Calcule o valor de p, sabendo que a expressão p + 3, 2p + 1 e 4p – 6, formam nessa ordem uma pa.

PROF. GILBERTO SANTOS JR PROGRESSÃO ARITMÉTICA-PA 1 . DEFINIÇÃO É toda sequência onde um termo qualquer (a partir do segundo) é a soma do termo anterior por um número fixo. Esse número fixo em Progressão Aritmética – PA é chamado de razão r. Exemplos: a) A sequência (2, 5, 8, 11). 5 = 2 + 3 8 = 5 + 3 11 = 8 + 3 A razão é r = 3. b)(0, 5, 10, 15, ...), r = 5. c)(3, 6, 9, 12, ...), r = 3. d)(12, 10, 8, 6, 4, 2, 0, ...), r = – 2. e)(2, 2, 2, 2, ...), r = 0. f)(0, 1, 2, 3, 4, ...), r = 1. De um modo geral, seja a PA: (a1, a2, a3, ...), onde a1 é o primeiro termo da PA, a2 é o se- gundo termo, assim por diante e r é a razão da PA, segue, a2 = a1 + r a3 = a2 + r a4 = a3 + r : : : : an = an-1 + r Exemplos: Seja a PA (2, 6, 10, ...). Encontre a ra- zão r e o 4º termo. Resolução: a2 = a1 + r ⟹ r = a2 – a1 ⟹ r = 6 – 2 = 4 a4 = a3 + r ⟹ a4 = 10 + 4 ⟹ a4 = 14 Observações: 1ª) Da definição de PA decorre que, se a1, a2 e a3 estão em PA, então: ⟹ – ⟹ – } ⟹ a2 – a1 = a3 – a2 ⟹ 2∙ 2 = a3 + a1 ⟹ a2 = Ou seja, de um modo geral, dado três termos consecutivos de uma PA, o termo do meio é media aritmética dos outros dois. 2ª) Em problemas que envolvem progressão aritmética quando é dito que “três números quaisquer estão em PA de razão r”, por eles serem desconhecidos, podem ser representados assim: (x, x + r, x + 2r) ou (x – r, x, x + r) EXERCÍCIOS PROPOSTOS Verifique se cada sequência é uma PA. Em ca-1) so afirmativo, dê o valor da razão r. a)(1, 5, 8, 11, 14) b)(6, 15, 24, 33) c)(15, 10, 5, 0, – 5) d)(2, 3, 5, 7, 80) e)( 2 ) f)(x, x + 1, x + 2, x + 3) g)(1, 1 + √ , 1 + 2√ , 1 + 3√ ) Escreva uma PA: 2) a) de cinco termos em que a1 = 7 e r = 4; b) de quatro termos em que a1 = – 12 e r = 3; c) de quatro termos, na qual a1 = x + 5 e r = x. Calcule x na PA (5, 9, x, 17, ...). 3) Calcule x na PA (300, x, 380, ...). 4) Numa PA o 8º termo vale 12 e o 10º vale 18. 5) Calcule o 9º termo e a razão dessa PA. Calcule o valor de p, sabendo que a expressão 6) p + 3, 2p + 1 e 4p – 6, formam nessa ordem uma PA. Uma fábrica produziu, em 1986, 6 530 unida-7) des de um determinado produto e, em 1988, pro- duziu 23 330 unidades do mesmo produto. Saben- do que a produção anual desse produto vem cres- cendo em progressão aritmética, pede-se: a) Quantas unidades do produto essa fábrica pro- duziu em 1987? b) Quantas unidades serão produzidas em 1990? Três números formam uma PA de razão 2. En-8) contre esses números, sabendo que o terceiro é igual à soma dos dois primeiros menos 4. Sabe-se que três números inteiros estão em 9) PA. Se esses números têm por soma 24 e por pro- duto 120, calcule os três números. 2 . CLASSIFICAÇÃO DE PA  Uma PA é crescente quando a razão r > 0: Itens a), b), c) e f) do Tópico 1.  Uma PA é decrescente quando r < 0: Itens d) do Tópico 1.  Uma PA é constante quando r = 0: Itens e) do Tópico 1. 