O logaritmo é uma operação matemática diretamente relacionada com as equações exponenciais. Nele buscamos encontrar o expoente que faz com a base seja igual ao que chamamos de logaritmando. Show Na prática estamos resolvendo equações exponencias, entretanto, com essa operação surgem propriedades importantes que auxiliam nas resoluções. Para resolver um logaritmo, é essencial o domínio da operação e das propriedades existentes para ele, as quais são muito parecidas com as propriedades das potências. Para que essa operação seja bem definida, existem algumas restrições para o valor da base e do logaritmando chamadas de condição de existência. Leia também: Qual a aplicação dos logaritmos? Definição de logaritmoChamamos de logaritmo de a na base b, representado por logab, o valor x, tal que a elevado a x seja igual a b. Por exemplo, ao escrevermo log28 (lê-se logaritmo de 8 na base 2), estamos procurando o número a que devemos elevar o 2 para que a resposta seja igual a 8. Log28 = 3, pois 2³ = 8. De modo geral, a operação logaritmo é definida por: x → logaritmo b → base a → logaritmando Observação: Quando não escrevemos a base, ela é sempre igual a 10, ou seja, Log a (lê-se logaritmo de a na base decimal). Calcule o valor dos logaritmos a seguir. a) log381 = 4, pois 34 = 81. b) log100 = 2, pois 10² = 100 (como não havia valor para a base, ela é igual a 10). c) log21024 = 10, pois 210 = 1024. Como consequência da definição, podemos analisar alguns casos particulares de logaritmo. Como todo número elevado a 0 é igual a 1, então o logaritmo de 1 em qualquer base é sempre igual a 0. Exemplo numérico: log81 = 0, pois 80 = 1. Como todo número elevado a 1 é ele mesmo, então logaritmo de base e logaritmando iguais são sempre iguais a 1. Exemplo numérico: log55 = 1, pois 5¹ = 5.
Dois logaritmos de mesma base são iguais se, e somente se, o logaritmando for igual. Exemplo numérico: Sabendo que logb8 = logba, então a = 8.
Esse caso é uma aplicação da definição, pois a base levada ao logaritmo é igual ao logaritmando. Exemplo numérico: log22³ = 3, pois 2³ = 2³. Condição de existênciaPara definirmos bem o logaritmo, há algumas restrições sobre os valores da base e do logaritmando. A base de um logaritmo sempre deve ser um número positivo e diferente de 1, e o logaritmando deve ser sempre um número positivo. De forma algébrica, temos que: logba Em que a e b são números reais, tal que: a > 0 e b > 0 e b ≠ 1. Veja também: Conjuntos numéricos – agrupamentos de números com características semelhantes Como resolver um logaritmoExistem aqueles logaritmos possíveis de resolver-se de forma direta, apenas com a definição, como fizemos no exemplo anterior. No entanto, resolver logaritmos também exige domínio de equações exponencias, além disso, quando for necessário, deve-se realizar a consulta da tabela de logaritmos decimais para saber o valor de logaritmos que não conseguimos calcular com base em uma equação exponencial. Calcule log3243. 1º passo: aplicar a definição para transformar o logaritmo em uma equação exponencial. Seja log3243 = x, então 3x = 243. 2º passo: igualar as bases quando possível. 3x = 35 → x = 5 Calcule o logaritmo a seguir. Seguindo os dois passos do exemplo anterior, vamos aplicar a definição e tentar igualar as bases. Acesse também: Equações logarítmicas – equações em que a incógnita está no logaritmando Propriedades dos logaritmosExistem casos em que a simples aplicação da definição não é o suficiente para resolvê-los, então, para isso, foram desenvolvidas algumas propriedades que facilitam essa resolução. O domínio dessas ferramentas é essencial para a resolução dos problemas sobre esse tema e para utilizar-se de logaritmos a fim de solucionar equações exponenciais de bases diferentes. Considere X e Y dois números reais positivos e diferentes de 1 para todas as propriedades dos logaritmos a seguir.
O logaritmo de um produto pode ser separado na adição do logaritmo de mesma base de cada um dos fatores.
Muito parecida com a anterior, o logaritmo de um quociente pode ser separado com a subtração dos logaritmos de mesma base do numerador pelo denominador, nessa ordem.
