- 1. MONÓMIOS E POLINÓMIOS
- 2. Problema: Observa as figuras. 6 x-9 6 x–4 Sabendo que as figuras são equivalentes, determina as dimensões do rectângulo. Resolução: Se as figuras são equivalentes significa que têm a mesma área, logo podemos formar a seguinte equação: x 9x 4 36 No 1.º membro da equação surge um produto que ainda não sabem efetuar. Portanto, torna-se necessário estudar novas expressões e suas operações que nos permitam dar resposta a alguns problemas.
- 3. POLINÓMIOS 1 2a 3 x6 2 2x2 3 7x 4 y 4y 3 2 Exemplos de várias expressões algébricas. Uma expressão algébrica é constituída por um ou mais termos.
- 4. No polinómio y 4y 3 2 , às parcelas, y 2, 4 y e 3 chamam-se termos ou monómios. Um polinómio é uma soma algébrica de pelo menos dois monómios.. Exemplos: y2 4 y Binómio, porque é constituído por dois monómios. 4 x 2 4 x 30 Trinómios cada expressão é constituído por 3 monómios 7 y 2 4 xy 7 xy
- 5. Curiosidade: MONÓMIOS Monómio é uma palavra de origem grega, derivada de monos, que significa único. Monómio significa único termo. Um monómio é uma expressão que pode ser constituída por um número ou por um produto de números em que alguns podem ser representados por letras. Exemplos: 23x M3 y x -xy 4 6 NOTA y 1 1 y y 4 4 4 Nota: Num monómio não aparecem adições nem subtracções.
- 6. Constituição de um monómio Exemplo: -7 y3 Neste monómio podemos distinguir uma parte numérica ou coeficiente (-7) e uma parte literal (y3). Exercício: Completa a tabela seguinte: Monómio Coeficiente Parte literal x 1 x 10 __ 10 z 1 z 6 6 5 yz yz 5 89xyz 89 xyz
- 7. Como escrever corretamente um monómio? Exemplo I a x x A área do maior rectângulo da figura ao lado pode ser dada pela expressão: 2 x a mas deve escrever-se: 2ax Exemplo II Observa a figura: x 7x 2x = 14x2 Qual a sua área? x
- 8. O produto de dois monómios é outro monómio cujo coeficiente é o produto dos coeficientes e cuja parte literal é o produto das partes literais. Convencionou-se que para escrever um produto de vários fatores (um monómio) escreve-se primeiro os números, e, em seguida, as letras por ordem alfabética. Por exemplo: Monómio Escrita correta x 5 y 5 xy 5 b a 3 15ab 3 q 2 p 6 pq 3 a 2 b 2 a b 6a3b 2
- 9. Grau de um monómio 6 grau 0 6a grau 1 2 6a grau 2 6a 3 grau 3 3 6a b grau 4 5 2 6a b grau 7 Então, como se determina o grau de um monómio? O grau de um monómio é igual à soma dos expoentes das letras que nele figuram (à soma dos expoentes da parte literal).
- 10. Exercício: Completa a tabela: Monómios 8 7 xy 23x 2 y 3 7 x4 y 3 Grau 2 5 0 5
- 11. Consolidação dos conhecimentos Exercícios da página 41 (volume 2) TPC- terminar os exercícios não realizados na aula e tarefa 1 da página 38.
- 12. OPERAÇÕES COM POLINÓMIOS
- 13. Adição algébrica de polinómios Tal como na aritmética, também é possível simplificar expressões algébricas quando estas têm termos semelhantes. Aritmética Álgebra 3 + 3 + 3 + 3 = 43 a + a + a + a =4a = 4a 54 + 64 = 114 5a + 6a = 11a 37 + 27 + 47 = 97 3a + 2a + 4a = 9a Para se obter a soma polinómios basta adicionar os termos semelhantes.
- 14. Exemplos: Processo: 1. O polinómio Algoritmo 6 x 4 7 x 9 4 x 6 x 4 3x 9 Polinómio reduzido porque não tem termos semelhantes 2. Transforma num polinómio reduzido os seguintes polinómios: 6 x 7 y 9 x 4 y 12 4 4 6 y3 2 y 5 7 y 3 y 2 3 y 10 15x 3 y 12 4 Simplificar um polinómio é reduzir os termos semelhantes
- 15. Consolidação dos conhecimentos Exercícios da página 43
- 16. Produto de um monómio por um polinómio
- 17. a c A área é dada pela expressão: b ab bc ba c b a b c ab bc Como escrever correctamente, sem utilizar parênteses, área do maior rectângulo da figura? b c b b2 bc b 2 bc Repara: b b c b b b c b 2 bc
- 18. Para multiplicar um monómio por um polinómio, aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, isto é, multiplica-se o monómio por cada um dos termos do polinómio. 2 3x 3 x 1 6x 6 2 x 2
- 19. Monómios semelhantes Considera o seguinte polinómio: 6x 7 x 9 4x 4 este polinómio é constituído por 4 monómios 6x 4 ,7 x , 4 x e 9. Os monómios 7x e 4x são semelhantes. Mais exemplos: 4 y 2 e 56 y 2 887xy z 2 e 4xy z 2 4y e 19 y Conseguirás chegar à definição de monómios semelhantes? Monómios semelhantes - são monómios que têm a mesma parte literal. Os monómios 4x e 6x 4 não são semelhantes porque não têm a mesma parte literal.
