A radiciação é a operação matemática inversa da potenciação, assim como a divisão é a operação inversa da multiplicação. Essa operação é representada pelo símbolo √, conhecido como radical, e a raiz de um número é representada por \(\sqrt[n]{a}\ =\ b\). Assim, podemos calcular a raiz enésima de um número utilizando o seguinte raciocínio: a raiz enésima de a é o número que elevado a n é igual a a. Além disso, a radiciação possui propriedades importantes que auxiliam na resolução de problemas envolvendo-a.
Leia também: Potenciação e radiciação de frações
Videoaula sobre radiciação
Como representar a radiciação?
Para representar uma operação de radiciação, utilizamos o símbolo √, conhecido como radical. Então, a raiz de um número é representada por:
\(\sqrt[n]{a}\ =\ b\)
Essa sentença é lida como “raiz enésima de a é igual a b”. Cada um dos elementos recebe nome específico. São eles:
-
√: radical.
-
n: índice.
-
a: radicando.
-
b: raiz.
Observação: Quando o índice é igual a 2, não é necessário que o algarismo 2 conste. Ou seja:
\(\sqrt[2]{a}=\sqrt a\)
A radiciação e a potenciação são conhecidas como operações inversas. Assim, para calcular a radiciação, é fundamental saber resolver potenciações. Quando representamos a raiz enésima de a, encontramos como resposta o número b. Para que b seja raiz n de a, temos que:
\(\sqrt[n]{a}=b\rightarrow b^n=a\)
Logo, estamos procurando qual é o número b que elevado ao índice n é igual ao radicando a.
Exemplo 1:
\(\sqrt[2]{25}=5\rightarrow5^2=25\)
Exemplo 2:
\(\sqrt[3]{8}=2\rightarrow2^3=8\)
Exemplo 3:
\(\sqrt[5]{1024}=4\rightarrow4^5=1024\)
Propriedades da radiciação
As propriedades das operações matemáticas são ferramentas que auxiliam na resolução e na simplificação de problemas envolvendo uma operação, e com a radiciação não é diferente. É útil, portanto, dominar algumas propriedades da radiciação.
→ A raiz enésima de a elevado a n é igual ao próprio a
Se queremos calcular a raiz enésima de um número a elevado a n, ou seja, quando o expoente do número é igual ao índice da raiz, a raiz é o próprio número a.
\(\sqrt[n]{a^n}=a\)
→ A raiz do produto é igual ao produto das raízes
Quando o radicando é a multiplicação entre dois números, a raiz do produto é igual ao produto das raízes.
\(\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\)
→ A raiz do quociente é igual ao quociente das raízes
Essa propriedade é equivalente à anterior, porém para o caso de divisão. Quando há uma divisão entre dois números no radicando, a raiz do quociente é igual ao quociente das raízes.
\(\sqrt[n]{a∶b}=\sqrt[n]{a}∶\sqrt[n]{b}\)
Além disso, essa propriedade é válida para frações, já que a fração é uma divisão.
\(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)
→ Multiplicação e divisão do índice com o expoente
Podemos multiplicar ou dividir o radical e o expoente do radicando por um mesmo número.
\(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n\cdot b]{a^{m\cdot b}}\)
\(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n:b]{a^{m:b}}\)
→ Raiz de uma raiz
Para resolver a raiz de uma raiz, podemos multiplicar os índices dessas raízes.
\(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}\)
→ Potência de uma raiz
Quando há uma potenciação com a raiz, temos que:
\(\left(\sqrt[n]{a}\right)^b=\sqrt[n]{a^b}\)
→ Transformação de uma radiciação em uma potenciação
Podemos reescrever a radiciação de um número como uma potenciação.
\(\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}\)
Confira nossa videoaula: Propriedades de potência
Simplificação de radicais
Quando a raiz não é um número exato, é possível simplificar o radical, ou seja, escrever o radical da forma mais simples possível. Para fazer a simplificação, é necessário fatorar esse número e utilizar as propriedades da radiciação apresentadas anteriormente para representar a radiciação da forma mais simples possível.
Exemplo:
Simplifique \(\sqrt{392}\):
Resolução:
Primeiramente, é necessário realizar a fatoração de 392:
Como queremos calcular a raiz quadrada, agruparemos, quando possível, os números como potência de 2:
392 = \(2^2\cdot2\cdot7^2\)
Assim, temos que:
\(\sqrt{392}=\sqrt{2^2\cdot2\cdot7^2}\)
Utilizando as propriedades da radiciação, sabemos que a raiz do produto é igual ao produto das raízes:
\(\sqrt{392}=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt2\cdot\sqrt{7^2}\)
Vale ressaltar que quando o índice não aparece, o seu valor é 2. E quando o índice e o expoente do radicando são os mesmos, a raiz é igual ao radicando. Ou seja:
\(\sqrt{392}=2\cdot\sqrt2\cdot7\)
Então, temos que:
\(\sqrt{392}=14\sqrt2\)
Logo, \(14\sqrt2\) é a forma simplificada da \(\sqrt{392}\).
Operações com radicais
→ Adição e subtração
Quando o radical é o mesmo, para somar ou subtrair a raiz, conservamos o radical e somamos os coeficientes.