Sempre que houver um expoente no logaritmando, o logaritmo de uma potência será igual à multiplicação desse expoente pelo logaritmo. Logaritmo é uma operação que se relaciona diretamente com as equações exponenciais.Exercícios resolvidosQuestão 1 - Sendo loga2 = 8 e loga5 = 23, então o loga 200 é igual a? a) 70 b) 31 c) 23 d) 15 e) 64 Resolução Alternativa A. Para resolver essa questão, é necessário fatorar o 200. loga200 = loga (2³·5²) Utilizando-se da primeira propriedade, o produto pode ser separado na soma de dois logaritmos de mesma base. loga200 = loga2³ + loga5² Agora, aplicando a terceira propriedade, vamos “derrubar” os expoentes: loga200 = 3·loga2 + 2·loga5 Substituindo os valores de loga2 = 8 e loga5 = 23, temos que: loga200 = 3 · 8 + 2 · 23 loga200 = 24 + 46 loga200 = 70 Questão 2 - (Enem) Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 3000 ℃ e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 min. Use 0,477 como aproximação para log3 e 1,041 como aproximação para log11. O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30 ℃ é mais próximo de: a) 22 b) 55 c) 100 d) 200 e) 400 Resolução Alternativa D. Como a liga diminui 1% a cada intervalo de tempo, temos que 100% - 1% = 99% do valor anterior. Já que ela diminui a temperatura a cada intervalo, então usamos a representação na forma decimal por 0,99t, em que T(x) é a temperatura e x é o intervalo de tempo. Seja T(X) a função, como a liga diminui 1% a cada intervalo de tempo, essa situação pode ser descrita assim: T(x) = 3000 · 0,99t Como o objetivo é saber depois de quanto tempo a liga atingirá a temperatura de 30 ºC, então T(x) = 30. Ao encontrarmos uma equação exponencial que não é possível resolver igualando as bases, é necessário aplicarmos o logaritmo dos dois lados. Lembrando que, quando a base não aparece, trata-se de um logaritmo decimal. No entanto, log0,01 = -2, pois 10-2 = 0,01. Quando possível, substituiremos o valor de log3 = 0,477 e log11 = 1,041. Também, quando necessário, usaremos as propriedades vistas anteriormente. Então temos que: Muito cuidado, questões como essa sempre têm “pegas” com o objetivo de verificar a atenção do candidato. Portanto, não terminamos ainda e 400 não é a resposta final, pois cada intervalo de tempo tem 30 minutos e a questão pediu o tempo em horas. Se há 400 intervalos, cada um de 30 minutos, então são 200 horas.
Primeiro devemos verificar se é possível realizar a multiplicação. Sendo A uma matriz 2x3 e B uma matriz 3x2, é possível multiplicar, pois o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Verificamos as dimensões da matriz resultado da multiplicação. Chamando a matriz resultado do produto A . B de matriz C, esta terá duas linhas e duas colunas. Lembre-se que a matriz resultado do produto "herda" a quantidade de linhas da primeira e a quantidade de colunas da segunda. Sendo assim, a matriz C será do tipo 2x2. Construindo a matriz genérica C, temos: C = Para o cálculo de c11, fazemos a multiplicação da primeira linha de A pela primeira coluna de B, somando os termos multiplicados. c11 = 3.1 + (-2).0 + 1.4 = 3 + 0 + 4 = 7 Para o cálculo de c12, fazemos a multiplicação da primeira linha de A pela segunda coluna de B, somando os termos multiplicados. c12 = 3.3 + (-2).(-5) + 1.1 = 9 + 10 + 1 = 20 Para o cálculo de c21, fazemos a multiplicação da segunda linha de A pela primeira coluna de B, somando os termos multiplicados. c21 = 1.1 + 5.0 + (-1).4 = 1 + 0 + (-4) = -3 Para o cálculo de c22, fazemos a multiplicação da segunda linha de A pela segunda coluna de B, somando os termos multiplicados. c22 = 1.3 + 5.(-5) + (-1).1 = 3 + (-25) + (-1) = -23 Escrevendo a matriz C com seus termos. C = |