Dada as funções exponenciais abaixo qual delas é crescente

Função exponencial é a função que possui a variável em um expoente na sua lei de formação. A lei de formação de uma função exponencial é sempre f(x) = ax, em que x é a variável e a é a base.

Esse tipo de função é utilizado para descrever situações que crescem ou decrescem de forma exponencial. Um exemplo comum está no mercado financeiro, em situações envolvendo juros compostos, por exemplo, ou na análise da reprodução de certas culturas de bactérias, determinadas reações químicas etc.

A função exponencial pode ser crescente ou descrente, dependendo do valor de sua base a. Se a > 1(base maior que 1), então a função é crescente; se 0 < a <1 (base entre 0 e 1), ela é decrescente. A função exponencial é inversa à função logarítmica.

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Resumo

• Funções exponenciais são funções em que a lei de formação é f(x) = ax.
  • a → é um número real positivo diferente de 1 e é a base da potência.
  • x → variável da função.
• Uma função exponencial pode ser crescente ou decrescente.
  • Se a > 1 → f(x) é crescente.
  • Se 0 < a < 1 → f(x) é decrescente.
• A função exponencial é inversa da função logarítmica.

Na busca de compreender melhor a relação existente entre as grandezas, utilizamos as funções. Existem vários tipos de função, sendo uma delas a função exponencial, que é bastante recorrente.

A função exponencial é uma função com domínio e contradomínio no conjunto dos números reais e em que, na sua lei de formação, existe uma variável no expoente. Descrevemos uma função exponencial como f: R → R, com a lei de formação f(x) = ax. Em sua lei de formação, existem restrições para o valor da base a: ela sempre será um número real positivo diferente de 1.

Exemplos:

Valor numérico de uma função exponencial

Para encontrar o valor numérico de uma função exponencial, basta substituir, no lugar da variável, o valor desejado.

Exemplo:

Dada a função com lei de formação f(x) = 3X:

a) Calcule f(2).

f(2) = 32

f(2) = 9

b) Calcule f( – 2):

c) Calcule f(0):

f(0) = 30

f(0) = 1

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Tipos de função exponencial

Existem duas possibilidades para a função exponencial: ela pode ser crescente ou decrescente. Ser crescente significa que, à medida que o valor do x aumenta, o valor de f(x) também aumenta; ser decrescente significa que, à medida que o valor do x diminui, o valor de f(x) também diminui.

Para saber se uma função exponencial f(x) = ax é crescente ou decrescente, é necessário analisar o valor da sua base a.

Se a > 1, então f(x) é crescente.

Exemplos:

f(x) = 2x

f(x) = 1,5x

Se 0 < a < 1, então f(x) é decrescente.

Exemplos:

Gráfico da função exponencial

Sabendo que a base de uma função exponencial é sempre positiva, então o gráfico dessa função  possui como imagem somente valores positivos, ficando sempre acima do eixo x. Vejamos alguns exemplos a seguir:

Exemplo 1:

→ F(x) = 2x

Note que a = 2, logo essa função exponencial é crescente. Vejamos o gráfico dela a seguir:

Perceba que, à medida que o valor de x aumenta, o valor de y também aumenta no gráfico da função.

Exemplo 2:

Sabemos que 1 dividido por 2 é igual a 0,5, então, nesse caso, a base é um número entre 0 e 1, o que faz com que essa função exponencial seja decrescente. Vejamos a representação gráfica dessa função:

Note que o gráfico é decrescente, pois, quanto o valor de x, menor é o valor de y.

Propriedades da função exponencial

• 1ª propriedade: em uma função exponencial do tipo f(x) = ax, a imagem de x = 0 é sempre 1. Essa propriedade é consequência da propriedade da potenciação de que todo número elevado a zero é igual a um.

f(0) =a0 = 1

• 2ª propriedade: a função exponencial pode ser crescente ou decrescente, mas tem comportamento exclusivamente crescente quando a sua base a é maior que 1 e comportamento exclusivamente decrescente quando a sua base a é um número entre 0 e 1.
• 3ª propriedade: a função exponencial é injetora. Dados quaisquer dois números reais distintos, ou seja, x1 ≠ x2, teremos f(x1) ≠ f(x2).
• 4ª propriedade: o gráfico da função exponencial nunca corta o eixo x. Como a base a é sempre um número positivo, por menor que seja o valor de x, ela nunca será igual a 0, o que faz com que a imagem da função seja sempre um número real positivo não nulo.

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Função exponencial e função logarítmica

A função exponencial é uma função inversível. A função inversa de uma função exponencial é sempre uma função logarítmica. Sendo assim, se traçarmos o gráfico de uma função exponencial de base a e de uma função logarítmica de base a no mesmo plano cartesiano, o gráfico dessas funções será simétrico.

