Equação reduzida da circunferência possui diversas aplicações no nosso dia a dia, como em radares e na detecção de tsunamis. A circunferência possui dois elementos: o centro e o raio, que é a distância do centro até a extremidade da circunferência. Show Assim como a reta, é possível determinar a equação de uma circunferência conhecendo as coordenadas do centro e a medida de seu raio. Existe mais de uma forma de representarmos uma circunferência algebricamente, não obstante, daremos ênfase à equação reduzida da circunferência. Leia mais: Elementos da circunferência: saiba quais são Como determinar a equação reduzida da circunferência?Uma circunferência é o conjunto de pontos do plano cartesiano que são equidistantes de um ponto dado, ou seja, do centro da circunferência. A essa distância vamos dar o nome de raio, ou seja, vamos “colecionar” pontos da forma P (x, y) que possuem a mesma distância do centro. Considere uma circunferência de centro C (a, b) e de raio r: Estamos interessados nos pontos que satisfazem a condição da distância entre C e P ser igual ao raio, ou seja: dPQ = r Da distância entre dois pontos, temos: Assim, a equação reduzida da circunferência que possui centro C (a, b) e raio r é dada por: Exemplos
Veja também: Como encontrar o centro de uma circunferência? Questão 1 – (PUC-RS) De acordo com a regra 2 da Fifa, a bola oficial de futebol deve ter sua maior circunferência medindo de 68 cm a 70 cm. Considerando a circunferência com 70 cm e usando um referencial cartesiano para representá-la, como no desenho a seguir, poderíamos dizer que sua equação é: Solução: Sabemos que o comprimento da circunferência é dado por: Como a circunferência possui o centro na origem do sistema de coordenadas, a coordenada do centro é C (0, 0). Agora, substituindo as informações na fórmula da equação da circunferência, teremos: Por Robson Luiz A equação geral da circunferência é objeto de estudo da geometria analítica, área da matemática que analisa o comportamento de elementos da geometria no plano cartesiano. Representar a circunferência por uma equação permite estudar essa figura de forma algébrica e também identificar o valor do seu centro e do seu raio. Para encontrar a equação geral da circunferência com base em um gráfico, primeiro encontramos a equação reduzida e, resolvendo os produtos notáveis, chegamos à equação geral. Veja também: O que é plano cartesiano? Qual é a equação geral da circunferência?A partir da equação reduzida da circunferência, encontramos a equação geral, já que ela é desenvolvida a partir do cálculo dos produtos notáveis na equação reduzida. A equação reduzida é dada por: (x – a)² + (y – b)² = r² Vamos desenvolver os produtos notáveis (x – a)² e ( y – b)² e encontraremos a seguinte equação: x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² = r² Colocando em ordem de acordo com o grau de cada termo e igualando a equação a zero, a equação geral da circunferência é:
Como encontrar a equação geral da circunferência?Analisando a circunferência no plano cartesiano, para encontrar a equação geral, precisamos encontrar a equação reduzida e desenvolver os produtos notáveis, conforme o exemplo a seguir. → 1º passo: encontrar o centro e o raio. Analisando a circunferência, o centro é o ponto C(-1,1). Já analisando a distância do centro até a extremidade, o raio é igual a 2. → 2º passo: escrever a equação reduzida da reta. A equação reduzida é dada por: (x – a) ² + ( y – b) ² = r² Sendo (a,b) o centro da circunferência e r o raio, a equação reduzida será: (x – (–1) ) ² + (y – 1)² = 2² (x + 1)² + (y – 1)² = 4 → 3º passo: desenvolver os produtos notáveis para encontrar a equação geral. (x+1)² = x² + 2x + 1² → x² + 2x + 1 (y – 1)² = y² –2y + 1² → y² – 2y + 1 Podemos reescrever a equação da circunferência da seguinte maneira: x² + 2x + 1 + y² – 2y + 1 = 4 Igualando a equação e ordenando por grau, teremos a seguinte equação: x² + y² + 2x – 2y + 1 + 1 – 4 = 0 A equação geral da circunferência é: x² + y² + 2x – 2y – 2 = 0 Para