- 20. Monómios simétricos - são monómios com a mesma parte literal e coeficientes simétricos. 19y e 19 y Grau de um polinómio Consideremos o polinómios e o respetivo grau. 6 x 4 5x 2 1 O grau deste polinómio é 4 x y x 9 5 5 Grau 6 x3 1 Grau 3 Definição: Chama-se grau de um polinómio é o maior dos graus dos monómios que o constituem. x 43 x 3 grau 3 grau 1 POLINÓMIO DE GRAU 3
- 21. Multiplicação de polinómios
- 22. A figura representa um rectângulo. x+8 x+2 A expressão que representa a sua área é: x 8x 2 Multiplicação de dois polinómios Para multiplicar dois polinómios também se aplica a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.
- 23. x 8x 2 1.º processo: 2.º processo: x 8x 2 xx 2 8x 2 x 2 2 x 8 x 16 x 2 10 x 16 x 8x 2 x 2x 8x 16 2 x 10 x 16 2 x 10 x 16 2 Polinómio reduzido Para multiplicar polinómios, multiplica-se cada termo de um, por todos os termos do outro, obtendo-se assim um novo polinómio. Expressão que representa a área do rectângulo dado. 3.º processo: Algoritmo
- 24. Exercício: Transforma num polinómio reduzido: 3x 2 x 5 Se tivermos dois polínómios de graus 2 e 4 então a multiplicação desses polínómios dará um polinómio de grau 6 1 y 2 x 6 2 2 x 2 3x 4 10 x3 2 2 1 1 y 10 0,4 y y 2 3 3 2 1 x x 2 x 1 4 2 x 53x 1 2x2 3
- 25. OBSERVAÇÃO: 3x 2 2 x 5 3x 15x 2 x 10 4 6 2 4 Polinómio de grau 2 Polinómio de grau 4 Polinómio de grau 6 A multiplicação de um polinómio de grau 2 por um polinómio de grau 4 é um polinómio de grau 6. grau P Q grau P grau Q 1 y 2 x 6 2
- 26. Consolidação dos conhecimentos Exercícios da página 47 e 49 TPC- terminar os exercícios não realizados na aula
As operações de adição e subtração de polinômios requerem a utilização de jogos de sinais, redução de termos semelhantes e o reconhecimento do grau do polinômio. A compreensão dessas operações é fundamental para o aprofundamento dos estudos futuros sobre polinômios. Vejamos como são realizadas as operações de adição e subtração com exemplos.
Adição de Polinômios.
Exemplo 1. Dados os polinômios P(x) = 8x5 + 4x4 + 7x3 – 12x2 – 3x – 9 e Q(x) = x5 + 2x4 – 2x3 + 8x2 – 6x + 12. Calcule P(x) + Q(x).
Solução:P(x) + Q(x) = (8x5 + 4x4 + 7x3 – 12x2 – 3x – 9) + ( x5 + 2x4 – 2x3 + 8x2 – 6x + 12)
P(x) + Q(x) = (8x5 + x5 ) + ( 4x4 + 2x4 ) + ( 7x3 – 2x3 ) + (– 12x2 + 8x2 ) + (– 3x – 6x) + ( – 9 + 12)
P(x) + Q(x) = 9x5 + 6x4 + 5x3 – 4x2 – 9x + 3
Exemplo 2. Considere os polinômios:
A(x) = – 9x3 + 12x2 – 5x + 7
B(x) = 8x2 + x – 9
C(x) = 7x4 + x3 – 8x2 + 4x + 2 Calcule A(x) + B(x) + C(x). Solução:
A(x) + B(x) + C(x) = (– 9x3 + 12x2 – 5x + 7) + (8x2 + x – 9) + (7x4 + x3 – 8x2 + 4x + 2)
A(x) + B(x) + C(x) = 7x4 + (– 9x3 + x3) + (12x2 + 8x2 – 8x2) + (– 5x + x + 4x) + (7 – 9 + 2)
A(x) + B(x) + C(x) = 7x4 – 8x3 + 12x2 Para a operação de adição valem as seguintes propriedades: a) Propriedade comutativa P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x) b) Propriedade associativa [P(x) + Q(x)] + A(x) = P(x) + [Q(x) + A(x)] c) Elemento neutro P(x) + Q(x) = P(x) Basta tomar Q(x) = 0. d) Elemento oposto P(x) + Q(x) = 0 Basta tomar Q(x) = – P(x)
Subtração de Polinômios.