Exercícios resolvidos sobre função exponencial

Questão 1

(GS Assessoria e Concursos) A equação exponencial C = 2 (x + 1) representa a progressão dos lucros acumulados de uma empresa, em milhões. Sendo x a quantidade de meses acumulados, qual será o lucro em um trimestre?

A) O lucro será de 26 milhões.

B) O lucro será de 8 milhões.

C) O lucro será de 17 milhões.

D) O lucro será de 27 milhões.

E) O lucro será de 16 milhões.

Resolução:

Alternativa E.

Sabemos que um trimestre são 3 meses, ou seja, x = 3.

Substituindo na fórmula, temos que:

C = 2(3+1)

C = 24

C = 16 milhões

Questão 2

(Uneb-BA) A expressão P(t) = K · 20,05t fornece o número P de milhares de habitantes de uma cidade, em função do tempo t, em anos. Se em 1990 essa cidade tinha 300 000 habitantes, quantos habitantes, aproximadamente, espera-se que ela tenha no ano 2000?

A) 352 000

B) 401 000

C) 423 000

D) 439 000

E) 441 000

Resolução:

Alternativa C.

Sabemos que 2000 – 1990 = 10 anos. Calcularemos, então, o valor de P(10).

K é a população que a cidade tinha em 1990, que é de 300.000, logo:

P(t) = K · 20,05t

P(10) = 300.000 · 20,05·10

P(10) = 300.000 · 20,5

P(10) = 300.000 · 1,41

P(10) = 423.000

Rosimar Gouveia

Professora de Matemática e Física

Função Exponencial é aquela que a variável está no expoente e cuja base é sempre maior que zero e diferente de um.

Essas restrições são necessárias, pois 1 elevado a qualquer número resulta em 1. Assim, em vez de exponencial, estaríamos diante de uma função constante.

Além disso, a base não pode ser negativa, nem igual a zero, pois para alguns expoentes a função não estaria definida.

Por exemplo, a base igual a - 3 e o expoente igual a 1/2. Como no conjunto dos números reais não existe raiz quadrada de número negativo, não existiria imagem da função para esse valor.

Exemplos:

f(x) = 4x
f(x) = (0,1)x
f(x) = (⅔)x

Nos exemplos acima 4, 0,1 e ⅔ são as bases, enquanto x é o expoente.

Gráfico da função exponencial

O gráfico desta função passa pelo ponto (0,1), pois todo número elevado a zero é igual a 1. Além disso, a curva exponencial não toca no eixo x.

Na função exponencial a base é sempre maior que zero, portanto a função terá sempre imagem positiva. Assim sendo, não apresenta pontos nos quadrantes III e IV (imagem negativa).

Abaixo representamos o gráfico da função exponencial.

Função Crescente ou Decrescente

A função exponencial pode ser crescente ou decrescente.

Será crescente quando a base for maior que 1. Por exemplo, a função y = 2x é uma função crescente.

Para constatar que essa função é crescente, atribuímos valores para x no expoente da função e encontramos a sua imagem. Os valores encontrados estão na tabela abaixo.

Observando a tabela, notamos que quando aumentamos o valor de x, a sua imagem também aumenta. Abaixo, representamos o gráfico desta função.

Por sua vez, as funções cujas bases são valores maiores que zero e menores que 1, são decrescentes. Por exemplo, f(x) = (1/2)x é uma função decrescente.

Calculamos a imagem de alguns valores de x e o resultado encontra-se na tabela abaixo.

Notamos que para esta função, enquanto os valores de x aumentam, os valores das respectivas imagens diminuem. Desta forma, constatamos que a função f(x) = (1/2)x é uma função decrescente.

Com os valores encontrados na tabela, traçamos o gráfico dessa função. Note que quanto maior o x, mais perto do zero a curva exponencial fica.

Função Logarítmica

A inversa da função exponencial é a função logarítmica. A função logarítmica é definida como f(x) = logax, com a real positivo e a ≠ 1.

Sendo, o logaritmo de um número definido como o expoente ao qual se deve elevar a base a para obter o número x, ou seja, y = logax ⇔ ay = x.

Uma relação importante é que o gráfico de duas funções inversas são simétricos em relação a bissetriz dos quadrantes I e III.

Desta maneira, conhecendo o gráfico da função exponencial de mesma base, por simetria podemos construir o gráfico da função logarítmica.

No gráfico acima, observamos que enquanto a função exponencial cresce rapidamente, a função logarítmica cresce lentamente.

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Exercícios de Vestibular Resolvidos

1. (Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 . 2 -0,2t, em que v0 é uma constante real.

Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.

2. (PUCC-SP) Numa certa cidade, o número de habitantes, num raio de r km a partir do seu centro é dado por P(r) = k . 23r, em que k é constante e r > 0.

Se há 98 304 habitantes num raio de 5 km do centro, quantos habitantes há num raio de 3 km do centro?