encontrar o centro e o raio de uma circunferência por meio de sua equação geral, podemos usar o método da comparação e o método de completar quadrados. → Método da comparaçãoO método da comparação é o mais rápido quando o interesse é somente descobrir qual é o valor do raio e do centro da circunferência. Como o nosso objetivo é encontrar o valor do centro (a,b) e do raio r, dada a equação geral da circunferência, vamos comparar a sua equação geral com a equação geral de uma circunferência qualquer. Exemplo: x² + y² – 2x – 4y – 4 =0. Sabemos que a equação geral da circunferência é dada por: x² + y² – 2ax – 2bx + (b² + a² – r²) = 0 Faremos uma comparação entre as duas equações: x² + y² – 2ax – 2by + (b² + a² – r²) = x² + y² – 2x – 4y – 4 Comparando termo a termo, podemos encontrar o valor de a sabendo que: - 2ax = - 2x ( -1 ) 2ax = 2x 2a =2 a =2: 2 a = 1 Para encontrar o valor de b, sabemos que: - 2by = - 4y (-1) 2by = 4y 2b = 4 b = 4 : 2 b = 2 Agora, sabemos que a = 1 e b = 2, para encontrar o valor de r, vamos analisar o termo independente. b² + a² – r² = – 4 2² + 1² – r² = – 4 4 + 1 – r² = – 4 5 – r² = – 4 – r² = – 4 – 5 – r² = – 9 ( - 1) r² = 9 r = √9 r = 3 Sendo assim, o centro da circunferência é o ponto C (1,2) e o seu raio é 3. Leia também: Elementos do círculo e da circunferência → Método de completar quadradoEsse segundo método consiste em encontrar a equação reduzida da circunferência para que seja possível encontrar o seu centro e o seu raio. Para isso, vamos completar quadrados. Completar quadrado nada mais é do que transformar a equação x² + y² – 2ax – 2by + (b² + a² – r²) = 0 em uma equação reduzida do tipo (x – a) ² + (y – b)² = r². Exemplo: x² + y² – 6x – 4y – 15 = 0. Para transformar a equação geral na equação reduzida, vamos reordenar a equação geral, deixando termos de mesma variável próximos: x² – 6x + y² – 4y – 12 = 0 Sabemos que (x – a) ² = x² – 2ax + a² e que 2ax = 6x. Agora, como 6 = 2 · 3 → a= 3, sendo a = 3, temos que: (x – 3) ² = x² – 6x + 9 Note que o termo + 9 não aparece na equação, então vamos somar e subtrair 9 na equação geral da seguinte maneira: x² – 6x + 9 – 9 y² – 4y – 12 = 0 (x – 3) ² – 9 + y² – 4y – 12 = 0 Analisando agora a variável y, temos que: (y – b)² = y² – 2by +b² Então, 2by = 4y. Sabendo que 4 = 2 · 2 → b = 2, temos que: (y – 2)² = y² – 4y + 4 Completando o quadrado, reescreveremos a equação da seguinte maneira: (x – 3) ² – 9 + y² – 4y + 4 – 4 – 12 = 0 (x – 3) ² – 9 + ( y – 2)² - 4 - 12 = 0 Passando os termos independentes para depois da igualdade, encontraremos a equação: (x – 3) ² + ( y – 2)² = 9 + 4 + 12 (x – 3) ² + ( y – 2)² = 25 Sendo assim, o centro é o ponto C (3,2) e o raio r² = 25 → r= √25 = 5. Leia também: Posição relativa entre uma reta e uma circunferência Exercícios resolvidos1) A equação geral da circunferência que possui raio 1 e centro C( -2,0) é? a) x² + y² + 3 = b)(x + 2)² + y² = 1 c) (x – 2)² + y² = 1 d)x² – 2x + y² + 3 = 0 e)x² + 2x + y² + 3 = 0 Resolução: Para encontrar a equação geral, primeiro encontraremos a equação reduzida, com a = 2 b = 0 e r = 1. (x – a)² + (y – b) ² = r² (x – 2)² + (y – 0)² = 1² (x – 2)² + y² = 1 Agora, resolvendo o produto notável (x-2)²: x² – 2x + 4 + y² = 1 Igualando a equação a zero, encontraremos: x² – 2x + y² + 4 – 1 = 0 x² – 2x + y² + 3 = 0 Alternativa D 2) Dada a equação x² + y² + 6x – 2y + 1= 0, podemos afirmar que seu raio é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Resolução: Usando o método da comparação, queremos encontrar o valor do raio. Para isso, precisamos primeiro encontrar o valor de a e b. x² + y² – 2ax – 2by + (b² + a² – r²) = x² + y² + 6x – 2y + 1 Para descobrir o valor de a, igualaremos os termos: – 2ax = 6x – 2a = 6 a = 6 : (–2) a = – 3 Agora, para o valor de b, temos que: – 2by = – 2y ( -1) 2by = 2y 2b = 2 b= 2 : 2 b= 1 Sendo a = -3 e b = 1, então é possível encontrar o raio, pois: b² + a² – r² = 1 1² + (-3)² – r² = 1 1 + 9 – r² = 1 10 – r² = 1 - r² = 1 – 10 - r² = – 9 ( -1 ) r² = 9 r = √9 r = 3 Alternativa C |