Como calcular a área de um cubo retangular

O cubo é um sólido geométrico em que todas as faces são quadrados congruentes. Dessa maneira, ele é classificado como poliedro. Além disso, também pertence ao conjunto dos poliedros convexos e dos poliedros de Platão.

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Como Calcular a Área do Cubo?
Área Total
Área da Base
Área Lateral
Exercícios

A área de um poliedro e, consequentemente, do cubo é a soma das áreas dos polígonos que o formam. Ao somar todas essas áreas, é possível encontrar uma fórmula para o cálculo da área do cubo, que é o que nos interessa.

Cubo: prisma cujas faces são quadrados

Antes, porém, é necessário saber que a área de um poliedro é dividida em Área da base e Área lateral. Essas duas são importantes definições que eventualmente são utilizadas em vestibulares e no Enem.

→ Área da Base

Todo cubo é também um prisma de base quadrada. Como os prismas possuem duas bases iguais, é necessário calcular apenas uma área da base do cubo:

Ab = l2

l é a medida da aresta do cubo e a medida do lado do quadrado da base. Essa fórmula resulta do fato de a base ser quadrada e, por isso, é igual à área do quadrado. Essa área também é comumente apresentada como a “tampa” de algum sólido geométrico de formato cúbico.

A fórmula acima deve ser utilizada para calcular apenas uma dessas áreas.

→ Área lateral

É a área das faces do cubo que não são bases, isto é, do restante da figura. Na imagem abaixo, essa área está destacada em verde mais escuro.

Os polígonos que constituem a área lateral de um cubo são quatro quadrados. Portanto, a área lateral do cubo será quatro vezes a área do quadrado:

Al = 4·l2

→ Área total

Não devemos falar no conteúdo do cubo, mas somente na superfície que o limita. A área total dessa superfície é obtida pela soma das áreas das duas bases com a área lateral. A fórmula para esse cálculo é a seguinte:

At = 2·Ab + Al

Substituindo os valores encontrados anteriormente para a área da base e área lateral, teremos:

At = 2·l2 + 4·l2

At = 6·l2

Observação: o volume de um sólido geométrico é comparável àquilo que cabe dentro dele ou ao espaço que ele ocupa. Já a área é comparável ao material gasto para pintar esse sólido por fora.

Em resumo, a área de um prisma é a soma das áreas de suas faces laterais. Como o cubo é formado por seis quadrados congruentes, então, a área total do cubo é seis vezes a área de sua base.

Exemplo

Um professor de matemática apaixonado por probabilidade resolveu dar de aniversário à sua namorada um pingente em forma de dado folheado a ouro. Sabendo que o valor do ouro é de R$ 0,90 por mm2, que o pingente já vem de fábrica na cor vermelha e que a aresta do cubo do pingente mede 7 mm, responda:

a) Quanto o professor gastou para deixar duas faces opostas em vermelho, folheando as outras faces?

Resposta: Duas faces opostas de um cubo são suas bases; as outras são faces laterais. A área lateral de um cubo pode ser obtida pela seguinte fórmula:

Al = 4·l2

Al = 4·72

Al = 4·49

Al = 196 mm2

Desse modo, o professor gastaria 0,9·196 = 176,4 (R$ 176,40) para folhear a área lateral do cubo.

b) Quanto o professor gastará para folhear o cubo inteiro?

At = 6·l2

At = 6·72

At = 6·49

At = 294 mm2

O valor gasto será 0,9·294 = 264,6 (R$ 264,60).

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

Quando falamos sobre volume de um sólido, estamos nos referindo à capacidade desse sólido. Veremos a seguir como calcular o volume do paralelepípedo, do cubo e do cone circular reto. Vale a pena ressaltar que, ao calcular o volume de um sólido, é necessário que todas as suas medidas possuam a mesma notação. Por exemplo, se uma das medidas está em centímetros e a outra é dada em metros, é necessário transformar uma delas para torná-la igual às demais.

Um paralelepípedo retangular é um sólido de seis lados que possui faces retangulares planas e paralelas. Tente imaginar o paralelepípedo abaixo como uma piscina. Se nós queremos saber a capacidade dele, é o mesmo que dizer que queremos descobrir quanta água cabe nele. Para chegarmos a uma resposta, precisaremos analisar alguns dados desse sólido, como a largura e o comprimento do retângulo da base, bem como a altura ou profundidade.

Para calcular o volume desse paralelepípedo, devemos multiplicar as medidas identificadas por a, b e c

Portanto, para calcular o volume do paralelepípedo, temos a seguinte fórmula:

V = a . b . c

Se considerarmos um paralelepípedo em que a largura da base meça 10 m, o comprimento da base, 5 m, e a altura do paralelepípedo meça 8 m, teremos o seguinte volume:

V = (10 m) . (5 m) . (8 m)

V = 400 m3

Temos um tipo especial de paralelepípedo retângulo, o cubo — um sólido com seis faces quadradas e com os mesmos comprimentos de lado. Temos abaixo um cubo cujas arestas medem a.

