Exercícios juros compostos 9 ano doc

Os juros compostos são bastante recorrentes em empréstimos bancários, financiamentos de moradia ou carro e também em investimentos como poupança, entre outros. Na matemática financeira, para trabalhar com os juros compostos, é necessário compreender cada uma das suas variáveis, são elas:

• o capital, que é o valor inicial;
• a taxa de juros, que é a porcentagem cobrada de juros ao decorrer do tempo;
• o tempo, que pode ser contado em dias, meses, bimestres, semestres, anos, ou seja, em qualquer intervalo de tempo;
• o montante, que é o valor resgatado ao final da transação.

Para calcular os juros compostos, usamos uma fórmula específica com cada um desses elementos. Além deles, existem os juros simples. A diferença entre ambos é que, nos juros simples, os juros serão fixos, cobrados em cima do capital somente, já  nos juros compostos, há uma cobrança de juros em cima do valor anterior, do capital mais os juros, ou seja, há juros sobre juros. Isso faz com que os juros compostos resultem em valores maiores que os juros simples ao decorrer do tempo.

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Fórmula do juros composto

A fórmula dos juros compostos é formada por quatro variáveis, são elas: capital, juros, taxa de juros, tempo e montante.

M: montante

C: capital

i: taxa de juros

t: tempo

• Capital (C): é o primeiro valor da negociação; é o valor que pegamos emprestado em um caso de financiamento ou o valor que foi investido primeiro; é o valor inicial que serve como referência para calcular os juros.

• Montante (M): é o valor final da minha transação. Após um tempo, ao valor do meu capital será adicionado o que chamamos de juros. O valor final, ou seja, a soma do capital com os juros, gera o que conhecemos como montante: M = C + J.
• Juros (J): muitas vezes confundido com a taxa de juros, os juros são o valor de correção do capital, ou seja, são o valor adquirido a mais, calculado em cima do capital ao decorrer do tempo. Em um empréstimo, por exemplo, juros são o valor pago a mais ao final do prazo; em um investimento, são o rendimento adquirido em cima do capital. Eles são calculados pela diferença entre o montante e o capital, ou seja: J = M – C.
• Tempo (t): é o prazo em que o capital ficará na transação. Ele pode ser dado em qualquer unidade de tempo, ou seja, em dias, meses, bimestres, semestres, anual. É importante que o tempo e a taxa de juros estejam com a mesma unidade de medida para realizar-se o cálculo.
• Taxa de juros (i): é a porcentagem cobrada a cada intervalo de tempo.

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Como calcular os juros compostos

Para calcular os juros compostos, ou qualquer outra variável envolvendo-os, basta substituir os valores conhecidos na fórmula, para isso, é necessário o domínio da resolução de equações.

Exemplo 1:

Um capital de R$ 4000 foi aplicado a juros compostos, com taxa de 10% a.a. Qual será o montante e os juros gerados após 3 anos?

Dados:

C = 4000

t = 3 anos

i = 10% a.a.

Vamos representar 10% em sua forma decimal = 0,1.

Temos que:

M = C (1 + i) t

M = 4.000 (1 + 0,1)³

Após a substituição, vamos resolver a equação:

M = 4000 (1,1)³

M = 4000 · 1331

M = 5324

Para encontrar os juros, basta calcular a diferença J = M – C:

J = M – C = 5324 – 4000 = 1324

Então, temos que:

M = R$ 5324

J = R$ 1324

Exemplo 2:

Durante quanto tempo um capital deve ser investido a uma taxa de 5% a.a para que ele dobre o seu valor? (Use log 1,05 = 0,2 e log 2 = 0,3)

Se o montante será o dobro do capital, então, temos que:

M = 2C

1 ano e meio, ou seja, 1 ano e 6 meses.

Diferença entre juros simples e juros compostos

A diferença entre os juros simples e os juros compostos inicia-se ao analisarmos matematicamente o comportamento de cada um deles. Acontece que as fórmulas de cálculo são diferentes, os juros simples são calculados pela fórmula:

J = C · i · t

Nesse caso, ao trabalhar com juros simples, o valor somado a cada ciclo é sempre o mesmo, por exemplo:

Se em um investimento de R$ 1000 os juros forem de 10% ao mês, então, a cada mês, no regime de juros simples, serão acrescentados R$ 100, assim, no decorrer de 5 meses, haveria um aumento de R$ 500, então, o montante seria de R$ 1500.

Nos juros compostos, o comportamento é bem diferente. Para valores e intervalos de tempo maiores, a diferença torna-se muito grande. Utilizando-se do mesmo valor, R$ 1000, a juros de 10% ao mês, no primeiro mês, o acréscimo seria o mesmo que nos juros simples, ou seja, R$ 100, porém, a partir do segundo mês, esses juros serão calculados em cima do valor atual e não do inicial. Como agora temos R$ 1100, os juros serão de 10% desse valor, R$ 110, resultando em R$ 1210 no segundo mês.

