Como calcular o volume de uma pirâmide

O volume da pirâmide é a medida de capacidade desse poliedro e corresponde a terça parte do volume de um prisma de mesma base e mesma altura.

A pirâmide é um poliedro formado por uma base poligonal e faces laterais triangulares. Dessa forma, a altura da pirâmide é definida pela distância do vértice para a base poligonal.

Volume da Pirâmide

O volume da pirâmide é calculado pela seguinte fórmula:

V = 1⁄3 . Ab . h

Onde:

• V: é o volume;
• Ab: é a área da base da pirâmide;
• h: é a altura da pirâmide.

A área da base depende do tipo de pirâmide; se for uma pirâmide triangular, a fórmula da área da base é a fórmula da área do triângulo; se for quadrangular, a fórmula da área é a fórmula da área do paralelogramo, e assim por diante.

Elementos da Pirâmide

Uma pirâmide é formada pelos seguintes elementos:

• Arestas: a pirâmide é formada por arestas nas laterais a arestas também na base;
• Faces laterais: as arestas laterais formam as faces triangulares da pirâmide;
• Altura: a altura da pirâmide é definida pela distância entre o vértice e a base poligonal da pirâmide;
• Vértice: o vértice é um ponto que não pertence à base e define a altura e o formato da pirâmide;
• Apótema: é a altura da face da pirâmide.

Leia mais sobre a pirâmide.

Tipos de Pirâmides

As pirâmides podem ser classificadas conforme o formato da sua base poligonal:

• Triangular: é uma pirâmide que sua base é formada por um triângulo. Assim, esse tipo de triângulo também é um de tetraedro.
• Quadrangular: pirâmide com base formada por um paralelogramo;
• Pentagonal: base formada por um pentágono;
• Hexagonal: base formada por um hexágono;
• Reta: a altura dessa pirâmide é perpendicular a base;
• Oblíqua: é uma pirâmide que não é reta.

Área da Pirâmide

A área total da pirâmide é calculada pela seguinte fórmula, a saber:

AT = AB + AL

Onde:

• AT: é a área total;
• AB: é a área da base;
• AL: é a área lateral.

A área da base da pirâmide é calculada de acordo com o tipo de polígono que a base é formada. Se for um triângulo a fórmula é a fórmula da área de um triângulo, se for quadrada a fórmula é a área do quadrado, e assim por diante.

As faces da pirâmide são triangulares, então para calcular a área da face usamos a fórmula do triângulo e somamos todas as medidas das áreas das faces que a pirâmide possui.

Assim:

Al = A1 + A2 + A3 +, …, + An,

Onde:

• A1 + A2 + A3 +, …, + An são as medidas das áreas das faces laterais.

Exercícios

• Exercícios sobre o volume da pirâmide

Rafael Asth

Professor de Matemática e Física

O volume da pirâmide é o espaço ocupado por ela, e sua medida pode ser determinada por cálculos.

Uma pirâmide é um sólido geométrico de base poligonal com apenas um vértice fora de sua base. Sua altura é determinada pela distância ortogonal (90°) entre o vértice e sua base.

Em relação à base, ela pode ser triangular, pentagonal, quadrada, retangular ou mesmo um polígono não regular.

Para calcular o volume da pirâmide precisamos multiplicar a área da base, o que dependerá de sua forma, pela altura. O resultado desta divisão deve ser dividido por 3.

Fórmula do volume da pirâmide

Para calcular o volume da pirâmide utiliza-se a seguinte fórmula:

Onde,
V: volume da pirâmide
Ab: Área da base
h: altura

Volume da pirâmide de base triangular

O cálculo do volume de uma pirâmide triangular, também chamada de tetraedro, quando todos os lados são iguais, é feito a partir do cálculo da área do triângulo (base) que está no plano. Em seguida, multiplica-se pela altura e divide-se por três.

Aplicando o Teorema de Pitágoras duas vezes, para determinar a área da base e após, para a medida da altura, temos:

Volume da pirâmide de base quadrada

Em uma pirâmide com base retangular resolve-se, inicialmente a área do retângulo (lado menor x lado maior), multiplica-se pela altura e divide por três.

No caso de uma pirâmide quadrada, a base será um quadrado e a área do quadrado o lado ao quadrado (l2).

Assim sendo:

Pirâmide quadrada

Pirâmide retangular

3. Pirâmide hexagonal

Do mesmo modo, o volume da pirâmide hexagonal começa a ser resolvido a partir da área de sua base. Relembrando que a fórmula da área de um hexágono é:

Assim sendo, a fórmula do volume da pirâmide hexagonal pode ser compreendida como:

Exercícios Resolvidos

1. Determine o volume de uma pirâmide regular hexagonal de altura 30 cm e aresta de base de 20 cm.

Resolução:

Primeiramente, temos de encontrar a área da base dessa pirâmide. Nesse exemplo, ela é um hexágono regular de lado l = 20 cm. Logo,

Ab = 6 . l2√3/4
Ab = 6 . 202√3/4
Ab = 600√3 cm2

Feito isso, podemos substituir o valor da área da base na fórmula do volume:

V = 1/3 Ab.h V = 1/3 . 600√3 . 30

V = 6000√3 cm3

2. Qual o volume de uma pirâmide regular com 9 m de altura e base quadrada com perímetro de 8 m?

Resolução:

Para resolver esse problema, temos que estar atento ao conceito de perímetro. Ele é a soma de todos os lados de uma figura. Já que se trata de um quadrado, temos que cada lado tem medida de 2 m.

Assim, podemos encontrar a área da base:

Ab = 22 = 4 m

Feito isso, vamos substituir o valor na fórmula do volume da pirâmide:

V = 1/3 Ab.h V = 1/3 4 . 9 V = 1/3 . 36 V = 36/3

V = 12 m3

Leia mais:

Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.