas e também em palavras.
Por exemplo, 3 é escrito como três em palavras, 35 é escrito como trinta e cinco em palavras, etc. Os alunos podem escrever os números de 1 a 100 em palavras para aprender mais.
Existem diferentes tipos de números, que podemos aprender. Eles são números inteiros e naturais, números pares e ímpares, números racionais e irracionais, etc.
O que é um sistema numérico?
Um sistema numérico é um método de mostrar números por escrito, que é uma forma matemática de representar os números de um determinado conjunto, usando os números ou símbolos de maneira matemática. O sistema de escrita para denotar números usando dígitos ou símbolos de uma maneira lógica é definido como Sistema Numérico.
Podemos usar os dígitos de 0 a 9 para formar todos os números. Com esses dígitos, qualquer pessoa pode criar números infinitos.
Por exemplo, 156,3907, 3456, 1298, 784859, etc.
O que é uma raiz quadrada?
O valor de um número de raízes quadradas, que na multiplicação por si dá o número original. Suponha que a seja a raiz quadrada de b, então ele é representado como a = √b ou podemos expressar a mesma equação como a 2 = b. Aqui, '√' este símbolo que usamos para representar a raiz dos números é denominado como radical. O número positivo, quando deve ser multiplicado por si mesmo, representa o quadrado do número. A raiz quadrada do quadrado de qualquer número positivo fornece o número original.
Por exemplo, o quadrado de 4 é 16, 4 2 = 16 e a raiz quadrada de 16, √16 = 4. Visto que 4 é um quadrado perfeito , portanto, é fácil encontrar a raiz quadrada de tais números, mas para um quadrado imperfeito, é realmente complicado.
A Raiz quadrada é representada como '√'. É chamado de símbolo radical. Para representar um número 'a' como uma raiz quadrada, usando este símbolo pode ser escrito como: '√a', onde a é o número.
O número aqui sob o símbolo do radical é chamado de radicand. Por exemplo, a raiz quadrada de 4 também é representada como um radical de 4. Ambos representam o mesmo valor.
A fórmula para encontrar a raiz quadrada é: a = √b
Propriedades das raízes quadradas
É definida como uma função um-para-um que recebe um número positivo como entrada e retorna a raiz quadrada do número de entrada fornecido.
f (x) = √x
Por exemplo, aqui se x = 9, a função retorna o valor de saída como 3.
As propriedades da raiz quadrada são as seguintes:
- Se um número é um número quadrado perfeito, então definitivamente existe uma raiz quadrada perfeita.
- Se um número terminar com um número par de zeros (0's), então podemos ter uma raiz quadrada.
- Os dois valores de raiz quadrada podem ser multiplicados. Por exemplo, √3 pode ser multiplicado por √2, então o resultado será √6.
- Quando duas raízes quadradas iguais são multiplicadas, o resultado deve ser um número radical. Mostra que o resultado é um número de raiz não quadrada. Por exemplo, quando √7 é multiplicado por √7, o resultado obtido é 7.
- A raiz quadrada dos números negativos é indefinida. Portanto, o quadrado perfeito não pode ser negativo.
- Alguns dos números terminam com 2, 3, 7 ou 8 (no dígito unitário), então a raiz quadrada perfeita não existe.
- Alguns dos números terminam com 1, 4, 5, 6 ou 9 no dígito da unidade, então o número terá uma raiz quadrada.
É fácil encontrar a raiz quadrada de um número que é um quadrado perfeito.
Quadrados perfeitos são aqueles números positivos que podem ser escritos como a multiplicação de um número por si só, ou você pode dizer que um quadrado perfeito é um número que é o valor da potência 2 de qualquer inteiro.
O número que pode ser expresso como o produto de dois inteiros iguais. Por exemplo, 16 é um quadrado perfeito porque é o produto de dois inteiros iguais, 4 × 4 = 16. No entanto, 24 não é um quadrado perfeito porque não pode ser expresso como o produto de dois inteiros iguais. (8 × 3 = 24).
O número que é obtido ao elevar ao quadrado um número inteiro é denominado como um quadrado perfeito.
Se assumirmos que N é um quadrado perfeito de um número inteiro y, isso pode ser escrito como N = o produto de y e y = y 2 .
Portanto, a fórmula do quadrado perfeito pode ser expressa como:
N = Y 2
Vamos usar a fórmula com valores.
Se y = 9 e N = y 2 .
Isso significa, N = 9 2 = 81.
Aqui, 81 é um quadrado perfeito porque é o quadrado de um número inteiro.
Com a ajuda das raízes quadradas, podemos identificar se um número é um quadrado perfeito ou não e se calculamos a raiz quadrada de um determinado número.
Se a raiz quadrada for um número inteiro, o número fornecido será um quadrado perfeito e, se o valor da raiz quadrada não for um número inteiro, o número fornecido não será um quadrado perfeito.
Por exemplo, para verificar se 24 é um quadrado perfeito ou não, calcularemos sua raiz quadrada. √24 = 4,898979. Como podemos ver, 4,898979 não é um número inteiro, portanto, 24 não é um quadrado perfeito.
Vamos dar outro exemplo de
O número 49. √49 = 7. Podemos ver que 7 é um número inteiro, portanto, 49 é um quadrado perfeito.
O que é uma raiz quadrada de 144?
Solução:
Aqui, 12 é a raiz quadrada de 144 ou podemos dizer que 12 é o quadrado perfeito de 144
e √144 = 12 ou 12 2 = 12 × 12 = 144
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portanto, a raiz quadrada de 1000 é 31,622 ...
portanto, 1000 não tem um quadrado perfeito.
portanto, √1000 = 31,622 ..
Pergunta 2: Qual é a raiz quadrada de 10.000?
Solução:
Aqui, 10000 é o quadrado perfeito de 100
100 2 = 100 × 100 = 10000
ou seja, √10000 = 100
Pergunta 3: Qual é a raiz quadrada de 1024?
Solução:
raiz quadrada de 1024
aqui a raiz quadrada de 1024 é 32
significa que 1024 tem o quadrado perfeito
ou seja, √1024 = 32
ou 32 2 = 32 × 32 = 1024