No terceiro mês, calcula-se mais uma vez 10% do valor atual (R$ 1210), que é igual a R$ 121, gerando um total de R$ 1232, repetindo-se esse processo se esse capital ficar o mesmo tempo que o outro, ou seja, 5 meses. Se for o caso, ele vai gerar um montante de R$ 1610,51. A diferença nesse prazo foi de R$ 110,51 entre os juros simples e os juros compostos, mas, ao realizar esse mesmo cálculo para valores e tempo maiores (por exemplo, em um financiamento de imóvel durante 30 anos), a diferença é muito grande. 

Note que os juros compostos têm o tempo como expoente, comportando-se como uma função exponencial, o que não acontece nos juros simples, que se comportam de forma linear, ou seja, o gráfico é uma reta.

Acesse também: Funções no Enem: como esse tema é cobrado?

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Os juros adquiridos ao investir-se um capital de R$ 20.000 a juros compostos, de 3% a.a., durante um período de 24 meses, serão de:

A) R$ 22.315

B) R$ 21.218

C) R$ 1218

D) R$ 2414

E) R$ 1310

Resolução

Alternativa C

Dados: C = 20.000

i = 3% a.a.

t = 24 meses = 2 anos (note que a taxa está em anos)

M = C (1 + i)t

M = 20.000 (1 + 0,03)2

M = 20.000 (1,03)²

M = 20.000 · 1,0609

M = 21.218

J = M – C = 21.218 – 20.000 = 1218

Questão 2 – (Fauel 2019) Um pequeno investidor decide realizar uma aplicação no Tesouro Direto, um fundo de investimento muito pouco arriscado, porém que rende mais que a poupança tradicional. Considerando-se que tal investimento rende aproximadamente 7% ao ano no regime de juros composto, quanto uma aplicação de R$ 100 renderia ao final de dois anos?

A) R$ 13,85

B) R$ 14,00

C) R$ 14,49

D) R$ 15,23

Resolução

Alternativa C

C = 100

t = 2 anos

i = 7%

M = C (1 + i)t

M = 100 (1 + 0,07)²

M = 100 (1,07)²

M = 100*1,1449

M = 114,49

Calculando os juros, temos que:

J = M – C  

J = 114,49 – 100 = 14,49

Rosimar Gouveia

Professora de Matemática e Física

Os juros compostos representam a correção aplicada a uma quantia que foi emprestada ou aplicada. Esse tipo de correção também é chamada de juros sobre juros.

Aproveite as questões abaixo para verificar seus conhecimentos sobre este conteúdo.

Questão 1

(UERJ/2017) Um capital de C reais foi investido a juros compostos de 10% ao mês e gerou, em três meses, um montante de R$ 53240,00. Calcule o valor, em reais, do capital inicial C.

(UNESP/2005) Mário tomou um empréstimo de R$ 8.000,00 a juros de 5% ao mês. Dois meses depois, Mário pagou R$ 5.000,00 do empréstimo e, um mês após esse pagamento, liquidou todo o seu débito. O valor do último pagamento foi de:

a) R$ 3.015,00. b) R$ 3.820,00. c) R$ 4.011,00. d) R$ 5.011,00.

e) R$ 5.250,00.

Questão 3

(PUC-RJ/2000) Um banco pratica sobre o seu serviço de cheque especial a taxa de juros de 11% ao mês. Para cada 100 reais de cheque especial, o banco cobra 111 no primeiro mês, 123,21 no segundo, e assim por diante. Sobre um montante de 100 reais, ao final de um ano o banco irá cobrar aproximadamente:

a) 150 reais. b) 200 reais c) 250 reais. d) 300 reais.

e) 350 reais.

Veja também: Juros Compostos

Questão 4

(Fuvest/2018) Maria quer comprar uma TV que está sendo vendida por R$ 1.500,00 à vista ou em 3 parcelas mensais sem juros de R$ 500,00. O dinheiro que Maria reservou para essa compra não é suficiente para pagar à vista, mas descobriu que o banco oferece uma aplicação financeira que rende 1% ao mês. Após fazer os cálculos, Maria concluiu que, se pagar a primeira parcela e, no mesmo dia, aplicar a quantia restante, conseguirá pagar as duas parcelas que faltam sem ter que colocar nem tirar um centavo sequer. Quanto Maria reservou para essa compra, em reais?

a) 1.450,20 b) 1.480,20 c) 1.485,20 d) 1.495,20

e) 1.490,20

Questão 5

(Enem/2018) Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação. Neste caso, paga-se o valor presente, que é o valor naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente P submetido a juros compostos com taxa i, por um período de tempo n, produz um valor futuro V determinado pela fórmula

Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$ 820,00, a uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela.

Utilize 0,2877 como aproximação para

A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30ª é a

a) 56ª b) 55ª c) 52ª d) 51ª

e) 45ª

Questão 6

(Enem/2011) Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior retorno financeiro em uma aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos: poupança e CDB (certificado de depósito bancário). As informações obtidas estão resumidas no quadro:

Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é

a) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80. b) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56. c) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38. d) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21.

e) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87.

Veja também:

• Exercícios de juros simples
• Matemática financeira
• Como calcular porcentagem