Para calcular o volume do cubo, devemos multiplicar a medida da aresta elevada à terceira potência

Para calcular o volume do cubo, vamos multiplicar as arestas, de modo que faremos a terceira potência dessa aresta:

V = a . a . a

V = a3

Se dissermos, por exemplo, que a aresta desse cubo mede 3 m, o volume dele será:

V = (3m)3

v = 27 m3

Outro sólido que analisaremos é o cone circular reto. Esse sólido tem por características uma base circular de raio r, uma altura h, que forma um ângulo reto com a base, e uma geratriz g. A geratriz de um cone é o segmento de reta que liga o topo da altura às extremidades da base. Na figura a seguir, conseguimos ver com mais facilidade cada uma dessas estruturas:

Para calcular o volume do cone circular reto, devemos multiplicar a altura por π e pelo quadrado do raio, bem como dividir o resultado por 3

Para calcularmos a área do cone circular reto, faremos:

V = ⅓ π.r2.h

Considere um cone cuja base tem raio 2 m e a altura mede 8 m. Considere π = 3,14. Calculemos o volume do cone:

V = ⅓ π.r2.h

V = 1 . 3,14 . 22 . 8
3

V = 3,14 . 4 . 8
3

V = 100,48
3

V ≈ 33,49 m3

Então o volume do cone é de, aproximadamente, 33,49 m3.

Suponha agora que temos um cone circular reto em que a geratriz mede 5 m e a altura, 4 m. Para calcularmos o volume desse sólido, precisamos encontrar a medida do raio, para tanto, utilizaremos o Teorema de Pitágoras:

g2 = h2 + r2

r2 = g2 – h2

r2 = 52 – 42

r2 = 25 – 16

r2 = 9

r = 3 m

Agora que temos o valor do raio, podemos calcular o volume do cone utilizando a fórmula:

V = ⅓ π.r2.h

V = 1 . 3,14 . 32 . 4
3

V = 3,14 . 9 . 4
3

V = 113,04
3

V = 37,68 m3

Portanto, o volume desse cone circular reto é 37, 68 m3.

Por Amanda Gonçalves

Graduada em Matemática

A área do cubo é a medida correspondente a superfície desse poliedro.

O cubo é um poliedro por ser uma figura geométrica tridimensional (três dimensões). Poliedro é o nome que se da a uma figura geométrica espacial formada por polígonos.

Os polígonos são figuras formadas por muitos lados e ângulos, no caso do cubo, ele é formado por vários quadrados planos unidos dois a dois pelas suas arestas.

O cubo possui 12 arestas e 8 vértices. As faces e suas arestas possuem as mesmas medidas e são perpendiculares.

Como Calcular a Área do Cubo?

Dependendo da finalidade, pode ser necessário calcular a área total, a área da base e a área lateral.

Área Total

Para calcular a área total do cubo precisamos apenas calcular a área de uma de suas faces. Como o cubo é formado por 6 quadrados regulares e congruentes, então pegamos a área equivalente a um desses quadrados e multiplicamos por 6.

A fórmula da área de um quadrado é igual à medida de uma de suas arestas ao quadrado, ou seja, A = a². Como o cubo é formado por quadrados, então a fórmula da área total de um cubo é equivalente à área do quadrado multiplicado por 6.

Fórmula da Área Total

Para calcular a área total usamos a seguinte fórmula:

Onde:

At: é a área total;
a: é a medida de uma de suas arestas.

Área da Base

A base do cubo é a face do cubo que fica para baixo. A área da base do cubo corresponde a medida de uma de suas bases. Como o cubo também é um prisma, ele possui duas bases, a face de baixo e a de cima.

Fórmula da Área da Base

Para calcularmos a área referente a base do cubo, usamos a seguinte fórmula:

Onde:

Ab: é a área da base do cubo;
a: é a medida de uma de suas arestas da base.

Calcular a área da base é equivalente a calcular a área de um quadrado.

Área Lateral

A lateral do cubo são os quadrados que ficam na vertical, ou seja, os quadrados que não são bases. A área da lateral é a soma das áreas de todos esses quadrados.

Fórmula da Área Lateral

Para calcular a área lateral, precisamos apenas calcular a área de um dos quadrados que formam a lateral desse poliedro regular. Assim, chegamos a seguinte fórmula:

Al = 4 . a²

Onde:

Al: é a medida referente a área da base.
a: é a medida de uma de suas arestas da lateral.

Diagonal

Para calcularmos a diagonal do cubo, usaremos o Teorema de Pitágoras para chegar a uma fórmula geral.

Para isso precisamos apenas encontrar a medida da diagonal de uma de suas faces.

Podemos aplicar o Teorema de Pitágoras porque a diagonal de uma de suas faces é a diagonal de um quadrado. Essa diagonal forma um triângulo retângulo.

Exemplo:

Considere um cubo de arestas com medida a a seguir, calcule a sua diagonal.

Vamos calcular a medida b da diagonal da face que é a base do cubo acima. No triângulo BAD, temos: