O teorema de Pitágoras é uma fórmula que nos permite relacionar as medidas dos lados de um triângulo retângulo. Nessa figura geométrica, os lados perpendiculares são conhecidos como catetos, e o lado oposto ao ângulo de 90º é conhecido como hipotenusa.
Esse teorema mostra que a soma do quadrado dos catetos é sempre igual ao quadrado da hipotenusa. Ele é muito importante para o estudo da Matemática, auxiliando no desenvolvimento da geometria. Foi por meio dele que os matemáticos buscaram compreender melhor os números irracionais.
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Qual é a fórmula do teorema de Pitágoras?
Dado um triângulo retângulo, os lados perpendiculares são conhecidos como catetos, e o maior lado, que sempre está de forma oposta ao ângulo de reto, é conhecido como hipotenusa.
a → hipotenusa
b e c → catetos
O teorema de Pitágoras relaciona a medida dos catetos e da hipotenusa do triângulo por meio da seguinte expressão:
A partir dessa relação, é possível encontrar um lado do triângulo retângulo conhecendo os outros dois lados.
Exemplo 1
Calcule o valor da hipotenusa x no triângulo retângulo a seguir:
Resolução
Primeiro vamos identificar os catetos e a hipotenusa do triângulo. Note que x é a hipotenusa e que os catetos medem 7 cm e 24 cm. Então, temos que:
a² = b² + c² x² = 7² + 24² x² = 49 + 576 x² = 625 x = √625
x = 25 cm
Exemplo 2
Calcule o valor do cateto b no triângulo a seguir:
Resolução
Primeiro vamos identificar a medida dos catetos e da hipotenusa.
-
Hipotenusa: 10 cm.
-
Catetos: b e 8 cm.
Então, aplicando o teorema de Pitágoras, temos que:
10² = b² + 8² 100 = b² + 64 100 – 64 = b² 36 = b² b² = 36 b = √36
b = 6 cm
A demonstração de um teorema pode ser feita de várias formas, por meio de ferramentas diferentes da Matemática. Vejamos a demonstração a seguir, que utiliza semelhança de triângulos.
Dado o triângulo ABC, queremos demonstrar que a² + b² = c². Assim, considere o triângulo ABC:
a → hipotenusa b e c → catetos h → altura m → projeção de b sobre a hipotenusa
n → projeção de c sobre a hipotenusa
Podemos dividir a imagem em três triângulos semelhantes:
Comparando os triângulos ΔABC e ΔDAB, por serem semelhantes, temos que:
Por outro lado, ao comparar os triângulos ΔABC e ΔDAC, temos que:
Agora vamos somar as duas equações:
a · m + a · n = c² + b²
a·( m+n) = c² + b²
Porém, m + n = a, logo:
a · a = c² + b²
a² = c² + b²
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Teorema de Pitágoras e os números irracionais
Os números irracionais só foram descobertos por meio da aplicação do teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo de catetos medindo 1. Ao aplicar o teorema nesse triângulo, o valor encontrado para a hipotenusa foi √2.
Com esse resultado, os matemáticos buscaram encontrar o valor da √2 e perceberam a existência das dízimas não periódicas, o que possibilitou a criação de um novo conjunto numérico, já que, até o momento, o conjunto dos números racionais contemplava somente os números que podem ser representados como frações.
Na tentativa de provar que √2 poderia ser escrito como uma fração, percebeu-se o contrário, ou seja, que existem números que não podem ser representados como uma fração, que são aqueles cuja representação decimal é uma dízima periódica, como uma raiz quadrada não exata. Esses números foram classificados, então, como irracionais.
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Exercícios resolvidos
1) (IDHTEC) O teorema de Pitágoras tem sido utilizado até hoje e com muita aplicabilidade a diversas situações cotidianas. Por exemplo, se uma escada de 5 m está encostada no topo em uma parede de 4 m, dá para descobrir que o pé dessa escada está afastado 3 m da parede. Imagine agora que essa escada possua 13 m e que o pé dela esteja afastado 5 m da parede. Qual a altura do topo da parede onde a escada está encostada?
a) 12 m
b) 11 m
c) 10 m
d) 9 m
e) 8 m
Resolução:
Alternativa a.
Ao encostar a escada na parede, ela forma um triângulo retângulo conforme a imagem a seguir:
Então, aplicando o teorema de Pitágoras, temos que:
-
13 m → medida da hipotenusa;
-
5 m e x → medidas dos catetos.
13² = 5² + x² 169 = 25 + x² 169 – 25 = x² 144 = x² x=√144
x=12
2) (IFG 2019) Considere que o tamanho de uma televisão, dado em polegadas, corresponde ao comprimento da sua diagonal e que, no caso de televisores de tamanho normal, a largura e a altura seguem, ordenadamente, a relação 4:3. Observe a figura abaixo e considere 1 polegada = 2,5 cm.
