Os limites envolvendo radicais (raízes) se da usando a racionalização (criando raízes) e desracionalizando (removendo raízes). Usamos a racionalização quando a raiz se encontra no divisor (na parte de baixo da divisão) como vemos no exemplo:
Agora usamos a desracionalização quando a raiz se encontra no dividendo (na parte de cima da divisão). Como podemos ver no exemplo:
Quando chegamos no resultado
Abaixo deixo uma vídeo aula para melhor entendimento do tema:
Deixo aqui também uma aula com exercícios resolvidos e comentados:
Deixo aqui também alguns exercícios com gabarito para o treino:
1- Calculo o limite
2- Resolva o limite
3-Descubra o valor do limite
Gabarito:
1- Para calcular , observamos que numerador e denominador têm limite, sendo ambos iguais a 0 .
Em primeiro lugar, é importante observar que
Daí,
2- Para calcular , observamos que numerador e denominador têm limite, sendo ambos iguais a 0 e, portanto, não podemos aplicar a propriedade sobre o limite do quociente.
Entretanto, multiplicando o numerador e o denominador da fração pela expressão conjugada do numerador, temos:
O numerador e o denominador multiplicados por (2+√(x-3)), dando assim a chance de “juntarmos” o numerador, logo:
3- Para calcular , observamos que numerador e denominador têm limite, sendo ambos iguais a 0 e, portanto, não podemos aplicar a propriedade sobre o limite do quociente.
Entretanto, utilizando o mesmo tipo de artifício dos limites anteriores, temos:
Aí pessoal tudo em ordem? Nesta matéria vou mostrar como calcular os limites irracionais, mas o que será um limite irracional? Basta se lembrar das Expressões algébricas irracionais que são aquelas que a incógnita aparece dentro de uma raiz.Podemos definir limites irracionais como limite cuja função é irracional.
Por exemplo
Importa agora procurar um processo para calcular o limite deste tipo de funções caso encontrarmos uma forma indeterminada ao substituir o valor de x na função dada.
No cálculo de limites de funções irracionais devemos nos apoiar nos princípios válidos para as expressões irracionais portanto, como proceder para tornar expressões irracionais em expressões racionais. Ao calcular limite deste tipo de funções podemos chegar a situação de indeterminação e para desta nos desembaraçar precisamos de fazer racionalização das expressões irracionais.
Recorde-se que a racionalização depende do tipo de expressão irracional
- Quando temos uma expressão do tipo multiplica-se o numerador e o denominador pelo radical para racionalizar o denominador.
Note que, a racionalização pode ser tanto para o numerador como para o denominador ou mesmo uma expressão com radicais que não seja fracção desde que haja necessidade para o efeito.
Vamos considerar agora, limites com expressões irracionais :
Como pode ver substituindo x por 9 na expressão, obtém-se uma indeterminação, para levantar a indeterminação temos que multiplicar ambos factores da fracção pelo conjugado do numerador. assim:
Exemplo 2
Este é um exemplo de um limite com o n tendendo a infinito.
O levantamento da indeterminação consiste em multiplicar e dividir a expressão pela sua conjugada pois a substituição directa do n por resultará uma indeterminação.
Exemplo 3
Multiplico ambos factores da fracção pelo conjugado do numerador, simplificou a expressão e por último substituiu x por 5.
As expressões irracionais conduzem à funções irracionais e consequentemente, podemos ter o cálculo de limites destas funções.
O cálculo deste tipo de limites basea-se no processo de substituição da variável na função.
Tal como nos casos anteriores, existem casos de indeterminação e para levantar esta indeterminação há que considerar os procedimentos para a racionalização de expressões irracionais.
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