2 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Identifique cada PA abaixo como crescente, 10) decrescente ou constante: a)(20, 40, 60, ...) b)(3, – 9, – 21, – 30, ...) c)(– 1, – 2, – 3, – 4, ...) d)(– 4, – 3, – 2, – 1, ...) e)(2, 2, 2, ...) f)( ) g)( ) 3 . TERMO GERAL DE UMA PA Observe: Seja a PA (3, 5, 7, 9, ...) a) Encontrar o 5º termo: r = a2 – a1 ⟹ r = 5 – 3 = 2 a5 = a4 + r ⟹ a5 = 9 + 2 ⟹ a5 = 11 b) Encontrar o 6º termo: a6 = a5 + r ⟹ a6 = 11 + 2 ⟹ a6 = 13 c) Encontrar o 10º termo: Bom, pela definição de PA seria trabalhoso encontrar o 10º termo. Vamos tentar encontrar uma expressão matemática, que facilite essa tare- fa: a2 = a1 + r a3 = a2 + r ⟹ a3 = a1 + r + r ⟹ a3 = a1 + 2r a4 = a3 + r ⟹ a4 = a1 + 2r + r ⟹ a4 = a1 + 3r a5 = a4 + r ⟹ a5 = a1 + 3r + r ⟹ a5 = a1 + 4r : : ⟹ an = a1 + (n – 1)r Logo, fórmula do termo geral de uma PA é: an = a1 + (n – 1)r Agora fica mais fácil encontrar o 10º termo do item c): an = a1 + (n – 1)r ⟹ a10 = a1 + (10 – ) ∙ 2 ⟹ a10 9 ∙ 2 ⟹ a10 = 3 + 18 ⟹ a10 = 21 Observações: 1ª) Note que a10 = a3 + 7r, pois ao passar de a3 para a10 avançamos 7 termos, implica, também, que a3 = a10 – 7r, ao passarmos de a10 para a3 retro- cedermos 7 termos. 2ª) Na PA finita (a1, a2, a3, a4), os termos a2 e a3 são equidistantes aos termos a1 e a4. Veja: a2 + a3 = a1 + r + a3 = a1 + a3 + r = a1 + a4 Isso é válido de um modo geral e dizemos que, numa PA finita, a soma de dois termos equidistan- tes dos extremos é igual a soma dos extremos. 3ª) Muitas vezes é conveniente colocar o 1º termo a1 como a0, ficando o termo geral da PA an = a0 n ∙ r EXERCÍCIOS PROPOSTOS Calcule a fórmula do termo geral de cada PA: 11) a)(2, 7, ...); b)(– 1, 5, ...). Numa PA infinita, temos a1 = 12 e r = 5. Cal-12) cule o a26? Calcule: 13) a) o 5º termo da PA (1, 5, ...) b) o 20º termo da PA (2, 8, ...) Qual é o 50º número ímpar positivo? 14) Quantos múltiplos de 5 existem entre 96 e 15) 1996? Os três primeiros termos de uma PA são da-16) dos pela expressão x + 1, 2x + 2 e 12x. Calcule o valor do quinto termo. As medidas dos lados de um triângulo retân-17) gulo formam uma PA de razão 5. Determine as medidas dos lados desse triângulo. No primeiro semestre de um dado ano, a 18) produção mensal de uma montadora está em PA crescente. Em Janeiro, a produção foi de 18 000 carros e, em Junho, foi de 78 000 unidades. Qual foi a produção dessa montadora nos meses de Fevereiro, Março, Abril e Maio? (interpolação aritmé- tica) Interpole 6 meios aritméticos entre 100 e 19) 184. Insira 7 meios aritméticos entre 20 e 68. 20) 4 . SOMA DOS TERMOS DE UMA PA Na tabela abaixo, vemos representada a produção anual de certo produto de uma empresa: Ano Produção 2005 10 000 unidades 2006 12 000 unidades 2007 14 000 unidades 2008 16 000 unidades 2009 18 000 unidades Quantas unidades desse produto a empresa produziu de 2005 a 2009? Resolução: Basta somarmos: 10 000 + 12 000 + 14 000 + 16 000 + 18 000 = 70 000 unidades. Observamos que:  As parcelas formam a PA finita de razão r = 2 000: (10 000, 12 000, 14 000, 16 000, 18 000)  O número 70 000 representa a soma dos ter- mos de PA. 3 Outra maneira de calcularmos a quantidades de unidades produzidas desse produto por essa empresa é utilizando a expressão da soma dos termos de uma PA finita: Sn = ( ) ∙ no qual, sn – é a soma dos n termos; a1 – é o primeiro termo; an – é o último termo; n – é a quantidade de termos. Refaça a questão anterior utilizando a expressão acima e comprove!!!! EXERCÍCIOS PROPOSTOS Calcule a soma: 21) a) dos trinta primeiros termos da PA (4, 10, ...); b) dos vinte primeiros termos da uma PA em que o 1° termo é a1 = 17 e r = 4; c) 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99 + 100; Calcule a soma dos 50 números pares. 22) Calcule a soma dos 50 primeiro números po-23) sitivos de múltiplos de 5. Resolva a equação: 24) 2 + 5 + 8 + ... + x = 77 Um ciclista percorre 20 km na primeira hora; 25) 17 km na segunda hora,