Com relação a uma televisão plana de 40 polegadas, é correto afirmar que sua largura e sua altura são, respectivamente:
a) 60 cm e 45 cm.
b) 80 cm e 60 cm.
c) 64 cm e 48 cm.
d) 68 cm e 51 cm.
Resolução:
Se a proporção dos lados é 4:3, então a largura mede 4x e a altura mede 3x. Note que 40” é a medida da diagonal da televisão e que a diagonal divide a televisão em dois triângulos retângulos, logo podemos aplicar o teorema de Pitágoras.
(4x)² + (3x)² = 40² 16x² + 9x² = 1600 25x² = 1600 x² = 1600 : 25 x² = 64 x = √64
x= 8
Como os lados medem 4x e 3x, então:
4x → 4 · 8 = 32”
3x → 3 · 8 = 24”
Como 1 polegada corresponde a 2,5 cm, logo:
32 · 2,5 = 80 centímetros
24 · 2,5 = 60 centímetros
O teorema de Pitágoras relaciona as medidas dos lados de um triângulo retângulo da seguinte maneira:
Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
O teorema de Pitágoras é muito importante para a Matemática, tendo influenciado outros grandes resultados matemáticos. Veja também uma das demonstrações do teorema e parte da biografia de seu criador.
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Fórmula do teorema de Pitágoras
Para aplicação do teorema de Pitágoras, é necessário compreender as nomenclaturas dos lados de um triângulo retângulo. O maior lado do triângulo fica sempre oposto ao maior ângulo, que é o ângulo de 90°. Esse lado recebe o nome de hipotenusa e será representado aqui pela letra a.
Os demais lados do triângulo são chamados de catetos e serão aqui representados pelas letras b e c.
O teorema de Pitágoras afirma que é válida a relação a seguir:
Assim, podemos dizer que o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
Demonstração do teorema de Pitágoras
Vamos ver a seguir uma das maneiras de mostrar a veracidade do teorema de Pitágoras. Para isso, considere um quadrado ABCD com lado medindo (b + c), como mostra a figura:
O primeiro passo consiste em determinar a área do quadrado ABCD.
AABCD = (b + c)2 = b2 + 2bc + c2
O segundo passo consiste em determinar a área do quadrado EFGH.
AEFGH = a2
Podemos perceber que existem quatro triângulos congruentes:
O terceiro passo é calcular a área desses triângulos:
ATriângulo = b·c
2
O quarto passo e último requer o cálculo da área do quadrado EFGH utilizando a área do quadrado ABCD. Veja que, se considerarmos a área do quadrado ABCD e retirarmos a área dos triângulos, que são as mesmas, sobra somente o quadrado EFGH, então:
AEFGH = AABCD – 4 · ATriângulo
Substituindo os valores encontrados no primeiro, segundo e terceiro passo, vamos obter:
a2 = b2 + 2bc + c2 – 4 · bc
2
a2 = b2 + 2bc + c2 – 2bc
a2 = b2 + c2
Mapa Mental: Teorema de Pitágoras
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Triângulo pitagórico
Um triângulo retângulo qualquer é chamado de triângulo pitagórico caso a medida de seus lados satisfaça o teorema de Pitágoras.
Exemplos:
O triângulo acima é pitagórico, pois:
52 = 32 + 42
Já o triângulo a seguir não é pitagórico. Veja
262 ≠ 242 +72
Leia também: Aplicações das leis trigonométricas de um triângulo: seno e cosseno
Teorema de Pitágoras e os números irracionais
O teorema de Pitágoras trouxe consigo uma nova descoberta. Ao construir um triângulo retângulo em que os catetos são iguais a 1, os matemáticos, na época, depararam-se com um grande desafio, pois, ao encontrar o valor da hipotenusa, um número desconhecido apareceu. Veja:
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos que:
O número encontrado pelos matemáticos da época hoje é chamado de irracional.
Leia também: Relação entre os lados e os ângulos de um triângulo
Exercícios resolvidos
Questão 1. Determine o valor de x no triângulo a seguir.
Resolução:
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos o seguinte:
132 = 122 + x2
Resolvendo as potências e isolando a incógnita x, temos:
x2 = 25
x =5
Questão 2. Determine a medida c dos catetos de um triângulo retângulo isósceles em que a hipotenusa mede 30 cm.
Resolução:
Sabemos que o triângulo isósceles possui dois lados iguais. Então:
Aplicando o Teorema de Pitágoras, vamos ter que:
202 = c2 + c2
2c2 = 400
c2 = 200
Assim, as medidas dos catetos do triângulo medem, respectivamente:
*Mapa Mental por Luiz Paulo Silva
Graduado em Matemática
Por Robson Luiz
Professor de Matemática