A raiz quadrada de um número é uma expressão algébrica positiva representada pelo símbolo ' √ ' e é escrita como √x ou x ½ . A raiz quadrada de 2 é um número irracional representado como √2 ou 2 ½ . É quando multiplicado por si mesmo, resultará no número 2. O valor desta expressão, ou seja, √2 é 1,414 ... Seu valor não pode ser determinado exatamente porque não pode ser representado como uma fração, ou seja, na forma de a / b onde aeb são números inteiros e tem um número infinito de decimais.
O valor da raiz quadrada de 2 é amplamente usado em matemática como 1,414 porque contém um número infinito de decimais. Portanto, para facilitar os cálculos matemáticos, usamos apenas 3 dígitos após as casas decimais. Às vezes, 99/70 também é usado como um valor para Raiz quadrada de 2.
Computing Square Roots
A raiz quadrada de um número é o valor que, quando multiplicado por ele mesmo, resulta no número tomado como entrada. Para calcular a raiz quadrada, primeiro precisamos verificar se o número é um quadrado perfeito . Os quadrados perfeitos são os números, cujas raízes são números inteiros. Por exemplo, 4, 9, 25, 36, 49, etc. É mais fácil calcular a raiz quadrada de um número quadrado perfeito em comparação com um número quadrado não perfeito. Para calcular a raiz de um número não perfeito, precisamos aplicar a fórmula do método de divisão longa.
Como realizar o Método de Divisão Longa?
Para calcular a raiz quadrada de um número usando o método de divisão longa, siga as etapas abaixo:
Etapa 1: primeiro, precisamos dividir o número em grupos de dois, começando da direita para a esquerda.
Por exemplo: para calcular o valor de √132496, dividimos os dígitos em grupos como 13, 24 e 96.
Passo 2: Agora precisamos encontrar o número mais alto que, quando multiplicado por ele mesmo, resulta em um número menor ou igual ao primeiro par de dígitos.
Aqui, precisamos de um número que, quando multiplicado por ele mesmo, resulta no produto ≤ 13. Portanto, o maior número que pode ser selecionado é 3.
Etapa 3: agora calcule o restante e escreva o próximo par de dígitos próximo ao restante. Isso se tornará nosso dividendo para a próxima etapa.
Passo 4: Para criar o divisor, primeiro multiplicaremos o quociente por 2 e escreveremos o produto como o dígito da casa das dezenas do divisor. Para o local da unidade, realizaremos novamente a Etapa 2.
Etapa 5: Agora execute a Etapa 3 e a Etapa 4 novamente e, em seguida, repita a Etapa 2 para criar o divisor. Continue o mesmo até que o restante se torne zero.
O quociente formado será a raiz quadrada do número.
Como encontrar a raiz quadrada de 2?
É sempre mais fácil calcular a raiz quadrada de quadrados perfeitos, mas para calcular a raiz quadrada de um quadrado não perfeito, precisamos executar o método de divisão longa. Para calcular a raiz quadrada de 2, precisamos seguir as etapas abaixo:
Etapa 1: escreva 2 como 2.000000 para facilitar a divisão
Passo 2: Agora procure o quadrado perfeito menor que 2, ou seja, 1 e divida o número com ele.
Passo 3: Agora, o quociente e o resto são 1. Colocaremos um decimal no quociente e baixaremos o par de zeros para posterior divisão.
Passo 4: Agora some o quociente com o divisor existente, ele se tornará o dígito na casa das dezenas para o próximo divisor.
Etapa 5: para a casa das unidades, precisamos encontrar um valor que pode ser colocado na casa da unidade do quociente e do divisor de forma que o novo divisor, quando multiplicado pelo dígito da unidade do quociente, resulte no maior número menor que o restante.
Agora. abaixe o próximo par de zeros e repita os passos 4 e 5. Isso pode ser feito para infinitos passos, pois o valor exato da raiz quadrada de 2 sobe para infinitas casas decimais. Podemos calcular o resultado com até 4 casas decimais, pois isso pode ser usado para aprox. valor da raiz quadrada.
Esta página cita fontes, mas estas não cobrem todo o conteúdo. Ajude a inserir referências. Conteúdo não verificável poderá ser removido.—Encontre fontes: Google (notícias, livros e acadêmico) (Junho de 2009) A raiz quadrada de dois, denotada
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
A raiz quadrada de dois é um número irracional,[1][Nota 1] ou seja, não é possível encontrar dois números inteiros
a
{\displaystyle a}
Acredita-se que 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} tenha sido o primeiro número irracional reconhecido como tal. Esta importante descoberta é atribuída a Hipaso de Metaponto, da escola de Pitágoras. De acordo com uma lenda, a demonstração teria custado a vida de seu descobridor, uma vez que contrariava as ideias predominantes entre os pitagóricos de que tudo era número (inteiro).[2]
Um triângulo retângulo cujos catetos medem 1 tem hipotenusa com comprimento 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} .
A fração 9970 (≈ 1.4142857) por vezes é usada como uma boa aproximação racional com um denominador razoavelmente pequeno.
A sequência A002193 na Enciclopédia On-Line de Sequências Inteiras consiste nos dígitos da expansão decimal da raiz quadrada de 2, aqui truncada para 65 casas decimais:[3]
1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799A raiz quadrada de dois pode ser escrita como:
- 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} , lê-se "raiz quadrada de dois" ou "raiz de dois".
- 2 1 2 {\displaystyle 2^{\frac {1}{2}}} ou 2 1 / 2 {\displaystyle 2^{1/2}} , lê-se "dois elevado a um meio" ou "dois a um meio".
Por ser um número irracional, 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} não pode ser expressa como um número finito de casas decimais, uma aproximação com 65 dígitos decimais é:
1,41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799... (sequência A002193 na OEIS).Uma aproximação fracionária para a raiz quadrada de 2 é 10/7 que, ao quadrado, fica 100/49, bem próximo de 2.
Pode-se facilmente construir uma sequência de números racionais se aproximando (convergindo) para 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} :
{ x 0 = 1 x n + 1 = x n 2 + 1 x n {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x_{0}=1\\x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}\end{array}}\right.}Esta recursão produz a sequência:
1 ; 3 2 ; 17 12 ; 577 408 ; 665857 470832 ; 886731088897 627013566048 {\displaystyle 1;~~{\frac {3}{2}};~~{\frac {17}{12}};~~{\frac {577}{408}};~~{\frac {665857}{470832}};~~{\frac {886731088897}{627013566048}}}Ou, aproximadamente:
1 ; 1 , 5 ; 1.416666667 ; 1.414215686 ; 1.414213562 ; 1.414213562 {\displaystyle 1;~~1,5;~~1.416666667;~~1.414215686;~~1.414213562;~~1.414213562}Observe que o método estabiliza a nona casa decimal após apenas cinco passos.
O matemático britânico Godfrey Harold Hardy em seu livro Em defesa de um matemático afirma que a demonstração da irracionalidade da raiz quadrada de dois é um dos teoremas de "primeira classe". E que "conserva a beleza e o frescor que tinha ao ser descoberto" há mais de dois mil anos.
A demonstração é simples e recorre ao método da prova por contradição. Ou seja, supomos que exista um número racional igual a raiz de 2, ou seja, que existem números inteiros positivos a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} tais que:
a b = 2 {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\sqrt {2}}}ou, equivalentemente:
( a b ) 2 = 2 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{2}=2}Podemos supor que a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} não são ambos números pares, pois se fossem, poderíamos simplificar a fração até obter um dos termos da fração ímpar.
Agora, escrevemos:
( a b ) 2 = a 2 b 2 = 2 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{2}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2}Então:
a 2 = 2 b 2 {\displaystyle a^{2}=2b^{2}}Concluímos então que a 2 {\displaystyle a^{2}} deve ser um número par, pois é dobro de b 2 {\displaystyle b^{2}} . E a {\displaystyle a} deve ser par também, pois o quadrado de um número ímpar é ímpar.
Temos então que a {\displaystyle a} é um número par e, portanto, é o dobro de algum número inteiro, digamos c {\displaystyle c} :
a = 2 c {\displaystyle a=2c} ( 2 c ) 2 = 2 b 2 {\displaystyle (2c)^{2}=2b^{2}} 4 c 2 = 2 b 2 {\displaystyle 4c^{2}=2b^{2}} 2 c 2 = b 2 {\displaystyle 2c^{2}=b^{2}}Pelos motivos alegados anteriormente, b {\displaystyle b} deve ser um número par.
Concluímos, finalmente, que se a raiz quadrada de 2 fosse um número racional, então este número seria uma fração que não tem forma irredutível, já que tanto o numerador quanto o denominador da fração são pares. Isto é um absurdo e, portanto, não existe um racional cujo quadrado seja igual a 2, como queríamos demonstrar.
Em 1786, o professor alemão de física Georg Christoph Lichtenberg[4] descobriu que qualquer folha de papel cuja borda longa seja 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} vezes maior que sua borda curta poderia ser dobrada ao meio e alinhada com seu lado mais curto para produzir uma folha com exatamente as mesmas proporções como o original. Esta proporção de comprimentos do lado mais longo sobre o lado mais curto garante que o corte de uma folha ao meio ao longo de uma linha resulta em folhas menores tendo a mesma proporção (aproximada) da folha original. Quando a Alemanha padronizou os tamanhos de papel no início do século 20, eles usaram a proporção de Lichtenberg para criar a série "A" de tamanhos de papel.[4] Hoje, a proporção (aproximada) dos tamanhos de papel em ISO 216 (A4, A0, etc.) é 1: 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}
Ciências físicas
Existem algumas propriedades interessantes envolvendo a raiz quadrada de 2 nas ciências físicas:
- A raiz quadrada de dois é a razão de frequência de um intervalo de trítono em uma música de temperamento igual de doze tons.
- A raiz quadrada de dois forma a relação de f-stops em lentes fotográficas, o que, por sua vez, significa que a proporção das áreas entre duas aberturas sucessivas é 2.
- A latitude celestial (declinação) do Sol durante os pontos astronômicos de um quarto de dia cruzado é igual à inclinação do eixo do planeta dividido por 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}
- ↑ No texto, Vitrúvio escreve que a determinação de um número que corresponde à diagonal de um quadrado com lado igual a dez pés não pode ser feita por números, o que, segundo interpretação de Bill Thayer, editor do site LacusCurtius, significa que não pode ser feita por uma fração com números inteiros.
- ↑ Vitrúvio, De Architetura, Livro IX, Introdução, 4 [em linha]
- ↑ Kurt von Fritz, "The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum", Annals of Mathematics, 1945.
- ↑ «A002193 - OEIS». oeis.org. Consultado em 10 de agosto de 2020
- ↑ a b Houston, Keith (2016). The Book: A Cover-to-Cover Exploration of the Most Powerful Object of Our Time. [S.l.]: W. W. Norton & Company. 324 páginas. ISBN 978-0393244809
- «Cinco milhões de casas decimais da raiz quadrada de 2» (em inglês)
- Portal da matemática
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