Exemplo:
\(4\sqrt2+3\sqrt2=7\sqrt2\)
Quando o radical é diferente, não é possível realizar a operação. Dessa forma, é necessário obter um valor aproximado ou exato para a raiz antes de fazer o cálculo.
Exemplo:
\(5\sqrt3-2\sqrt2\)
\(5\cdot1,7-2\cdot1,4\)
\(8,5-2,8\)
\(5,7\)
→ Multiplicação e divisão
Quando o índice é o mesmo, podemos realizar a multiplicação ou a divisão e conservar o radical.
Exemplo:
\(\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{2\cdot5}=\sqrt[3]{10}\)
Quando o índice é diferente, de início igualamos os índices e depois realizamos a multiplicação/divisão e conservamos o radical.
Exemplo:
\(\sqrt[3]{16}∶\sqrt[2]{2}\)
Para igualar os índices, temos que:
\(\sqrt[3\cdot2]{{16}^2\ }:\sqrt[2\cdot3]{2^3}\)
\(\sqrt[6]{{16}^2∶2^3}\)
\(\sqrt[6]{256∶8}\)
\(\sqrt[6]{32}\)
Exercícios resolvidos sobre radiciação
Questão 1
(Fauel) O número \(\sqrt[3]{2160}\) pode ser escrito na forma simplificada. Assinale a alternativa que apresenta o número simplificado.
A) 50
B) \( 6\sqrt[3]{10}\)
C) \( 10\sqrt[3]{6}\)
D) 720
Resolução:
Alternativa B
Fazendo a fatoração:
Como queremos a raiz cúbica, agruparemos de 3 em 3:
2160 = \(2^3\cdot2\cdot3^3\cdot5\)
Logo:
\(\sqrt[3]{2160}=\sqrt[3]{2^3\cdot2\cdot3^3\cdot5}\)
\(\sqrt[3]{2160}=2\cdot3\sqrt[3]{2\cdot5}\)
\(\sqrt[3]{2160}=6\sqrt[3]{10}\)
Questão 2
Qual é a raiz cúbica de 4.096?
A) 26
B) 24
C) 16
D) 14
Resolução:
Alternativa C
Para encontrar a raiz cúbica de 4.096, devemos fatorar esse número:
Como nós queremos a raiz cúbica, agruparemos de 3 em 3. Assim, obtemos 4096 = \(2^3\cdot2^3\cdot2^3\cdot2^3\).
Portanto:
\(\sqrt[3]{4096}=\sqrt[3]{2^3\cdot2^3\cdot2^3\cdot2^3}\)
\(\sqrt[3]{4096}=2\cdot2\cdot2\cdot2\)
\(\sqrt[3]{4096}=16\)
Calculamos a raiz cúbica de um número para encontrarmos qual o valor numérico que foi multiplicado três vezes por si mesmo. ... Podemos também encontrar a raiz cúbica de um número por meio do cálculo mental, para fazer dessa forma basta pensar qual o número que elevado ao cubo resulta no valor do radicando.
Como calcular raiz quadrada e cúbica?
Cálculo da Raiz Quadrada. A raiz quadrada (√) de um número é determinada por um número real positivo elevado ao quadrado (x2). Já na raiz cúbica, o número é elevado ao cubo (y3). Além disso, se a raiz for elevada a quarta potência (z4) é chamada de raiz quarta, e se for elevada a quinta potência (t5) é raiz quinta.
Qual é a raiz de 3 27?
Dessa forma, podemos afirmar que a raiz terceira de 27 é igual a 3. A partir desse exemplo, podemos perceber também que a radiciação é inversa à potenciação. Isso porque 3³=27 e ³√27=3.
Qual é a raiz cúbica de 1000?
sendo que cubica é 3, multiplique 10x10x10=1000. Raiz cubica de 1000 é igual a 10.
Como fazer raiz na calculadora?
Para calcular uma raiz quadrada utilizando a calculadora, basta apertar a tecla √ , na sequência o número do qual se deseja extrair a raiz e o sinal de =. Por exemplo: √ 12= 3,4641016151.
¿Cómo calcular la raíz cúbica de 10?
- En este ejemplo, se calculará la raíz cúbica de 10. Escribe este número c 000. Los ceros adicionales son para mejorar la precisión de la respuesta. Dibuja el símbolo de la raíz cúbica sobre el número.
¿Cómo funciona la calculadora de raíces cúbicas?
- Cómo funciona la calculadora de raíces cúbicas. El funcionamiento de esta calculadora de matemáticas no puede ser más sencillo. Basta con que indiques en el espacio de la calculadora online el número del que quieres averiguar su raíz cúbica y pulsar sobre el botón Calcular. Inmediatamente la herramienta calculará para ti la raíz cúbica del número.
¿Qué es una raíz cuadrada y una raíz cúbica?
- Es común analizar la raíz cuadrada y la raíz cúbica de un número, pero dependiendo del radical es la raíz que se debe analizar. Nota: Al no representar un número en el radical se considera como una raíz cuadrada.
¿Qué es un problema de raíz cúbica?
- Es decir es una operación matemática por la cual el radicando tiene un índice de valor 3. La estructura de un problema de una raíz cúbica se divide en las siguientes partes: Radicando: el número que debe multiplicarse por sí mismo.