Como resolver raiz quadrada com muitos numeros

A raiz quadrada é uma operação matemática que acompanha todos os níveis escolares. Trata-se de um caso particular de radiciação, no qual o índice do radical é igual a 2, ou seja, é a operação inversa das potências de expoente igual a 2. Quando um número positivo possui raiz quadrada exata, dizemos que esse número é um quadrado perfeito.

Leia também: Propriedades envolvendo números complexos

Tópicos deste artigo

Definição e nomenclatura dos elementos da radiciação

Sejam a e b dois números reais e n um número natural diferente de zero, então:

As raízes quadradas, como dito, são um caso particular de radiciação. Ao escrever uma raiz quadrada, não é necessário explicitar o índice igual a dois.

Para os demais tipos de raízes, é obrigatório colocar o índice, ou seja, para n = 3, n = 4, n = 5 …, é necessário deixar explícito no índice do radical o valor de n.

Leia também: Redução de radicais ao mesmo índice

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Para calcular a raiz quadrada de um número real, basta seguir a definição de radiciação:

A definição nos diz que a raiz quadrada de um número real a é o número b se, e somente se, o número b elevado ao quadrado for igual ao número a, ou seja, temos que imaginar um número que, ao quadrado, resulte no número dentro do radical.

Exemplos:

√36 = 6, pois 62 = 36

√121 = 11, pois 112  = 121

Os números que possuem raiz quadrada são denominados quadrados perfeitos. Assim, dos exemplos acima, os números 36 e 121 são quadrados perfeitos. Quando o número não é um quadrado perfeito, é necessário realizar o cálculo de raízes não exatas.

1. Perceba, com base na definição de raiz quadrada, que sempre procuramos um número que, quando elevado ao quadrado, resulta no número dentro do radical. Tendo em vista as propriedades da potenciação, sabemos que um número ao quadrado é sempre positivo. Isso nos leva a concluir que não é possível extrair raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais.

Exemplo:

√ — 36 = ?

Do exemplo acima, teríamos que imaginar um número que, elevado ao quadrado, resultaria em -36. No conjunto dos números reais, isso não é impossível.

2. Caso o radicando seja um número relativamente grande, o que impossibilitaria o cálculo mental, basta fazer a decomposição em primos e agrupar sempre que possível em potências de expoente dois.

Exemplo:

Vamos determinar o valor da raiz quadrada de 441.

√441

Para determinar a raiz de 441, vamos fazer a decomposição em primos:

441 = 32 . 72

Assim,

√441 = √32 . 72

Agora, aplicando as propriedades de radiciação, temos que:

√441 = 3 . 7 = 21

O número 21 elevado ao quadrado é igual a 441.

Mapa Mental: Raiz Quadrada

*Para baixar o mapa mental em PDF, clique aqui!

Interpretação geométrica da raiz quadrada

Imagine um terreno com área de 144 m2.

Para determinar quanto mede o lado desse terreno em forma de quadrado, temos que relembrar como calcular sua área.

Aquadrado = l2

A representa o valor da área, e l é o valor do lado.

Como a área vale 144 m2, temos que:

144= l2

Observe a equação acima. Note que precisamos encontrar um número que, elevado ao quadrado, seja igual a 144, isto é, temos a definição de raiz quadrada! Então:

√144 = 12

O número 144 na forma fatorada é:

144 = 22 . 22 . 32

Assim, vamos ter que:

√144 = √22 . 22 . 32

Por fim,

√144 = 2 . 2 . 3 = 12

Portanto, o lado do terreno mede 12 m.

Exercícios resolvidos

1. Elabore uma lista com os quadrados perfeitos de 1 a 100.

Os quadrados perfeitos de 1 a 100 são: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100

2. Determine a raiz quadrada do número 1024.

√1024

Para determinar a raiz de 1024, vamos fazer a decomposição em primos:

1024 = 22 . 22 . 22 . 22 . 22

Então,

 Considerando a segunda igualdade com as propriedades da radiciação já aplicadas.

*Mapa Mental por Luiz Paulo Silva
Graduado em Matemática

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

Raiz quadrada de números grandes por agrupamento.
Este método já foi muito usado no passado, hoje quase não se ver o uso dele nas escolas por parte de alguns professores ou por livros didáticos.

Antes vamos lembrar o que seja raiz quadrada. Vamos dizer uma área  tenha 144 metros quadrado, eu quero descobrir quanto mede o lado desse quadrado, para isso eu calculo a raiz quadrada de 144, que nesse caso é 12.

A raiz é um número que multiplicado por ele mesmo é igual ao número que esta dentro do radicando.

Vejamos: 12 . 12 = 144, ou seja, 122 = 144

Vejamos alguns exemplos de raiz quadrada extra.

1=1 pois 12 =1

4=2 pois 22=4

9=3 pois 32 =9

16=4 pois 42 =16

25=5 pois 52 =25

36 = 6 pois 62=36

49=7 pois 72 =49

64=8 pois 82 =64

81=9 pois 92=81

100=10 pois 102 = 100

Há várias técnicas que pode ser usada para calcular uma raiz quadrada.

Fatoração: É a mais usada nas escola. Por agrupamento: No passado já foi muito usado. Por aproximação, o aluno faz várias tentativas até chegar o resultado. Algo mais recente, tratar-se de um atalho, muito prático. Esse método serve também para calcular raiz quadra não extra. 

Em primeiro lugar vamos agrupar os números da direita para esquerda de dois em dois, o último número pode ficar sozinho não há problema.

Começamos o cálculo pelo o número que ficou na esquerda. 

Procurando a raiz quadrada desse número, o mais próximo possível. Vejamos os exemplos abaixo. 

No exemplo a  o 3 não tem raiz quadrada exata.
O número mais próximo de 3 que elevado ao quadrado é 1.

a) Qual a raiz quadrada de 3045025?

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