A subtração é feita de maneira análoga à adição, mas deve-se ficar muito atento aos jogos de sinais. Vejamos alguns exemplos.Exemplo 3. Considere os polinômios:
P(x) = 10x6 + 7x5 – 9x4 – 6x3 + 13x2 – 4x + 11
Q(x) = – 3x6 + 4x5 – 3x4 +2x3 + 12x2 + 3x + 15 Efetue P(x) – Q(x). Solução:
P(x) – Q(x) = (10x6 + 7x5 – 9x4 – 6x3 + 13x2 – 4x + 11) – (– 3x6 + 4x5 – 3x4 +2x3 + 12x2 + 3x + 15)
P(x) – Q(x) = 10x6 + 7x5 – 9x4 – 6x3 + 13x2 – 4x + 11 + 3x6 – 4x5 + 3x4 – 2x3 – 12x2 – 3x – 15
P(x) – Q(x) = 13x6 + 3x5 – 6x4 – 8x3 + x2 – 7x – 4
Exemplo 4. Dados os polinômios:
A(x) = x3 + 2x2 – 3x + 7
B(x) = 5x3 + 3x2 – 2x + 1
C(x) = 6x3 + 5x2 – 5x + 8 Calcule A(x) + B(x) – C(x). Solução:
A(x) + B(x) – C(x) = (x3 + 2x2 – 3x + 7) + (5x3 + 3x2 – 2x + 1) – (6x3 + 5x2 – 5x + 8)
A(x) + B(x) – C(x) = x3 + 2x2 – 3x + 7 + 5x3 + 3x2 – 2x + 1 – 6x3 – 5x2 + 5x – 8
A(x) + B(x) – C(x) = (x3 + 5x3 – 6x3) + (2x2 + 3x2 – 5x2) + (– 3x – 2x + 5x) + (7 + 1 – 8)
A(x) + B(x) – C(x) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Aproveite para conferir nossas videoaulas sobre o assunto:
Monômios são expressões algébricas que possuem multiplicações entre números e incógnitas (letras que representam algum número desconhecido). Assim, uma expressão não é monômio quando apresenta pelo menos uma adição ou subtração ou ainda quando possui alguma divisão por incógnita. Lembre-se: nos monômios, as incógnitas sempre ficam no numerador.
Assim, não podem ser consideradas monômios as expressões seguintes:
2x + 2y
2xy
4a
Os resultados de algumas adições algébricas ou frações que possuam incógnita podem tornar-se monômios após o processo de simplificação.
Monômios semelhantes
Todo monômio é dividido em duas partes: parte literal e coeficiente. A primeira diz respeito a todas as incógnitas que fazem parte desse monômio, incluindo seus expoentes. A segunda diz respeito ao número que está multiplicando a parte literal. Portanto, tendo o monômio abaixo como exemplo, separaremos sua parte literal e coeficiente.
1xy3a4
4
A parte literal desse monômio é xy3a4 e o coeficiente é 1/4.
Dizemos que dois monômios são semelhantes quando possuem parte literal igual, até mesmo os expoentes. Observe abaixo um monômio semelhante ao anterior:
7xy3a4
Observe que ambos diferem apenas no coeficiente. Agora, olhe um exemplo de monômio que parece semelhante a esses dois últimos, mas não é:
3xy3a3
Não é semelhante porque o expoente da incógnita a é diferente.
Adição e subtração algébrica de monômios
Dois monômios só podem ser somados ou subtraídos algebricamente se forem semelhantes, ou seja, se suas partes literais forem iguais.
A adição desses dois monômios deve ser feita da seguinte maneira: some os coeficientes e repita a parte literal. Por exemplo:
4xy + 16xy = 20xy
45kb2c – 15kb2c = 30kb2c
Para a adição de monômios, valem todas as propriedades da adição de números reais: comutativa, associativa, elemento neutro e elemento inverso.
Multiplicação de monômios
Diferentemente da adição, deve ser feita tanto com a parte literal como com o coeficiente. Para realizá-la, proceda da seguinte maneira:
1 – multiplique os coeficientes;
2 – procure as incógnitas que aparecem nos dois fatores que estão sendo multiplicados, some seus expoentes e coloque-as no resultado;
3 – as incógnitas que aparecem em apenas um fator devem ser repetidas no resultado.
Por exemplo:
4xy2k3b·2xy3k6
4·2x1 + 1y2 + 3k3 + 6b
8x2y5k9b
Observe que o expoente da incógnita b foi omitido. Sempre que isso acontecer, esse expoente é 1.
Divisão de monômios
A divisão de monômios deve ser feita de maneira parecida com a multiplicação. Divida os coeficientes (ou os escreva como uma fração) e subtraia os expoentes das incógnitas que se repetem em ambos os fatores divisivos. Por exemplo, a divisão 4xy6k3b:2xy3k6 será escrita em forma de fração para facilitar a visualização.
4xy6k3b
2xy3k6
2x1 – 1y6 – 3k3 – 6b
2x0y6k– 6b
2y6k– 6b
Esse resultado também pode ser escrito na forma abaixo por meio das propriedades de potência (que podem ser encontradas em duas partes: parte 1 e parte 2)
2y6b
k – 6
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática
Videoaula relacionada: